1
في أي مثلث ABC، ينص قانون الجيب (Sine Rule) على أن: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R، حيث R تمثل:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: قانون الجيب: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R حيث R نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث.
2
في المثلث ABC، إذا كان قياس الزاوية A = 30 درجة، وطول الضلع المقابل a = 8 cm، فإن طول قطر الدائرة الخارجة المارة برؤوسه (2R) يساوي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: 2R = a / sin A = 8 / sin(30) = 8 / 0.5 = 16 cm.
3
ينص قانون جيب التمام (Cosine Rule) لإيجاد طول الضلع a بدلالة الضلعين الآخرين b و c والزاوية المحصورة A على:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: قانون جيب التمام: مربع أي ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين ناقص ضعف حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية المحصورة.
4
في المثلث ABC، إذا كانت أطوال أضلاعه a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm، فإن جيب تمام الزاوية الكبرى C (cos C) يساوي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 a b) = (25 + 36 - 49) / (2 * 5 * 6) = 12 / 60 = 1/5 = 0.2.
5
مساحة سطح المثلث ABC بدلالة طولي ضلعين وجيب الزاوية المحصورة بينهما تعطى بالقانون:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: مساحة المثلث = نصف حاصل ضرب طولي أي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما: Area = 1/2 a b sin C.
6
إذا كانت مساحة مثلث متساوي الأضلاع تساوي 16 * sqrt(3) cm^2، فإن طول ضلع هذا المثلث يساوي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: مساحة متساوي الأضلاع = (sqrt(3)/4) * s^2 = 16 sqrt(3) => s^2 = 64 => s = 8 cm.
7
في المثلث ABC، إذا كان: sin A / 3 = sin B / 4 = sin C / 5، فإن قياس أكبر زوايا هذا المثلث يساوي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: النسب بين الأضلاع a:b:c هي 3:4:5، ومربع الأكبر 5^2 = 3^2 + 4^2 (25=9+16)، فالمثلث قائم وأكبر زواياه 90°.
8
المقدار الجبري (sin^2 theta + cos^2 theta) يساوي دائماً لجميع قيم الزوايا الحقيقية ثيتا:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: المتطابقة الفيثاغورسية الأساسية sin^2(x) + cos^2(x) = 1 دائماً لجميع قيم الزوايا.
9
قيمة الزاوية الحادة ثيتا التي تحقق المعادلة المثلثية: 2 sin theta - 1 = 0 هي:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: 2 sin theta = 1 => sin theta = 1/2 => الزاوية الحادة هي 30 درجة.
10
في المثلث ABC، إذا كان a = b، فإن العلاقة بين قياسي الزاويتين A و B تكون:
التفسير والحل والبرهان النموذجي: في المثلث المتساوي الساقين، الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين تكونان متساويتين في القياس تماماً.