مسألة احتمال شرطي وأحداث مستقلةالمعطيات والتفاعل والمطلوب: إذا كان A و B حدثين في فضاء عينة، وكان P(A) = 0.6، و P(B) = 0.5، و P(A ∪ B) = 0.8. احسب: (1) احتمال التقاطع P(A ∩ B)، (2) الاحتمال الشرطي P(A|B)، (3) هل الحدثان A و B مستقلان؟ مع التعليل.خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] أولاً: من قانون الاتحاد: P(A ∪ \[\begin{gathered}B) = P(A) + P(B) - P(A\end{gathered}\] ∩ \[\begin{gathered}B). [2] 0.8 = 0.6 + 0.5 - P(A\end{gathered}\] ∩ B) ==> \[\begin{gathered}0.8 = 1.1 - P(A\end{gathered}\] ∩ B). [3] إذاً: P(A ∩ \[\begin{gathered}B) = 1.1 - 0.8 = 0.3. [4]\end{gathered}\] ثانياً: حساب الاحتمال الشرطي P(A|B): \[\begin{gathered}[5] P(A|B) = P(A\end{gathered}\] ∩ \[\begin{gathered}B) / P(B) = \dfrac{0.3}{0.5} = 0.6. [6]\end{gathered}\] ثالثاً: اختبار استقلال الحدثين A و B: [7] نحسب حاصل ضرب \[\begin{gathered}P(A) \times P(B) = 0.6 \times 0.5 = 0.30. [8]\end{gathered}\] نلاحظ أن P(A ∩ B) = 0.3 مساوية تماماً لحاصل ضرب \[\begin{gathered}P(A) \times P(B) = 0.3. [9]\end{gathered}\] الاستنتاج: بما أن P(A ∩ \[\begin{gathered}B) = P(A) \times P(B\end{gathered}\])، فإن الحدثين A و B حدثان مستقلان تماماً.💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تذكر شرط الاستقلال: إذا كان التقاطع يساوي حاصل الضرب فالحدثان مستقلان!
مسألة التوزيع الطبيعي وحساب نسبة الطلاب المتفوقينالمعطيات والتفاعل والمطلوب: تتبع درجات طلاب في امتحان ما توزيعاً طبيعياً متوسطه الحسابي μ = 70 وانحرافه المعياري σ = 10. احسب النسبة المئوية للطلاب الحاصلين على درجات أكبر من 85، إذا علمت من الجدول أن المساحة \[\begin{gathered}P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332\end{gathered}\].خطوات الحل والبرهان الكيميائي: [1] المتغير العشوائي X يمثل درجات الطلاب: X ~ \[\begin{gathered}N(\mu = 70, \sigma = 10). [2]\end{gathered}\] المطلوب: حساب P(X ≥ 85). [3] أولاً: تحويل القيمة 85 إلى قيمة معيارية Z: \[\begin{gathered}[4] Z = \dfrac{X - \mu }{\sigma}= \dfrac{85 - 70}{10} = \dfrac{15}{10} = 1.5. [5]\end{gathered}\] إذاً: P(X ≥ 85) تكافئ في التوزيع المعياري: P(Z ≥ 1.5). [6] ثانياً: استخدام خواص المنحنى الطبيعي المعياري المتماثل: [7] المساحة في النصف الأيمن كاملة = \[\begin{gathered}0.5. [8] P(Z \ge 1.5) = 0.5 - P(0 \le Z \le 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668. [9]\end{gathered}\] ثالثاً: النسبة المئوية للطلاب = الاحتمال × \[\begin{gathered}100\% = 0.0668 \times 100\% = 6.68\%\end{gathered}\].💡 فنية وتريك للحل السريع وتجنب الخطأ: تريك امتحاني دائم: دائماً ارسم رسمة الجرس واظلل المساحة المطلوبة لتتأكد هل تطرح من 0.5 أم تجمع!
