الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة

مقدمة الدرس

الرياضيات — الصف الأول الثانوي — الفصل الدراسي الأول (دروس الوحدة: 2-1 تشابه المضلعات، 2-2 تشابه المثلثات، 2-3 العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين، 2-4 تطبيقات التشابه في الدائرة)

🌳 شجرة المفاهيم

الوحدة الثانية←التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة

├── 2-1-1 مراجعة النسبة والتناسب

├── 2-1-2 تعريف تشابه مضلعين

├── 2-1-3 نسبة التشابه وإيجاد الأطوال المجهولة

├── 2-1-4 مضلعات متشابهة دائمًا ومضلعات ليست كذلك

├── 2-1-5 مقياس الرسم والخرائط

├── 2-2-1 حالة تساوي زاويتين (AA)

├── 2-2-2 حالة تناسب أطوال الأضلاع الثلاثة (SSS)

├── 2-2-3 حالة تناسب ضلعين وتساوي الزاوية المحصورة (SAS)
├── 2-2-4 إيجاد الأطوال وإثبات العلاقات باستخدام التشابه

├── 2-2-5 المثلث القائم الزاوية ونظريتا إقليدس

├── 2-2-6 نظرية فيثاغورث وعكسها

├── 2-2-7 تطبيقات حياتية على تشابه المثلثات

├── 2-3-1 نسبة المساحتين ونسبة التشابه

├── 2-3-2 مساحات المثلثات المتشابهة والارتفاعات

├── 2-3-3 المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث والمساحة

├── 2-3-4 المساحات والتطبيقات العملية

├── 2-4-1 الوتران المتقاطعان داخل الدائرة

├── 2-4-2 القاطعان المرسومان من نقطة خارج الدائرة

├── 2-4-3 المماس والقاطع من نقطة خارج الدائرة

├── 2-4-4 عكس النظريات←أربع نقاط على دائرة والمماس

├── 2-4-5 تطبيقات ومسائل متنوعة

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 1 / 27

2-1-1 مراجعة النسبة والتناسب

🎨 رسم تعليمي واقعي لعناصر الدائرة الهندسية وعلاقات الأوتار والمماس المتقاطعة

رسم توضيحي واقعي

رسم توضيحي واقعي عالي الدقة يبرز كافة عناصر الدائرة←المركز M، نصف القطر r، القطر 2r، الوتر CD، المماس العمودي على نصف القطر، الزاوية المركزية والزاوية المحيطية، وطول القوس s = rθ، مع إبراز نظرية الأوتار المتقاطعة وتطبيقات قوة نقطة داخل وخارج الدائرة: EA · EB = EC · ED ومربع المماس.

إذا كان

a ÷ b = c ÷ d

فإن

a × d = b × c

(حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين).

a ÷ b = c ÷ d

⟺ ad = bc

النسبة بين كميتين من نوع واحد هي ناتج قسمة إحداهما على الأخرى.
التناسب هو تساوي نسبتين.
في التناسب a b = c : d تسمى a و d الطرفين و b و c الوسطين.
إذا تساوت عدة نسب فإن (مجموع المقدمات) ÷ (مجموع التوالي) تساوي كل نسبة منها.
المتوسط المتناسب بين عددين موجبين a و b هو العدد x الذي يحقق x² = ab.
لاحظ في التناسب يمكن تبديل الطرفين معًا أو الوسطين معًا دون أن يختل التناسب.
تذكر يلزم أن تكون وحدة القياس واحدة في النسبة، فنحوّل الأطوال إلى وحدة واحدة قبل النسبة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1←أوجد قيمة x في التناسب

3 ÷ x = 12 ÷ 20

.
الحل:

x = 3 × 20

x = 60

x = 5

مثال 2←أوجد قيمة x إذا كان

x ÷ (x + 2) = 3 ÷ 5

.
الحل:

x = 3(x + 2)

x = 3x + 6

x = 6

x = 3

عددان نسبتهما 3 : 4 ومجموعهما 28. أوجدهما.
الحل:

نفرض العددين 3k و 4k.

k + 4k = 28

k = 28 ومنه k = 4

العددان 12 و 16.

✍️ أمثلة محلولة

أوجد المتوسط المتناسب بين 4 و 9.
الحل:

x2 = 4 × 9 = 36

x = 6

تذكر←الأخطاء الشائعة: ضرب طرف في طرف بدل طرف في وسط؛ كتابة النسبة بترتيب مختلف في الطرفين؛ عدم توحيد الوحدات قبل النسبة.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 2 / 27

2-1-2 تعريف تشابه مضلعين

يتشابه مضلعان إذا كان لهما نفس عدد الأضلاع، وتساوت قياسات زواياهما المتناظرة، وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة.

إطاران خشبيان متشابهان بنسبة 2 يبينان تشابه المضلعات: المحيطان 14 و28 والمساحتان 12 و48.

الشرط الأول الزوايا المتناظرة متساوية في القياس.
الشرط الثاني النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين ثابتة.
نكتب التشابه بالرمز ~ ونحافظ على ترتيب الرؤوس المتناظرة ABCD ~ XYZW.
الرأس الأول يناظر الرأس الأول، والثاني الثاني، وهكذا.
لا يكفي أحد الشرطين وحده.
لاحظ:
المستطيل والمربع زواياهما قوائم متساوية لكن أضلاعهما غير متناسبة؛
وعلى العكس معينان ضلع كل منهما 5 سم أضلاعهما متناسبة لكن زواياهما قد تختلف.
لا يتشابه الشكلان إلا بالشرطين معًا.
علّل:
لماذا يلزم تحقق الشرطين معًا؟
لأن تساوي الزوايا يحفظ الشكل لكنه لا يحفظ النسب بين الأبعاد، وتناسب الأضلاع يحفظ النسب لكنه لا يحفظ زوايا الشكل.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 هل المستطيلان بُعدا الأول 6 و 10 وبُعدا الثاني 9 و 15 متشابهان؟
الحل:
الزوايا جميعها قوائم فهي متساوية.

