16 1-2-6 تطبيقات حياتية على المعادلات الأسية
كثير من المسائل يتضاعف فيها المقدار كل فترة ثابتة: الكمية النهائية = الكمية الابتدائية × (معامل التضاعف)ⁿ.
N = N₀ × rⁿ
- N₀ الكمية الابتدائية.
- r معامل التغير في الفترة الواحدة.
- n عدد الفترات = الزمن الكلي ÷ طول الفترة.
لاحظ: إذا كانت القيمة تنقص إلى النصف كل فترة فإن \(r = \dfrac{1}{2}\).
مثال 1: بكتيريا تنقسم كل 20 دقيقة. بدأنا بخلية واحدة. بعد كم دقيقة يصبح العدد 256؟
الحل:
\[\begin{gathered}2^{n} = 256 = 2^{8}\end{gathered}\]
n = 8
الزمن = \[\begin{gathered}8 \times 20 = 160\end{gathered}\] دقيقة
مثال 2: مبلغ 500 جنيه يتضاعف كل سنة. متى يصبح 4000 جنيه؟
الحل:
\[\begin{gathered}500 \times 2^{n} = 4000\end{gathered}\]
2ⁿ = 8
n = 3 سنوات
مثال 3: تنقص قيمة جهاز إلى النصف كل 3 سنوات وقيمته الآن 8000 جنيه. ما قيمته بعد 9 سنوات؟
الحل:
عدد الفترات = 9 ÷ 3 = 3
القيمة = \(8000 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)
= 8000 ÷ 8
= 1000 جنيه
مثال 4: مكعب طول حرفه 2x سم. أوجد حجمه عند x = 3.
الحل:
الحجم = (2x)³ = 8x³
عند x = 3: \[\begin{gathered}8 \times 27 = 216\end{gathered}\] سم³
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- نسيان قسمة الزمن على طول الفترة.
- كتابة الحجم بالأس 2.
- نسيان الوحدة.