الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة

إيجاد مشتقة دالة ضمنية ودالة معطاة بالصورة البارامترية.
إيجاد المشتقات ذات الرتب العليا (الثانية والثالثة) للدوال الصريحة والضمنية والبارامترية.
حل مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة في الهندسة والفيزياء.

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس الثاني: الاشتقاق الضمني والبارامتري والمعدلات الزمنية المرتبطة
├── 1-1 الدالة الصريحة والعلاقة الضمنية
│   ├── الدالة الصريحة
│   └── العلاقة الضمنية
├── 1-1 الاشتقاق الضمني
│   ├── الفكرة
│   └── خطوات الاشتقاق الضمني
├── 1-1 الاشتقاق البارامتري
│   ├── الصورة البارامترية
│   ├── قاعدة المشتقة
│   └── مشتقة دالة بالنسبة لدالة أخرى
├── 1-2 المشتقات العليا للدالة
│   ├── التعريف
│   └── ملاحظات
├── 1-2 المشتقة الثانية للدالة الضمنية والبارامترية
│   ├── المشتقة الثانية الضمنية
│   └── المشتقة الثانية البارامترية
├── 1-4 المعدلات الزمنية المرتبطة: المفهوم
│   ├── فكرة المعدل
│   ├── إشارة المعدل
│   └── خطوات الحل
├── 1-4 تطبيقات هندسية: الحجم والمساحة
├── 1-4 تطبيقات: السلم والظل
└── 1-4 تطبيقات فيزيائية
    └── ما نلاحظه في مسائل المعدلات

01 1-1 الدالة الصريحة والعلاقة الضمنية

الدالة الصريحة

الدالة الصريحة تُكتب فيها $y$ بدلالة $x$ مباشرة، مثل $y = 4 x^{3} - 5 x + 2$ و $y = \sin (2 x + 3)$ .
لها مشتقة تُحسب بقواعد الاشتقاق المعروفة، مثل $y = 4 x^{3} - 5 x + 2$ فإن $y^{'} = 12 x^{2} - 5$ .

العلاقة الضمنية

العلاقة الضمنية معادلة تربط $x$ و $y$ معًا، مثل $x y + y - 4 = 0$ و $x^{2} + y^{2} = 9$ .
تعبر عن العلاقة بين إحداثيي نقطة $(x, y)$ واقعة على المنحنى.
أحيانًا يمكن كتابة العلاقة الضمنية بصورة صريحة، فمن $y (x + 1) = 4$ نجد $y = \frac{4}{x + 1}$ حيث $x \neq - 1$ .
في كثير من الحالات يصعب التعبير عن $y$ بدلالة $x$ مباشرة، لأن $y$ لا يمثل دالة صريحة في $x$ .
المعادلة $x^{2} + y^{2} = 9$ دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 3، ولا تمثل دالة واحدة لأن الخط الرأسي يقطعها في نقطتين.
تعرف هذه العلاقة دالتين صريحتين: $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ (نصف الدائرة العلوي) و $y = - \sqrt{9 - x^{2}}$ (نصف الدائرة السفلي)، مجال كل منهما $[- 3, 3]$ .

02 1-1 الاشتقاق الضمني

الفكرة

الاشتقاق الضمني هو اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$ مع اعتبار $y$ دالة قابلة للاشتقاق في $x$ .
نستخدم قاعدة السلسلة، فتصبح مشتقة $y^{n}$ هي $n y^{n - 1} \frac{d y}{d x}$ .
ويلزم عادة التعويض عن $x$ و $y$ معًا لإيجاد قيمة المشتقة عند نقطة، لأن الناتج يحوي $x$ و $y$ .

خطوات الاشتقاق الضمني

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$ ، ونضرب المشتقة في $\frac{d y}{d x}$ كلما اشتققنا حدًّا فيه $y$ .
نستخدم قاعدتي الضرب والقسمة عند الحاجة، مثل مشتقة $x y$ هي $y + x \frac{d y}{d x}$ .
نجمع الحدود المحتوية على $\frac{d y}{d x}$ في طرف واحد ونأخذها عاملًا مشتركًا.
نقسم للحصول على $\frac{d y}{d x}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: أوجد $\frac{d y}{d x}$ إذا كان $x^{3} + y^{2} - 7 x + 5 y = 8$ . الحل:

باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى $x$ : $3 x^{2} + 2 y \frac{d y}{d x} - 7 + 5 \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x} (2 y + 5) = 7 - 3 x^{2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{7 - 3 x^{2}}{2 y + 5}$

03 1-1 الاشتقاق البارامتري

الصورة البارامترية

إذا أمكن التعبير عن كل من الإحداثي السيني والإحداثي الصادي لنقطة $(x, y)$ بدلالة متغير ثالث $t$ (يسمى الوسيط أو البارامتر) بالمعادلتين $x = f (t)$ و $y = g (t)$ لهما مجال مشترك، فإن المعادلتين معًا تمثلان معادلة منحنى واحد بالصورة البارامترية.