6 ÷ 9 = 2 / 3

10 ÷ 15 = 2 / 3

النسبتان متساويتان.
المستطيلان متشابهان.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 هل الشكلان الرباعيان اللذان أضلاعهما 2 و 3 و 4 و 5 و 4 و 6 و 8 و 11 متشابهان؟
الحل:

2 ÷ 4 = 1 / 2 و 3 ÷ 6 = 1 / 2 و 4 ÷ 8 = 1 / 2

لكن (5 ÷ 11 ≠ 1) / 2

الأضلاع المتناظرة غير متناسبة.
الشكلان غير متشابهين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 هل المعينان اللذان طول ضلع كل منهما 5 سم متشابهان إذا كانت زاوية الأول 60° وزاوية الثاني 80°؟
الحل:
أضلاعهما متناسبة (النسبة 1 1).
الزاويتان 60° و 80° غير متساويتين.
المعينان غير متشابهين.
تذكر الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بتناسب الأضلاع أو بتساوي الزوايا؛ مقارنة ضلعين غير متناظرين لأن الرؤوس لم تُرتَّب.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 3 / 27

2-1-3 نسبة التشابه وإيجاد الأطوال المجهولة

نسبة التشابه هي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين في المضلعين المتشابهين، وهي ثابتة لجميع الأضلاع.
نسبة التشابه k = طول ضلع في الأول ÷ طول الضلع المناظر في الثاني

إذا كانت k = 1 فالمضلعان متطابقان.
نسبة محيطي المضلعين المتشابهين تساوي نسبة التشابه نفسها.
لإيجاد ضلع مجهول نحسب k من ضلعين معلومين متناظرين ثم نطبقها.
الزوايا المتناظرة متساوية، فنأخذ قياس الزاوية المناظرة مباشرة.
لاحظ عند وجود مجهول في التناسب نكتب النسب بنفس الترتيب (الأول ÷ الثاني) في الطرفين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 المضلع ABCDE ~ KLMNP، حيث AB = 10 و KL = 15 و BC = 12. أوجد LM ومحيط الثاني إذا كان محيط الأول 50.
الحل:

k = 10 ÷ 15 = 2 / 3

BC ÷ LM = 2 / 3

12 ÷ LM = 2 / 3

LM = (12 × 3) / 2 = 18

محيط الأول ÷ محيط الثاني = 2 / 3

محيط الثاني =

(50 × 3) / 2 = 75

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 الرباعي ABCD ~ EFGH بنسبة 2 : 5، وأضلاع الثاني EF = 15 و FG = 20 و GH = 25 و HE = 10. أوجد أضلاع الأول ومحيطي الشكلين.
الحل:

AB = (15 × 2) / 5 = 6

BC = (20 × 2) / 5 = 8

CD = (25 × 2) / 5 = 10

DA = (10 × 2) / 5 = 4

محيط الأول =

6 + 8 + 10 + 4 = 28

محيط الثاني =

15 + 20 + 25 + 10 = 70

النسبة

28 ÷ 70 = 2 / 5

وهي نسبة التشابه.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 ABCD ~ A’B’C’D’، AB = x + 2 و A’B’= 12 و BC = 6 و B’C’ = 9. أوجد x.
الحل:

(x + 2) ÷ 12 = 6 ÷ 9

(x + 2) ÷ 12 = 2 / 3

x + 2 = 8

x = 6

مثال 4 المضلع ABCDE ~ KLMNP وقياس الزاوية A يساوي 70°. أوجد قياس الزاوية K.
الحل:
A تناظر K.
الزوايا المتناظرة متساوية.

قياس الزاوية K = 70°

تذكر←الأخطاء الشائعة: قلب النسبة في بعض الأضلاع دون غيرها؛ استعمال ضلعين غير متناظرين؛ جمع النسبة مع طول.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 4 / 27

2-1-4 مضلعات متشابهة دائمًا ومضلعات ليست كذلك

أي مضلعين منتظمين لهما العدد نفسه من الأضلاع متشابهان.

المضلع المنتظم متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا.
المربعان دائمًا متشابهان، والمثلثان المتساويا الأضلاع دائمًا متشابهان.
الدائرتان دائمًا متشابهتان.
المستطيلان والمعينان وشبها المنحرف ليست متشابهة دائمًا.
المثلثان القائمان المتساويا الساقين متشابهان (زواياهما 45° و 45° و 90°).
علّل:
لماذا يتشابه أي مضلعين منتظمين من العدد نفسه؟
زواياهما متساوية بقانون الزاوية الداخلية، وأضلاع كل منهما متساوية فنسب الأضلاع المتناظرة ثابتة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 هل سداسيان منتظمان طول ضلع أحدهما 4 سم والآخر 10 سم متشابهان؟ وما نسبة التشابه؟
الحل:
كل منهما مضلع منتظم عدد أضلاعه 6.
إذن هما متشابهان.

k = 4 ÷ 10 = 2 / 5

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 مربع طول ضلعه 3 سم ومستطيل بُعداه 3 و 5. هل هما متشابهان؟
الحل:

الزوايا قوائم متساوية.

3 ÷ 3 = 1 بينما 3 ÷ 5 ≠ 1

الأضلاع غير متناسبة.
غير متشابهين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 خماسيان منتظمان محيطاهما 30 و 45. أوجد نسبة التشابه وطول ضلع كل منهما.
الحل:

نسبة التشابه = نسبة المحيطين =

30 ÷ 45 = 2 / 3

ضلع الأول = 30 ÷ 5 = 6

ضلع الثاني = 45 ÷ 5 = 9

وفعلًا 6 ÷ 9 = 2 / 3.
تذكر:
القول إن أي مستطيلين متشابهان؛

القول إن أي معينين متشابهان؛

نسيان أن الشرط يخص المضلعات المنتظمة من العدد نفسه من الأضلاع.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 5 / 27

2-1-5 مقياس الرسم والخرائط

مقياس الرسم هو النسبة بين طول في الرسم والطول المناظر له في الحقيقة، والرسم يشابه الواقع.
مقياس الرسم = طول الرسم ÷ الطول الحقيقي

المقياس 1 50000 يعني أن 1 سم في الخريطة يمثل 50000 سم (500 متر) في الواقع.
نوحّد الوحدات قبل التقسيم.
زوايا الرسم تساوي زوايا الواقع.
لاحظ كل مقياس رسم يعطي شكلًا مشابهًا للأصل، والمخططات الهندسية والخرائط تعتمد على هذه الفكرة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 المسافة بين مدينتين على خريطة 4 سم ومقياس الرسم 1 : 500000. أوجد المسافة الحقيقية بالكيلومتر.
الحل:

الطول الحقيقي =

4 × 500000 = 2000000

سم

2000000 سم = 20 كم

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 ارتفاع مبنى 30 مترًا يُراد رسمه بمقياس 1 : 200. أوجد ارتفاعه في الرسم.
الحل:

30 م = 3000 سم

طول الرسم =

3000 ÷ 200 = 15

سم

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 مخطط قطعة أرض مستطيلة بُعداها 8 سم و 5 سم بمقياس 1 : 500. أوجد البعدين الحقيقيين.
الحل:

البعد الأول =

8 × 500 = 4000

سم = 40 م

البعد الثاني =

5 × 500 = 2500

سم = 25 م

تذكر←الأخطاء الشائعة: القسمة بدل الضرب أو العكس؛ ترك الوحدات مختلفة (سم مع كم)؛ استعمال مقياس الطول على المساحات.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 6 / 27

2-2-1 حالة تساوي زاويتين (AA)

يتشابه المثلثان إذا تساوى قياسا زاويتين في أحدهما مع قياسي زاويتين في الآخر.

