أمثلة محلولة

نص المسألة / السؤال: احسب قيمة التكامل غير المحدد: ت = ∫ (2س + 1) هـ^(3س) دس.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) اختيار الدوال للتجزيء وفق قاعدة LIATE:نفرض الدالة الجبرية: u = 2س + 1 -> نشتق لإيجاد du: du = 2 دس.نفرض الدالة الأسية: dv = هـ^(3س) دس -> نكامل لإيجاد v: \(v = \left(\dfrac{1}{3}\right)\) هـ^(3س).2) تطبيق قانون التكامل بالتجزيء: ∫ \[\begin{gathered}u \,\text{dv} = u \cdot v -\end{gathered}\] ∫ v du:ت = (2س + \(1) \times [(\dfrac{1}{3}\)) هـ^(3س)] - ∫ [\(\left(\dfrac{1}{3}\right)\) هـ^(3س)] × (2 دس)ت = (\(\dfrac{1}{3}) (2\)س + 1) هـ^(3س) - \(\left(\dfrac{2}{3}\right)\) ∫ هـ^(3س) دس3) إجراء التكامل المتبقي البسيط:∫ هـ^(3س) دس = \(\left(\dfrac{1}{3}\right)\) هـ^(3س)إذن: ت = (\(\dfrac{1}{3}) (2\)س + 1) هـ^(3س) - \(\left(\dfrac{2}{3}\right) \times [\left(\dfrac{1}{3}\right)\) هـ^(3س)] + ثت = (\(\dfrac{1}{3}) (2\)س + 1) هـ^(3س) - \(\left(\dfrac{2}{9}\right)\) هـ^(3س) + ثبأخذ \(\left(\dfrac{1}{9}\right)\) هـ^(3س) عامل مشترك للتبسيط:ت = \(\left(\dfrac{1}{9}\right)\) هـ^(3س) [3(2س + 1) - 2] + ث = \(\left(\dfrac{1}{9}\right)\) هـ^(3س) [6س + 3 - 2] + ث = \(\left(\dfrac{1}{9}\right)\) هـ^(3س) (6س + 1) + ث.

نص المسألة / السؤال: أوجد مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين المنحنى ص = س² والمستقيم ص = 2س، ثم احسب حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة دورة كاملة حول محور السينات.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) إيجاد حدود التكامل بإيجاد نقط التقاطع:ص₁ = ص₂ -> س² = 2س -> س² - 2س = 0 -> س(س - 2) = 0إذن حدود التكامل هي من س = 0 إلى س = 2.في هذه الفترة المستقيم أعلى من المنحنى (مثلاً عند س = 1: ص_المستقيم = 2، ص_المنحنى = 1).2) حساب المساحة المستوية م:م = ∫₀² (2س - س²) دس = [س\(^{2} - \left(\dfrac{1}{3}\right)\) س³]₀²م = [\[\begin{gathered}(2)^{2} - \left(\dfrac{1}{3}\right)(2)^{3}] - [0] = [4 - \dfrac{8}{3}] = \dfrac{4}{3}\end{gathered}\] وحدة مساحة مربعة (حوالي 1.33 وحدة مربعة).3) حساب حجم الجسم الدوراني حول محور السينات ح:ح = π ∫₀² (ص₁² - ص₂²) دس = π ∫₀² [(2س)² - (س²)²] دس = π ∫₀² (4س² - س⁴) دسح = \(\pi [ \left(\dfrac{4}{3}\right)\) س\(^{3} - \left(\dfrac{1}{5}\right)\) س⁵ ]₀²بالتعويض بالحد العلوي س = 2:ح = \[\begin{gathered}\pi [ \left(\dfrac{4}{3}\right)(8) - \left(\dfrac{1}{5}\right)(32) ] = \pi [ \dfrac{32}{3} - \dfrac{32}{5} ]\end{gathered}\]بتوحيد المقامات على 15:ح = \[\begin{gathered}\pi [ \dfrac{160 - 96}{15} ] = \left(\dfrac{64}{15}\right) \pi \end{gathered}\] وحدة حجم مكعبة (حوالي 4.267 π وحدة مكعبة).