قاعدة المشتقة

إذا كانت $f$ و $g$ دالتين قابلتين للاشتقاق بالنسبة إلى $t$ فإن:

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}, \frac{d x}{d t} \neq 0$

✍️ أمثلة محلولة

مثال 6: أوجد $\frac{d y}{d x}$ للمنحنى $x = 5 t + 3$ و $y = 16 t^{2} + 9$ عند $t = 5$ . الحل:

$\frac{d x}{d t} = 5$ و $\frac{d y}{d t} = 32 t$
$\frac{d y}{d x} = \frac{32 t}{5}$
عند $t = 5$ : $\frac{d y}{d x} = \frac{32 \times 5}{5} = 32$

مشتقة دالة بالنسبة لدالة أخرى

لإيجاد مشتقة دالة $y = f (x)$ بالنسبة إلى دالة أخرى $u = g (x)$ نعتبر $x$ بارامترًا لكل منهما:

$\frac{d y}{d u} = \frac{d y / d x}{d u / d x}$

✍️ أمثلة محلولة

مثال 8: أوجد مشتقة $4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $3 x^{2} + 7$ . الحل:

نضع $y = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 5$ و $u = 3 x^{2} + 7$ ، فكل منهما دالة قابلة للاشتقاق في $x$ .
$\frac{d y}{d u} = \frac{d y / d x}{d u / d x} = \frac{12 x^{2} - 18 x}{6 x} = 2 x - 3$ حيث $x \neq 0$

04 1-2 المشتقات العليا للدالة

التعريف

إذا كانت $y = f (x)$ دالة قابلة للاشتقاق فإن المشتقة الأولى $y^{'} = \frac{d y}{d x} = f^{'} (x)$ دالة جديدة.
المشتقة الثانية هي مشتقة المشتقة الأولى: $y^{''} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = f^{''} (x)$ .
بتكرار الاشتقاق نحصل على المشتقة الثالثة $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ ، وهكذا.
تسمى المشتقات بدءًا من الثانية المشتقات العليا، وتُكتب مشتقة الرتبة $n$ على الصورة:

$y^{(n)} = \frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f^{(n)} (x), n \in Z^{+}$

ملاحظات

يقرأ الرمز $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ «دال اثنين $y$ دال $x$ اثنين».
يوجد فرق بين $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ و ${(\frac{d y}{d x})}^{2}$ ، فالأولى المشتقة الثانية والثانية مربع المشتقة الأولى.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 9: أوجد المشتقة الثانية لكل من: (أ) $y = 2 x^{4} + 3 x - 5$ (ب) $y = \frac{1 + x}{1 - x}$ (ج) $y = \sin (3 x - 2)$ (د) $y = \sqrt{3 x - 2}$ . الحل:

(أ) $y^{'} = 8 x^{3} + 3$ ومنها $y^{''} = 24 x^{2}$
(ب) $y^{'} = \frac{(1 - x) + (1 + x)}{(1 - x)^{2}} = \frac{2}{(1 - x)^{2}}$ ومنها $y^{''} = \frac{4}{(1 - x)^{3}}$ حيث $x \neq 1$
(ج) $y^{'} = 3 \cos (3 x - 2)$ ومنها $y^{''} = - 9 \sin (3 x - 2)$
(د) $y^{'} = \frac{3}{2 \sqrt{3 x - 2}}$ ومنها $y^{''} = - \frac{9}{4 (3 x - 2)^{3 / 2}}$ حيث $x > \frac{2}{3}$

05 1-2 المشتقة الثانية للدالة الضمنية والبارامترية

المشتقة الثانية الضمنية

نشتق المعادلة ضمنيًّا مرتين، ونعوض عن $\frac{d y}{d x}$ بقيمتها عند الحاجة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 11: إذا كان $y^{2} + 2 x y = 8$ فأثبت أن $(x + y) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} + {(\frac{d y}{d x})}^{2} = 0$ . الحل:

باشتقاق الطرفين بالنسبة إلى $x$ : $2 y \frac{d y}{d x} + 2 y + 2 x \frac{d y}{d x} = 0$
بالقسمة على 2: $(x + y) \frac{d y}{d x} + y = 0$
باشتقاق الطرفين مرة أخرى: $(x + y) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + (1 + \frac{d y}{d x}) \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 0$
أي أن $(x + y) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} + {(\frac{d y}{d x})}^{2} = 0$