الزاوية الثالثة تتساوى تلقائيًا لأن مجموع زوايا المثلث 180°.
بتساوي الزوايا الثلاث تتناسب الأضلاع المتناظرة.
نكتب رؤوس المثلثين بترتيب الزوايا المتساوية.
مصادر تساوي الزوايا زاويتان متقابلتان بالرأس، زاوية مشتركة، زاويتان متبادلتان أو متناظرتان بين متوازيين.
لاحظ نكتب التشابه بترتيب الرؤوس: △ABC ~ △DEF تعني A ↔ D و B ↔ E و C ↔ F ومن ثَمّ

AB ÷ DE = BC ÷ EF = AC ÷ DF

.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 في △ABC قياس A = 50° و B = 60°، وفي △DEF قياس D = 50° و F = 70°. هل المثلثان متشابهان؟
الحل:

في △ABC قياس

C = 180° – 110° = 70°

في △DEF قياس

E = 180° – 120° = 60°

A = D و B = E و C = F

△ABC ~ △DEF

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 القطعتان AB و CD تتقاطعان في E وتوازي AC المستقيم BD. إذا كان EA = 4 و EB = 6 و AC = 10 فأوجد BD.
الحل:

الزاويتان AEC و BED متقابلتان بالرأس فهما متساويتان.
الزاويتان EAC و EBD متبادلتان (AC ∥ BD) فهما متساويتان.

△EAC ~ △EBD

AC ÷ BD = EA ÷ EB

10 ÷ BD = 4 ÷ 6

BD = 10 × 6 ÷ 4 = 15

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC وكان DE ∥ BC. إذا كان AD = 4 و AB = 10 و BC = 15 فأوجد DE.
الحل:
الزاوية A مشتركة.
قياس ADE = قياس ABC (متناظرتان).

△ADE ~ △ABC

DE ÷ BC = AD ÷ AB = 4 ÷ 10

DE = (15 × 2) / 5 = 6

تذكر←الأخطاء الشائعة: ترتيب الرؤوس بشكل لا يوافق الزوايا المتساوية؛ ربط ضلع غير مناظر عند كتابة النسبة.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 7 / 27

2-2-2 حالة تناسب أطوال الأضلاع الثلاثة (SSS)

إذا تناسبت أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث مع أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث آخر فالمثلثان متشابهان.

نرتب أضلاع كل مثلث من الأصغر إلى الأكبر ثم نقارن نسب الأضلاع المتناظرة.
إذا تساوت النسب الثلاث فالمثلثان متشابهان وتتساوى زواياهما المتناظرة.
الضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى فيناظر الأصغر في المثلث الآخر.
لاحظ عند فحص التناسب نقارن الأصغر بالأصغر والأوسط بالأوسط والأكبر بالأكبر.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 هل المثلثان اللذان أضلاعهما (3 ، 4 ، 6) و (4.5 ، 6 ، 9) متشابهان؟
الحل:

3 ÷ 4.5 = 2 / 3

4 ÷ 6 = 2 / 3

6 ÷ 9 = 2 / 3

النسب متساوية فالمثلثان متشابهان.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 هل المثلثان اللذان أضلاعهما (5 ، 7 ، 9) و (10 ، 14 ، 19) متشابهان؟
الحل:

5 ÷ 10 = 1 / 2

7 ÷ 14 = 1 / 2

(9 ÷ 19 ≠ 1) / 2

النسب غير متساوية فالمثلثان غير متشابهين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 مثلثان متشابهان أضلاع الأول 6 و 8 و 10 وأضلاع الثاني 9 و 12 و x. أوجد x.
الحل:

6 ÷ 9 = 2 / 3

10 ÷ x = 2 / 3

x = 15

تذكر←الأخطاء الشائعة: مقارنة الأكبر بالأصغر؛ الاكتفاء بنسبتين من ثلاث.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 8 / 27

2-2-3 حالة تناسب ضلعين وتساوي الزاوية المحصورة (SAS)

إذا تساوت زاوية في مثلث مع زاوية في مثلث آخر، وتناسب طولا الضلعين اللذين يحتويانها مع طولي الضلعين المناظرين، فالمثلثان متشابهان.

يجب أن تكون الزاوية محصورة بين الضلعين المتناسبين.
نكتب نسبتين متساويتين ثم نتحقق من تساوي الزاويتين.
تُستعمل هذه الحالة لإثبات توازي مستقيمين أو مماسية.
علّل لماذا لا تكفي زاوية غير محصورة؟ لأن موضع الزاوية قد يسمح بمثلثين مختلفين بالنسبة نفسها، فلا يتحدد الشكل.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 والزاوية A = 50°، و △DEF فيه DE = 4 و DF = 6 والزاوية D = 50°. هل المثلثان متشابهان؟
الحل:

AB ÷ DE = 6 ÷ 4 = 3 / 2

AC ÷ DF = 9 ÷ 6 = 3 / 2

الزاويتان المحصورتان A و D متساويتان.

△ABC ~ △DEF

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 △ABC فيه AB = 8 و AC = 12، والنقطتان D على AB و E على AC بحيث AD = 2 و AE = 3. أثبت أن DE ∥ BC، وإذا كان BC = 14 فأوجد DE.
الحل:

AD ÷ AB = 2 ÷ 8 = 1 / 4

AE ÷ AC = 3 ÷ 12 = 1 / 4

الزاوية A مشتركة.

△ADE ~ △ABC

قياس ADE = قياس ABC وهما متناظرتان فإن DE ∥ BC.

DE = (14 × 1) / 4 = 3.5

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 △ABC فيه D على AB، و AD = 4 و AB = 9 و AC = 6. أثبت أن △ABC ~ △ACD، ثم استنتج مساواة قياسي الزاويتين ACD و B.
الحل:

AC ÷ AB = 6 ÷ 9 = 2 / 3

AD ÷ AC = 4 ÷ 6 = 2 / 3

الزاوية A مشتركة.

△ABC ~ △ACD (A ↔ A و B ↔ C و C ↔ D)

إذن قياس ACD = قياس B.
تذكر الأخطاء الشائعة: استعمال زاوية ليست محصورة؛ نسيان ذكر أن الزاوية المشتركة متساوية.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 9 / 27

2-2-4 إيجاد الأطوال وإثبات العلاقات باستخدام التشابه

نثبت التشابه أولًا ثم نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة بحسب ترتيب الرؤوس.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الخطوة 1	نبحث عن زوايا متساوية أو نسب أضلاع	نبحثزوايامتساويةأضلاع
الخطوة 2	نحدد حالة التشابه ونكتب المثلثين بترتيب الرؤوس	نحددحالةالتشابهونكتب
الخطوة 3	نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة	نكتبتناسبالأضلاعالمتناظرة
الخطوة 4	نعوّض الأطوال ونحل	الأطوالونحل
الشكل شبه المنحرف	قطراه يتقاطعان في M فيتشابه △MAB و △MCD عندما AB ∥ CD	قطراهيتقاطعانفيتشابهعندما
لاحظ	في شبه المنحرف ABCD الذي فيه AB ∥ CD يكون	المنحرفABCDيكون

MA ÷ MC = MB ÷ MD = AB ÷ CD

.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 في شبه المنحرف ABCD فيه AB ∥ CD و AB = 12 و CD = 8، تقاطع القطران في M. إذا كان AC = 15 فأوجد MA و MC.
الحل:

△MAB ~ △MCD

MA ÷ MC = AB ÷ CD = 12 ÷ 8 = 3 / 2

MA + MC = 15

نفرض MA = 3t و MC = 2t.

t = 15 ومنه t = 3

MA = 9 و MC = 6

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC وكان قياس AED = قياس ABC. إذا كان AE = 4 و AB = 10 و AD = 6 و BC = 20 فأوجد AC و ED.
الحل:

الزاوية A مشتركة.
قياس AED = قياس ABC.

