1
إذا كانت المصفوفة A على النظم 2 × 3 والمصفوفة B على النظم 3 × 4، فإن حاصل الضرب A * B يكون مصفوفة على النظم:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: شرط الضرب: أعمدة الأولى = صفوف الثانية (3 = 3)، ورتبة المصفوفة الناتجة هي صفوف الأولى × أعمدة الثانية (2 × 4).
2
قيمة محدد الرتبة الثانية | 4 3 |
التفسير والحل والبرهان النموذجي: المحدد = حاصل ضرب القطر الرئيسي - حاصل ضرب القطر الفرعي = (4 * 5) - (3 * 2) = 20 - 6 = 14.
3
تكون المصفوفة المربعة A مصفوفة منفردة (ليس لها معكوس ضربي A^-1) إذا وفقط إذا كانت:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: المصفوفة المنفردة ينعدم محددها |A| = 0 وبالتالي لا يمكن القسمة على المحدد في قانون المعكوس الضربي A^-1.
4
المصفوفة شبه المتماثلة (Skew-Symmetric Matrix) تتميز بأن منقولها A^T = -A، ويشترط في عناصر قطرها الرئيسي أن تكون:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: في المصفوفة شبه المتماثلة a_ii = - a_ii => 2 a_ii = 0 => عناصر القطر الرئيسي كلها أصفار.
5
عند استخدام قاعدة كرامر لحل النظام الخطي: 2س + 3ص = 12 ، س - ص = 1، فإن قيمة محدد المعاملات (Delta) تساوي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: محدد المعاملات Delta = | 2 3 | / | 1 -1 | = (2 * -1) - (3 * 1) = -2 - 3 = -5.
6
إذا كانت A مصفوفة مربعة من الرتبة 2 × 2 وكان محددها |A| = 6، فإن قيمة محدد 3A تساوي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: خاصية المحدد: |k A| = k^n * |A| حيث n رتبة المصفوفة (2)، إذن |3A| = 3^2 * 6 = 9 * 6 = 54.
7
المعكوس الضربي للمصفوفة A = | 2 1 |
التفسير والحل والبرهان النموذجي: |A| = (2*3) - (1*5) = 6 - 5 = 1. المعكوس بتبديل عناصر القطر الرئيسي وتغيير إشارات الفرعي: | 3 -1 | / |-5 2 |.
8
مساحة سطح المثلث الذي رؤوسه النقاط (1، 2)، (3، 6)، (5، 2) باستخدام المحددات تساوي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: المساحة = 1/2 |Det| = 1/2 * | 1 2 1; 3 6 1; 5 2 1 | = 1/2 * 16 = 8 وحدات مربعة.
9
إذا كانت النقاط الثلاث A, B, C على استقامة واحدة في المستوى الإحداثي، فإن قيمة المحدد المكون من إحداثياتها وأعمدة الآحاد تساوي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: إذا كانت النقاط على استقامة واحدة ينعدم المثلث وتكون مساحته صفراً وبالتالي قيمة المحدد تساوي صفراً.
10
حاصل ضرب أي مصفوفة مربعة غير منفردة A في معكوسها الضربي A^-1 يعطي دائماً:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: من تعريف المعكوس الضربي للمصفوفة: A * A^-1 = A^-1 * A = I (مصفوفة الوحدة).