المشتقة الثانية البارامترية

إذا كان $x = f (t)$ و $y = g (t)$ فإن:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x}) \times \frac{d t}{d x} = \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x}) \div \frac{d x}{d t}$

✍️ أمثلة محلولة

مثال 13: إذا كان $x = 2 t^{3} - 5$ و $y = 6 t^{2} + 1$ فأوجد $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ عند $t = 1$ . الحل:

$\frac{d x}{d t} = 6 t^{2}$ و $\frac{d y}{d t} = 12 t$
$\frac{d y}{d x} = \frac{12 t}{6 t^{2}} = \frac{2}{t}$ حيث $t \neq 0$
$\frac{d}{d t} (\frac{2}{t}) = - \frac{2}{t^{2}}$
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{2}{t^{2}} \times \frac{1}{6 t^{2}} = - \frac{1}{3 t^{4}}$
عند $t = 1$ : $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{3}$

06 1-4 المعدلات الزمنية المرتبطة: المفهوم

فكرة المعدل

المعدل هو سرعة تغير كمية بالنسبة للزمن، ويُعبر عنه بالمشتقة بالنسبة للزمن $\frac{d x}{d t}$ .
عندما يتغير متغيران أو أكثر مع الزمن وترتبط بينهما علاقة، فإن معدلات تغيرها مرتبطة.
مثال: أسطوانة أو كرة يتغير نصف قطرها $r$ مع الزمن، فتتغير مساحتها $A = π r^{2}$ تبعًا لذلك.
باشتقاق العلاقة بين المتغيرين بالنسبة للزمن نحصل على معادلة تربط معدلات تغيرهما، وتسمى معادلة المعدلات الزمنية المرتبطة:

$\frac{d A}{d t} = 2 π r \frac{d r}{d t}$

إشارة المعدل

يكون المعدل موجبًا إذا كان المتغير يتزايد مع الزمن (تمدد، ابتعاد، تسرب إلى الداخل).
يكون المعدل سالبًا إذا كان المتغير يتناقص مع الزمن (انكماش، اقتراب، تسرب للخارج).

خطوات الحل

نحدد المتغيرات التي تتغير مع الزمن ونسمي كلًّا منها برمز.
نرسم شكلًا تخطيطيًّا للمسألة إن أمكن.
نكوّن علاقة بين المتغيرات (فيثاغورس، تشابه المثلثات، قوانين المساحة والحجم، نسب مثلثية...).
نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن $t$ .
نعوض بالقيم المعطاة في اللحظة المطلوبة للحصول على المعدل المجهول.
إذا كان معدل تغير متغير $x$ ثابتًا فإن $x = x_{0} + \frac{d x}{d t} \times t$ حيث $x_{0}$ قيمته الابتدائية.
نعوض بالقيم العددية بعد الاشتقاق لا قبله، لأن القيم المتغيرة لا تُعوَّض إلا في لحظة محددة.

07 1-4 تطبيقات هندسية: الحجم والمساحة

✍️ أمثلة محلولة

مثال 14 (نفخ بالون): بالون كروي يملأ بالغاز، كان معدل الزيادة في حجمه $8 π {cm}^{3} / s$ عندما كان نصف القطر $4$ سم.
أوجد في هذه اللحظة: (أ) معدل زيادة نصف القطر (ب) معدل الزيادة في مساحة السطح.
الحل:

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$ و $A = 4 π r^{2}$
(أ) $\frac{d V}{d t} = 4 π r^{2} \frac{d r}{d t}$ ومنها $8 π = 4 π (4)^{2} \frac{d r}{d t}$ أي $\frac{d r}{d t} = \frac{1}{8}$ سم/ث
(ب) $\frac{d A}{d t} = 8 π r \frac{d r}{d t} = 8 π \times 4 \times \frac{1}{8} = 4 π {cm}^{2} / s$

08 1-4 تطبيقات: السلم والظل

✍️ أمثلة محلولة

مثال 18 (حركة السلم): سلم طوله $250$ سم يستند على حائط رأسي، فإذا انزلق طرفه العلوي إلى أسفل الحائط بمعدل $10$ سم/ث عندما يكون طرفه السفلي على بعد $70$ سم من الحائط، أوجد: (أ) معدل انزلاق الطرف السفلي (ب) معدل تغير قياس الزاوية بين السلم والأرض.
الحل:

نفرض $y$ ارتفاع الطرف العلوي و $x$ بعد الطرف السفلي عن الحائط: $x^{2} + y^{2} = (250)^{2}$
عند $x = 70$ : $y = \sqrt{62500 - 4900} = 240$ سم
(أ) باشتقاق العلاقة: $2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} = 0$ ومنها $\frac{d x}{d t} = - \frac{y}{x} \frac{d y}{d t}$
$\frac{d x}{d t} = - \frac{240}{70} \times (- 10) = \frac{240}{7} cm/s$ (يبتعد الطرف السفلي عن الحائط)
(ب) نفرض $θ$ زاوية ميل السلم على الأرض: $\sin θ = \frac{y}{250}$ ومنها $\cos θ \frac{d θ}{d t} = \frac{1}{250} \frac{d y}{d t}$
عند $x = 70$ : $\cos θ = \frac{70}{250}$ ، فيكون $\frac{70}{250} \frac{d θ}{d t} = \frac{- 10}{250}$ ومنها $\frac{d θ}{d t} = - \frac{1}{7} rad/s$
أي أن الزاوية تتناقص بمعدل $\frac{1}{7}$ راديان/ث.

09 1-4 تطبيقات فيزيائية

✍️ أمثلة محلولة

مثال 20 (دائرة كهربية): في دائرة كهربية مغلقة فرق الجهد $V$ (فولت) وشدة التيار $I$ (أمبير) والمقاومة $R$ (أوم)، يزداد فرق الجهد بمعدل $1$ فولت/ث وتتناقص شدة التيار بمعدل $\frac{1}{2}$ أمبير/ث.
أوجد معدل تغير المقاومة في اللحظة التي يكون فيها $V = 12$ فولت و $I = 2$ أمبير.
الحل:

$V = I R$ ومنها $\frac{d V}{d t} = I \frac{d R}{d t} + R \frac{d I}{d t}$
عند $V = 12, I = 2$ : $R = \frac{12}{2} = 6 Ω$
$1 = 2 \frac{d R}{d t} + 6 (- \frac{1}{2})$ أي $1 = 2 \frac{d R}{d t} - 3$
$\frac{d R}{d t} = 2 Ω / s$ (المقاومة تزداد)

ما نلاحظه في مسائل المعدلات

كل معدل يُعطى أو يُطلب بالوحدة المناسبة (سم/ث، سم$^{2}/$ث، سم$^{3}/$ث، م/ث، راديان/ث).
المتغير الذي يتناقص يعوض عن معدله بإشارة سالبة.
العلاقة التي نشتقها يجب أن تبقى صحيحة في كل لحظة، لا في لحظة واحدة فقط.

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

أسئلة تفاعلية حصرية على نمط الاختبار الوزاري 2026/2027 مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير العلمي وسبب صحة أو خطأ كل خيار.

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كان س² + ص² = 25، فإن قيمة d²ص/د س² عند النقطة (3, 4) تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

يتمدد مكعب من المعدن بالحرارة بحيث يزداد طول ضلعه بمعدل 0.02 cm/s. فإن معدل التغير في حجم المكعب عندما يكون طول ضلعه 10 cm يساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

العدد الذي إذا أُضيف إلى كل من الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 تصبح في تناسب متتالٍ هو:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كانت الكميات a, b, c, d في تناسب متسلسل، فإن a/d تساوي بدلالة ثابت التناسب m:

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

اختبر استيعابك الشامل مع المؤقت الزمني وحساب الدرجات والمراجعة التفصيلية لكل سؤال.

🚀 ابدأ بنك الأسئلة الشامل (300+ سؤال) الآن

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 1-1 الدالة الصريحة والعلاقة الضمنية

الدالة الصريحة

العلاقة الضمنية

02 1-1 الاشتقاق الضمني

الفكرة

خطوات الاشتقاق الضمني

03 1-1 الاشتقاق البارامتري

الصورة البارامترية

قاعدة المشتقة

مشتقة دالة بالنسبة لدالة أخرى

04 1-2 المشتقات العليا للدالة

التعريف

ملاحظات

05 1-2 المشتقة الثانية للدالة الضمنية والبارامترية

المشتقة الثانية الضمنية

المشتقة الثانية البارامترية

06 1-4 المعدلات الزمنية المرتبطة: المفهوم

فكرة المعدل

إشارة المعدل

خطوات الحل

07 1-4 تطبيقات هندسية: الحجم والمساحة

08 1-4 تطبيقات: السلم والظل

09 1-4 تطبيقات فيزيائية

ما نلاحظه في مسائل المعدلات

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

أسئلة مستوى صعب على الدرس (نظام الامتحان)