△AED ~ △ABC (A ↔ A و E ↔ B و D ↔ C)

AE ÷ AB = AD ÷ AC = ED ÷ BC

4 ÷ 10 = 6 ÷ AC

AC = 15

ED = (20 × 4) / 10 = 8

✍️ أمثلة محلولة

في △ABC، النقطة D على BC حيث قياس BAD = قياس C.
أثبت أن
AB² = BD × BC

.
الحل:
الزاوية B مشتركة بين △ABD و △CBA.
قياس BAD = قياس C.

△ABD ~ △CBA (A ↔ C و B ↔ B و D ↔ A)

AB ÷ CB = BD ÷ BA

AB2 = BD × BC

تذكر←الأخطاء الشائعة: كتابة نسبة بين ضلعين غير متناظرين؛ إثبات تشابه دون ذكر الحالة؛ تغيير ترتيب الرؤوس عند الانتقال إلى النسبة.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 10 / 27

2-2-5 المثلث القائم الزاوية ونظريتا إقليدس

في المثلث القائم الزاوية إذا رُسم العمود من رأس القائمة على الوتر فإن المثلثات الثلاثة الناتجة متشابهة.
في △ABC القائم في A و AD ⊥ BC:

△ABC ~ △DBA ~ △DAC

ومنها:

AB2 = BD × BC

AC2 = CD × CB

AD2 = BD × DC

AD × BC = AB × AC

مربع طول ضلع القائمة = (طول مسقطه على الوتر) × (طول الوتر).
مربع طول العمود = حاصل ضرب طولي جزأي الوتر.
العمود × الوتر = حاصل ضرب ضلعي القائمة (مساحة المثلث بطريقتين).
علّل:
لماذا
AB² = BD × BC

؟
لأن △DBA ~ △ABC (الزاوية B مشتركة وقائمة D و A) فتتناسب الأضلاع:
BD ÷ AB = AB ÷ BC

.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC قائم في A و AD ⊥ BC حيث BD = 4 و DC = 9. أوجد AD و AB و AC.
الحل:

AD2 = 4 × 9 = 36

ومنه AD = 6

BC = 4 + 9 = 13

AB2 = BD × BC = 4 × 13 = 52

ومنه AB = 2√13

AC2 = DC × BC = 9 × 13 = 117

ومنه AC = 3√13

التحقق:

52 + 117 = 169 = 132

.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 △ABC قائم في A و AB = 6 و BC = 10. أوجد BD و DC و AD.
الحل:

AB2 = BD × BC

36 = BD × 10

BD = 3.6

DC = 10 – 3.6 = 6.4

AD2 = 3.6 × 6.4 = 23.04

AD = 4.8

مثال 3 △ABC قائم في A و AD ⊥ BC حيث AD = 12 و BD = 9. أوجد DC و AB و AC.
الحل:

AD2 = BD × DC

144 = 9 × DC

ومنه DC = 16

BC = 9 + 16 = 25

AB2 = 9 × 25 = 225

ومنه AB = 15

AC2 = 16 × 25 = 400

ومنه AC = 20

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4 △ABC قائم في A و AB = 9 و AC = 12. أوجد طول العمود AD.
الحل:

BC2 = 81 + 144 = 225

ومنه BC = 15

AD × BC = AB × AC

AD = 9 × 12 ÷ 15 = 7.2

تذكر:
وضع الوتر مكان ضلع القائمة؛

استعمال AB2 = BD × DC (الصحيح AB2 = BD × BC)؛

نسيان أن الوتر هو مجموع الجزأين.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 11 / 27

2-2-6 نظرية فيثاغورث وعكسها

في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، وعكسها صحيح.
BC² = AB² + AC²

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
البرهان من نظريتي إقليدس	AB2 + AC2 = BD × BC + CD × BC = (BD + CD) × BC = BC2
عكس النظرية	إذا كان مربع أكبر ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية مقابل الأكبر	مربعأكبريساويمجموع
•	إذا كان مربع الأكبر أكبر من المجموع فالمثلث منفرج الزاوية وإذا كان أصغر فهو حاد الزوايا	مربعالأكبرأكبرالمجموع
لاحظ	الثلاثيات الفيثاغورية الشهيرة: (3 5) و (5 13) و (8 17) و (7 25)	الثلاثياتالفيثاغوريةالشهيرة

✍️ أمثلة محلولة

هل المثلث الذي أضلاعه 7 و 24 و 25 قائم الزاوية؟
الحل:

72 + 242 = 49 + 576 = 625

25² = 625

المجموع يساوي مربع الأكبر.
المثلث قائم الزاوية مقابل الضلع 25.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 هل المثلث الذي أضلاعه 6 و 8 و 11 قائم الزاوية؟ وما نوعه من حيث الزوايا؟
الحل:

62 + 82 = 36 + 64 = 100

11² = 121

121 > 100

المثلث ليس قائمًا بل منفرج الزاوية.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 سلم طوله 13 م يستند بطرفه العلوي على حائط رأسي وطرفه السفلي على بعد 5 م من الحائط. ما ارتفاع النقطة التي يلامس عندها الحائط؟
الحل:

h2 + 52 = 132

h2 = 169 – 25 = 144

h = 12 م

تذكر←الأخطاء الشائعة: جمع الأضلاع بدل جمع مربعاتها؛ اعتبار أحد الضلعين الصغيرين وترًا؛ تطبيق العكس دون ترتيب الأضلاع.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 12 / 27

2-2-7 تطبيقات حياتية على تشابه المثلثات

نستعمل تشابه المثلثات لقياس أطوال يصعب قياسها مباشرة (ارتفاع مبنى، عرض نهر).

الأشعة الضوئية متوازية فتتكون مثلثات متشابهة من الأجسام وظلالها.
المرآة الأفقية تعكس الضوء بنفس زاوية السقوط فتتكون مثلثات متشابهة.
نرسم نموذجًا هندسيًا للموقف ثم نحدد المثلثين المتشابهين.
لاحظ القياس يكون في الوقت نفسه حتى تكون زاوية الشمس واحدة للجسمين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 عمود طوله غير معلوم يلقي ظلًا طوله 8 م، وفي الوقت نفسه شخص طوله 1.8 م يلقي ظلًا طوله 2.4 م. أوجد طول العمود.
الحل:
المثلثان متشابهان.

h ÷ 8 = 1.8 ÷ 2.4

h = 8 × 1.8 ÷ 2.4

h = 6 م

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 وضع شخص مرآة أفقية على الأرض بين نفسه وشجرة، فرأى قمة الشجرة فيها.
المسافة من قدميه إلى المرآة 2 م ومن المرآة إلى الشجرة 10 م وارتفاع عينيه 1.6 م.
أوجد ارتفاع الشجرة.
الحل:

المثلثان متشابهان (زاويتا السقوط والانعكاس متساويتان والزاويتان القائمتان).

الارتفاع ÷

10 = 1.6 ÷ 2

الارتفاع =

1.6 × 10 ÷ 2 = 8

م

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 لقياس عرض نهر AB وقف شخص عند B على أحد الشاطئين وحدّد النقطة C على شاطئه حيث BC = 20 م، ثم النقطة E على امتداد BC بحيث CE = 5 م، وحدّد D بحيث DE ⊥ BE و DE = 8 م وتقع D و C و A على استقامة واحدة.
أوجد عرض النهر.
الحل:
△ABC ~ △DEC (زاويتان قائمتان B و E والزاويتان عند C متقابلتان بالرأس)

AB ÷ DE = BC ÷ EC

AB ÷ 8 = 20 ÷ 5

AB = 32 م

تذكر←الأخطاء الشائعة: وضع المسافات المتناظرة بترتيب خاطئ؛ اختيار مثلثين غير متشابهين؛ عدم رسم نموذج واضح للمسألة.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 13 / 27

2-3-1 نسبة المساحتين ونسبة التشابه

النسبة بين مساحتي سطحي مضلعين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.
مساحة الأول ÷ مساحة الثاني = k²

k هي نسبة التشابه.
المساحة قياس بُعدين، لذلك تتأثر بمربع نسبة الطول.
نسبة محيطيهما k (من الدرجة الأولى).
النسبة نفسها صحيحة للمثلثين المتشابهين مربع نسبة الارتفاعين أو المتوسطين المتناظرين.
علّل لماذا تربيع النسبة؟ مثلثان متشابهان نسبتهما k: قاعدتهما b و kb وارتفاعاهما h و kh، فمساحة الثاني ½·kb·kh = k²·(½bh).
تذكر إذا ضوعفت أبعاد شكل مرتين تضاعفت مساحته 4 مرات، وإذا ضوعفت 3 مرات تضاعفت مساحته 9 مرات.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 مثلثان متشابهان نسبة التشابه بينهما 2 : 3 ومساحة الأصغر 20 سم². أوجد مساحة الأكبر.
الحل:

نسبة المساحتين =

(2 / 3)2 = 4 / 9

20 ÷ مساحة الأكبر = 4 / 9

مساحة الأكبر =

20 × 9 ÷ 4 = 45

سم²

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 مضلعان متشابهان طولا ضلعين متناظرين فيهما 5 و 8 ومساحة الأول 75 سم². أوجد مساحة الثاني.
الحل:

k = 5 / 8

نسبة المساحتين = 25 / 64

75 ÷ مساحة الثاني = 25 / 64

مساحة الثاني =

75 × 64 ÷ 25 = 192

سم²

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 مضلعان متشابهان مساحتاهما 49 و 81 سم². أوجد نسبة التشابه، وإذا كان محيط الأصغر 28 سم فأوجد محيط الأكبر.
الحل:

k = √(49 ÷ 81) = 7 / 9

محيط الأصغر ÷ محيط الأكبر = 7 / 9

محيط الأكبر =

28 × 9 ÷ 7 = 36

سم

تذكر:
استعمال النسبة k بدل k² للمساحات؛

استعمال k² للمحيطات؛

نسيان الجذر التربيعي عند الانتقال من المساحتين إلى نسبة التشابه.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 14 / 27

2-3-2 مساحات المثلثات المتشابهة والارتفاعات

مثلثان متشابهان←نسبة مساحتيهما = مربع نسبة أي عنصرين متناظرين (ضلعان، ارتفاعان، متوسطان، منصفان، محيطان).

يستخدم ذلك لإيجاد ارتفاع أو محيط من نسبة المساحتين.
نأخذ الجذر التربيعي لنسبة المساحتين فنحصل على k.
ثم نطبق k على الارتفاع أو الضلع أو المحيط.
لاحظ إذا كان المثلثان لهما الارتفاع نفسه فإن نسبة المساحتين تساوي نسبة القاعدتين، وهذه حالة مختلفة عن التشابه.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 مثلثان متشابهان مساحتاهما 64 و 144 سم²، وارتفاع الأصغر 6 سم. أوجد ارتفاع الأكبر.
الحل:

k = √(64 ÷ 144) = 8 / 12 = 2 / 3

6 ÷ h = 2 / 3

h = (6 × 3) / 2 = 9

سم

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 مثلثان متشابهان مساحتاهما 18 و 50 وطول أحد أضلاع الأول 6. أوجد طول الضلع المناظر في الثاني.
الحل:

k = √(18 / 50) = √(9 / 25) = 3 / 5

6 ÷ x = 3 / 5

x = 10

مثال 3 مثلثان متشابهان محيطاهما 30 و 45 سم، ومساحة الأول 40 سم². أوجد مساحة الثاني.
الحل:

k = 30 / 45 = 2 / 3

نسبة المساحتين = 4 / 9

المساحة الثانية =

(40 × 9) / 4 = 90

سم²

تذكر←الأخطاء الشائعة: الخلط بين نسبة الارتفاعات ونسبة المساحات؛ استخدام الجذر على نسبة الأطوال.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 15 / 27

2-3-3 المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث والمساحة

إذا كان DE ∥ BC في △ABC فإن △ADE ~ △ABC ومساحة △ADE ÷ مساحة △

ABC = (AD ÷ AB)2

.

المساحة المتبقية DBCE (شبه منحرف) = مساحة △ABC − مساحة △ADE.
نسبة المساحتين مربع نسبة أي ضلعين متناظرين.
لاحظ بعد قص المثلث الصغير من الأعلى يتبقى شبه منحرف، ونحصل على مساحته بالطرح.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC فيه DE ∥ BC، حيث D على AB و E على AC و AD = 3 و AB = 5 ومساحة △ABC = 100 سم². أوجد مساحة △ADE ومساحة شبه المنحرف DBCE.
الحل:

نسبة المساحتين =

(3 / 5)2 = 9 / 25

مساحة △

ADE = (100 × 9) / 25 = 36

سم²

مساحة

DBCE = 100 – 36 = 64

سم²

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 △ABC فيه DE ∥ BC ومساحة △ADE = 16 ومساحة شبه المنحرف DBCE = 20. أوجد AD ÷ AB.
الحل:

مساحة △

ABC = 16 + 20 = 36

(AD ÷ AB)2 = 16 / 36

AD ÷ AB = 4 / 6 = 2 / 3

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 △ABC فيه DE ∥ BC و AD = 4 و DB = 2، ومساحة △ABC = 54. أوجد مساحة DBCE.
الحل:

AB = 6

(AD ÷ AB)2 = (4 / 6)2 = 4 / 9

مساحة △

ADE = (54 × 4) / 9 = 24

مساحة

DBCE = 54 – 24 = 30

تذكر←الأخطاء الشائعة: استعمال AD ÷ DB بدل AD ÷ AB؛ نسيان طرح مساحة المثلث الصغير.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 16 / 27

2-3-4 المساحات والتطبيقات العملية

في المسائل العملية نحدد نسبة التشابه ثم نربّعها للمساحات.

المخطط والمقياس مساحة الرسم = مساحة الحقيقة × (مقياس الرسم)².
ثمن السجاد أو الدهان يتناسب مع المساحة.
مثلثان لهما الارتفاع نفسه (أو القاعدة نفسها) نسبة مساحتيهما = نسبة القاعدتين (أو الارتفاعين).
تذكر عند التطبيق العملي نكتب الوحدة: سم² أو م²، وتحويل الوحدات يتأثر بتربيع معامل التحويل.

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 1	مخطط أرض بمقياس 1 : 100 مساحة الأرض في الرسم 12 سم². أوجد مساحتها الحقيقية	مخططبمقياسمساحةالأرض
•	الحل	الحل
نسبة الأطوال 1	100 فنسبة المساحات 1 : 10000	فنسبةالمساحات10000

المساحة الحقيقية =

12 × 10000 = 120000

سم²

= 12 م²

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 غرفتان متشابهتان، بُعدا الأولى 4 م و 5 م وتكلفة فرشها 600 جنيه. أوجد تكلفة الثانية إذا كانت نسبة تكبيرها 1.5 وبنفس سعر المتر.
الحل:

مساحة الأولى = 20 م²

نسبة المساحات = 1.5² = 2.25

مساحة الثانية = 45 م²

التكلفة =

600 × 2.25 = 1350

جنيه

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 △ABC، النقطة D على BC حيث BD = 4 و DC = 6. أوجد نسبة مساحة △ABD إلى مساحة △ADC.
الحل:
للمثلثين الارتفاع نفسه (من A إلى BC).

نسبة المساحتين = نسبة القاعدتين = 4 ÷ 6

= 2 : 3

تذكر←الأخطاء الشائعة: حساب تكلفة الثانية بنسبة الأطوال؛ تحويل 1 م² إلى 100 سم² (الصحيح 10000 سم²).

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 17 / 27

2-4-1 الوتران المتقاطعان داخل الدائرة

إذا تقاطع وتران AB و CD في نقطة E داخل الدائرة فإن

AE × EB = CE × ED

.

AE × EB = CE × ED

البرهان △AEC ~ △DEB لأن الزاويتين AEC و DEB متقابلتان بالرأس، وقياس A = قياس D (محيطيتان على القوس CB).
من التشابه
AE ÷ DE = CE ÷ BE

فنحصل على القاعدة.
القطر العمودي على وتر ينصف هذا الوتر.
علّل لماذا تكون النتيجة مستقلة عن موضع الوترين؟ لأن التشابه يعتمد على زوايا محيطية تقابل القوس نفسه، وتبقى متساوية مهما تحرك الوتران.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 وتران AB و CD يتقاطعان في E داخل دائرة، و AE = 4 و EB = 6 و CE = 3. أوجد ED.
الحل:

AE × EB = CE × ED

4 × 6 = 3 × ED

ED = 8

مثال 2 وتران AB و CD يتقاطعان في E حيث AE = 2x و EB = 6 و CE = 4 و ED = 12. أوجد x و AB.
الحل:

x × 6 = 4 × 12

x = 48

x = 4

AE = 8

AB = 8 + 6 = 14

مثال 3 CD قطر طوله 10 سم، AB وتر عمودي عليه في E حيث CE = 2 و ED = 8. أوجد طول AB.
الحل:

القطر العمودي على الوتر ينصفه←AE = EB.

AE × EB = CE × ED

AE2 = 2 × 8 = 16

AE = 4

AB = 8 سم

تذكر←الأخطاء الشائعة: ضرب قطعتين من وترين مختلفين في الجهة الواحدة؛ نسيان أن القطع الأربع هي أجزاء الوترين.

رسم تعليمي واقعي لعناصر الدائرة الهندسية وعلاقات الأوتار والمماس المتقاطعة

🎨 رسم تعليمي واقعي لعناصر الدائرة الهندسية وعلاقات الأوتار والمماس المتقاطعة

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 18 / 27

2-4-2 القاطعان المرسومان من نقطة خارج الدائرة

إذا رُسم من نقطة M خارج الدائرة قاطعان يقطعانها في A و B وفي C و D فإن

MA × MB = MC × MD

.

MA × MB = MC × MD

A و C النقطتان الأقرب إلى M، و B و D النقطتان الأبعد.
MB = MA + AB

و
MD = MC + CD

.
البرهان △MAD ~ △MCB لأن الزاوية M مشتركة، وقياس MAD = قياس MCB (زاويتان محيطيتان ترتكزان على القوس نفسه) فتتناسب الأضلاع: MA ÷ MC = MD ÷ MB .
لاحظ في القاعدة نضرب القطعة الخارجية في القاطع كاملًا (من M إلى النقطة الأبعد).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 من نقطة M خارج دائرة رُسم قاطعان، MA = 4 و MB = 9 و MC = 3. أوجد MD.
الحل:

MA × MB = MC × MD

4 × 9 = 3 × MD

MD = 12

مثال 2 من M رُسم قاطعان، MA = 3 و AB = 5 و MC = 4. أوجد MD و CD.
الحل:

MB = 3 + 5 = 8

MA × MB = 24

4 × MD = 24

MD = 6

CD = 6 – 4 = 2

مثال 3 من M رُسم قاطعان، MC = 4 و MD = 6 و MA = x و AB = 5. أوجد x.
الحل:

x(x + 5) = 4 × 6 = 24

x2 + 5x – 24 = 0

(x + 8)(x – 3) = 0

x = 3 (نرفض x = −8 لأن الطول موجب)←الأخطاء الشائعة: الضرب في AB بدل MB؛ ضرب القطعة الداخلية بالقطعة الخارجية؛ قبول جذر سالب لطول.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 19 / 27

2-4-3 المماس والقاطع من نقطة خارج الدائرة

إذا رُسم من نقطة M خارج الدائرة مماس MT وقاطع يقطعها في A و B فإن

(MT)2 = MA × MB

.

(MT)2 = MA × MB

نتيجة لنظرية القاطعين حين ينطبق القاطع الثاني على المماس (C = D = T).
المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متساويان في الطول.
المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فنستعمل فيثاغورث أيضًا.
تذكر إذا رُسم من M مماس MT فإن

MO2 = MT2 + r2

حيث O المركز و r نصف القطر.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 من M خارج دائرة رُسم المماس MT والقاطع MAB حيث MA = 4 و AB = 5. أوجد MT.
الحل:

MB = 4 + 5 = 9

MT2 = 4 × 9 = 36

MT = 6

مثال 2 من M خارج دائرة رُسم المماس MT والقاطع MAB حيث MT = 8 و MA = 4. أوجد MB و AB.
الحل:

MT2 = MA × MB

64 = 4 × MB

MB = 16

AB = 16 – 4 = 12

مثال 3 النقطة M تبعد 13 سم عن مركز دائرة O، والمماس MT طوله 12 سم. أوجد نصف قطر الدائرة، ثم تحقق باستخدام القاعدة.
الحل:

OT ⊥ MT.

r2 = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

r = 5 سم

القاطع المار بالمركز:

MA = 13 – 5 = 8

و

MB = 13 + 5 = 18

MA × MB = 8 × 18 = 144 = 122 = MT2

تذكر:
اعتبار MT × MT = MA × AB (الصحيح MA × MB)؛
نسيان إضافة القطعتين لتكوين MB.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 20 / 27

2-4-4 عكس النظريات: أربع نقاط على دائرة والمماس

عكس نظرية الوترينإذا تقاطعت القطعتان المستقيمتان AB و CD في E داخلهما وكان AE × EB = CE × ED فإن النقط A و B و C و D تقع على دائرة واحدة.

وعكس المماسإذا كان (MT)2 = MA × MB فإن MT مماس للدائرة المارة بالنقط T و A و B.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
نحسب حاصلي الضرب ونقارنهما	إذا تساويا فالنقط متحدة الدائرة	تساويافالنقطمتحدةالدائرة
في الحالة الخارجية	M على امتداد القطعتين AB و CD وكان MA × MB = MC × MD فالنقط تقع على دائرة	امتدادالقطعتينوكانفالنقط
•	إذا كان MT² = MA × MB فإن MT يمس الدائرة المارة بـ T و A و B.	الدائرةالمارة
لاحظ	في الإثبات نستخدم التشابه بالـ SAS فنثبت أن △MTA ~ △MBT فتتساوى الزاويتان فيصبح MT مماسًا بنظرية المماس والوتر	الإثباتنستخدمالتشابهبالـ

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 القطعتان AB و CD تتقاطعان في E، حيث AE = 3 و EB = 8 و CE = 4 و ED = 6. هل النقط A و B و C و D على دائرة واحدة؟
الحل:

AE × EB = 3 × 8 = 24

CE × ED = 4 × 6 = 24

الحاصلان متساويان.
النقط الأربع تقع على دائرة واحدة (رباعي دائري).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 القطعتان AB و CD تتقاطعان في E، حيث AE = 2 و EB = 9 و CE = 4 و ED = 5. هل النقط على دائرة واحدة؟
الحل:

AE × EB = 18

CE × ED = 20

الحاصلان غير متساويين.
النقط لا تقع على دائرة واحدة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 النقطة D على امتداد BC خارج △ABC (C بين D و B) حيث DC = 4 و DB = 9. ما طول DA الذي يجعل DA مماسًا للدائرة المارة بالنقط A و B و C؟
الحل:
شرط المماسية:

DA2 = DC × DB

DA2 = 4 × 9 = 36

DA = 6

إذا كان DA = 6 فإن DA مماس للدائرة المارة بالنقط A و B و C.
تذكر الأخطاء الشائعة: افتراض أن النقط على دائرة دون اختبار؛ استخدام العكس بدون التأكد من موضع نقطة التقاطع بين القطعتين.

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 21 / 27

2-4-5 تطبيقات ومسائل متنوعة

نجمع بين نظريات الدائرة والتشابه وفيثاغورث لحل مسائل الأطوال.
نرسم الشكل ونكتب معطيات القطع على الشكل.
نحدد أي نظرية تناسب الشكل (وتران، قاطعان، مماس وقاطع).
قد نحتاج إلى نصف القطر أو العمود من المركز على الوتر.
لاحظ القوس (قنطرة) أو النفق على شكل جزء من دائرة يعتمد حله على قاعدة الوترين المتقاطعين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 دائرة نصف قطرها 10 سم، وتر AB فيها طوله 16 سم، و E منتصف AB.
أثبت أن AE × EB تساوي حاصل ضرب جزأي القطر المار بـ E، ثم أوجد المسافة من المركز إلى الوتر.
الحل:

AE = EB = 8

AE × EB = 64

المسافة من المركز إلى الوتر d:

d2 = 102 – 82 = 36

ومنه d = 6

جزآ القطر:

CE = 10 – 6 = 4

و

ED = 10 + 6 = 16

CE × ED = 64 = AE × EB

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 قنطرة على شكل قوس دائري، طول وترها 24 م وارتفاعها (السهم) 6 م. أوجد نصف قطر الدائرة.
الحل:
نصف الوتر = 12 م.
وتران متقاطعان الوتر AB والقطر العمودي عليه.

12 × 12 = 6 × (2r – 6)

144 = 12r – 36

r = 180

r = 15 م

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 وتران AB و CD يتقاطعان في E، AE = 6 و EB = 4 و CE = ED. أوجد CD.
الحل:

AE × EB = 24

CE × ED = CE2 = 24

CE = √24 = 2√6

CD = 2 × 2√6 = 4√6 ≈ 9.8

سم

تذكر←الأخطاء الشائعة: نسيان أن القطر = 2r عند حساب القطعة الثانية من القطر؛ خلط جزء من الوتر مع القطر.

.egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#1e1b4b}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#1e1b4b}.egp-ex-p{padding:12px 16px}

اختبر نفسك على هذا الدرس

تم توزيع أسئلة بنك الدرس على نقاط الشرح أعلاه
وكل نقطة تحتها أسئلتها. ولحل البنك كاملًا في صفحة واحدة:

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 22 / 27

📌 قاموس المفاهيم والمصطلحات العلمية الدقيقة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
تشابه المضلعات (Similarity of Polygons)	يتشابه مضلعان لهما نفس عدد الأضلاع إذا تحقق الشرطان معاً: 1. الزوايا المتناظرة متطابقة ومتساوية في القياس 2. أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة (تساوي معامل التشابه ك)	يتشابهمضلعانلهماالأضلاع
معامل التشابه (نسبة التكبير والتصغير)	النسبة ك بين طولي ضلعين متناظرين: إذا ك > 1 تسمى نسبة تكبير إذا 0 < ك < 1 تسمى نسبة تصغير إذا ك = 1 كان المضلعان متطابقين	النسبةطوليضلعينمتناظرين
حالات تشابه المثلثات الثلاث	الحالة 1: تساوي قياس زاويتين في أحد المثلثين مع زاويتين في الآخر (AA) الحالة 2: تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة الثلاثة (SSS) الحالة 3: تناسب طولي ضلعين وتساوي قياس الزاوية المحصورة بينهما (SAS)	الحالةتساويقياسزاويتين

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
النسبة بين مساحتي مثلثين أو مضلعين متشابهين	النسبة بين مساحتي مضلعين (أو مثلثين) متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما (م₁ / م₂ = ك² = (ل₁ / ل₂)²) وتساوي مربع النسبة بين محيطيهما	تساويمربعطوليمتناظرين
تطبيقات التشابه في الدائرة (قوة نقطة وتناسب الأوتار)	إذا تقاطع وتران أب و جـ د في نقطة هـ (داخل أو خارج الدائرة): فإن هـ أ × هـ ب = هـ جـ × هـ د وإذا كان هـ م مماساً للدائرة فإن: (هـ م)² = هـ أ × هـ ب	تقاطعوترانداخلخارج

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 23 / 27

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
(‘قاعدة المساحات للمضلعات المتشابهة	مساحة المضلع الأول / مساحة المضلع الثاني = (المحيط الأول / المحيط الثاني)² = (الضلع الأول / الضلع الثاني)² = ك².’	مساحةالمضلعالأولالثاني
(‘نظرية إقليدس كحالة خاصة للتشابه	في المثلث القائم أ ب جـ والعمود أ د ⊥ ب جـ: (أ ب)² = ب د × ب جـ (أ جـ)² = جـ د × ب جـ (أ د)² = ب د × جـ د أ د = (أ ب × أ جـ) / ب جـ.’	المثلثالقائموالعمود
(‘قوة نقطة بالنسبة لدائرة	ق_م(أ) = (م أ)² – نق² إن كانت موجبة فالنقطة خارج الدائرة وتساوي مربع المماس إن كانت صفراً فالنقطة على الدائرة إن كانت سالبة فالنقطة داخل الدائرة.’	كانتموجبةفالنقطةخارج

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 24 / 27

🔍 الشرح المستفيض والتعليلات العلمية المعتمدة (“علل”):

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
علل	المضلعان المشابهان لثالث متشابهان دائماً: لأن تساوي الزوايا وتناسب الأضلاع علاقات تكافؤ رياضية متعدية (إذا أ ~ ب و ب ~ جـ فإن أ ~ جـ)	المضلعانالمشابهانلثالثمتشابهان
علل	كل المربعات والمثلثات متساوية الأضلاع متشابهة: لأنها مضلعات منتظمة لها نفس عدد الأضلاع وزواياها متطابقة وأضلاعها متناسبة حتماً	المربعاتوالمثلثاتمتساويةالأضلاع
علل	النسبة بين مساحتي مضلعين متشابهين تساوي مربع النسبة بين محيطيهما: لأن المساحة كمية ذات بعدين (طول × عرض) فإذا تضاعفت الأبعاد الخطية بنسبة ك تضاعفت المساحة بنسبة ك² (تطبيق مباشر لتكامل الأشكال الهندسية)	النسبةمساحتيمضلعينمتشابهين

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 25 / 27

📊 حالات تقاطع المستقيمات والأوتار في الدائرة وتطبيقات التشابه:

حالة التقاطع الهندسي	موضع نقطة التقاطع هـ	القانون والعلاقة المترية الحاكمة	النتيجة الهندسية
تقاطع وترين داخل الدائرة	نقطة هـ داخل الدائرة	هـ أ × هـ ب = هـ جـ × هـ د	تساوي حاصلي ضرب جزأي كل وتر
تقاطع قاطعين خارج الدائرة	نقطة هـ خارج الدائرة	هـ أ × هـ ب = هـ جـ × هـ د	حاصل ضرب الجزء الخارجي في القاطع كاملاً ثابت
تقاطع مماس وقاطع خارج الدائرة	هـ م مماس عند م	(هـ م)² = هـ أ × هـ ب	مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب جزأي القاطع

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 26 / 27

💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

تريك امتحاني في الهندسةإذا كانت النسبة بين محيطي مضلعين 3 : 5، فإن النسبة بين مساحتيهما هي (3/5)² = 9 : 25.

سؤال وزاري مشهورإذا كان (هـ م)² = هـ أ × هـ ب، فإن هـ م يكون مماساً للدائرة المارة بالنقط م، أ، ب (عكس نظرية المماس والقاطع).

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة · 27 / 27

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الأول الثانوي

الرياضيات — الصف الأول الثانوي

الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة

🌳 شجرة المفاهيم

├── 2-1-1 مراجعة النسبة والتناسب

├── 2-1-2 تعريف تشابه مضلعين

├── 2-1-3 نسبة التشابه وإيجاد الأطوال المجهولة

├── 2-1-5 مقياس الرسم والخرائط

├── 2-2-1 حالة تساوي زاويتين (AA)

├── 2-2-2 حالة تناسب أطوال الأضلاع الثلاثة (SSS)

├── 2-2-5 المثلث القائم الزاوية ونظريتا إقليدس

├── 2-2-6 نظرية فيثاغورث وعكسها

├── 2-2-7 تطبيقات حياتية على تشابه المثلثات

├── 2-3-1 نسبة المساحتين ونسبة التشابه

├── 2-3-2 مساحات المثلثات المتشابهة والارتفاعات

├── 2-3-4 المساحات والتطبيقات العملية

├── 2-4-1 الوتران المتقاطعان داخل الدائرة

├── 2-4-3 المماس والقاطع من نقطة خارج الدائرة

├── 2-4-5 تطبيقات ومسائل متنوعة

🎨 رسم تعليمي واقعي لعناصر الدائرة الهندسية وعلاقات الأوتار والمماس المتقاطعة

رسم توضيحي واقعي

إذا كان

a ÷ b = c ÷ d

فإن

a × d = b × c

a ÷ b = c ÷ d

⟺ ad = bc

✍️ أمثلة محلولة

3 ÷ x = 12 ÷ 20

x = 3 × 20

x = 60

x = 5

x ÷ (x + 2) = 3 ÷ 5

x = 3(x + 2)

x = 3x + 6

x = 6

x = 3

k + 4k = 28

k = 28 ومنه k = 4

✍️ أمثلة محلولة

x2 = 4 × 9 = 36

x = 6

✍️ أمثلة محلولة

6 ÷ 9 = 2 / 3

10 ÷ 15 = 2 / 3

✍️ أمثلة محلولة

2 ÷ 4 = 1 / 2 و 3 ÷ 6 = 1 / 2 و 4 ÷ 8 = 1 / 2

لكن (5 ÷ 11 ≠ 1) / 2

✍️ أمثلة محلولة

✍️ أمثلة محلولة

k = 10 ÷ 15 = 2 / 3

BC ÷ LM = 2 / 3

12 ÷ LM = 2 / 3

LM = (12 × 3) / 2 = 18

محيط الأول ÷ محيط الثاني = 2 / 3

محيط الثاني =

(50 × 3) / 2 = 75

✍️ أمثلة محلولة

AB = (15 × 2) / 5 = 6

BC = (20 × 2) / 5 = 8

CD = (25 × 2) / 5 = 10

DA = (10 × 2) / 5 = 4

محيط الأول =

6 + 8 + 10 + 4 = 28

محيط الثاني =

15 + 20 + 25 + 10 = 70

النسبة

28 ÷ 70 = 2 / 5

✍️ أمثلة محلولة

(x + 2) ÷ 12 = 6 ÷ 9

(x + 2) ÷ 12 = 2 / 3

x + 2 = 8

x = 6

قياس الزاوية K = 70°

✍️ أمثلة محلولة

k = 4 ÷ 10 = 2 / 5

✍️ أمثلة محلولة

3 ÷ 3 = 1 بينما 3 ÷ 5 ≠ 1

✍️ أمثلة محلولة