الوحدة الأولى: الأعداد والعمليات عليها — قوى القوى والمعادلات الأسية

القوة هي اختصار لضرب عدد في نفسه عدة مرات: في aⁿ يسمى a الأساس ويسمى n الأس.

• الأساس هو العدد الذي يتكرر في الضرب.
• الأس يخبرنا كم مرة يتكرر الأساس.
• عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نبقي الأساس ونجمع الأسين.

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

لاحظ: 5⁴ تعني 5 × 5 × 5 × 5 ولا تعني 5 × 4.

علّل: \[\begin{gathered}a^{3} \times a^{2} = a^{5}\end{gathered}\] لأن عدد عوامل a في الناتج هو 3 + 2 = 5.

الأساس واحد وهو x.

نجمع الأسين: 4 + 7 = 11

\[\begin{gathered}x^{4} \times x^{7} = x^{11}\end{gathered}\]

الأساس واحد وهو 2.

\[\begin{gathered}2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}\end{gathered}\]

2⁷ = 128

نضرب المعاملين: 3 × 4 = 12

نجمع أسي a: 2 + 5 = 7

الناتج: 12a⁷

نضرب المعاملين: \[\begin{gathered}(-2) \times 5 = -10\end{gathered}\]

نجمع الأسين: 3 + 4 = 7

الناتج: −10x⁷

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• جمع الأساسين بدل الأسين (2³ × 2⁴ لا تساوي 4⁷).
• تطبيق القانون على أساسين مختلفين مثل 2³ × 3².
• جمع المعاملين العدديين بدل ضربهما.

عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه (a ≠ 0) نبقي الأساس ونطرح الأسين.

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

• نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.
• إذا كانت المعاملات أعدادًا فنقسمها كالمعتاد.

لاحظ: القسمة على الصفر غير معرفة، لذلك نشترط a ≠ 0.

نطرح الأسين: 9 − 5 = 4

\[\begin{gathered}2^{9} \div 2^{5} = 2^{4}\end{gathered}\]

2⁴ = 16

نقسم المعاملين: 15 ÷ 5 = 3

نطرح الأسين: 8 − 3 = 5

الناتج: 3x⁵

أسس a: 7 − 2 = 5

أسس b: 4 − 1 = 3

الناتج: a⁵b³

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• طرح الأسين بترتيب معكوس.
• قسمة الأسين بدل طرحهما.
• نسيان أن b تساوي b¹ عند الطرح.

أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي 1.

\[\begin{gathered}a^{0} = 1 (a \neq 0)\end{gathered}\]

• ينتج من قسمة قوة على نفسها: \[\begin{gathered}a^{n} \div a^{n} = a^{n-n} = a^{0}\end{gathered}\].
• وكل عدد غير صفري مقسوم على نفسه يساوي 1.

علّل: a⁰ = 1 لأن aⁿ ÷ aⁿ = 1 وبالطرح a⁰.

المجموع = 1 + 1 = 2

الأس صفر يخص x فقط.

x⁰ = 1

\[\begin{gathered}2x^{0} = 2 \times 1 = 2\end{gathered}\]

الأس يخص القوس كله.

(2x)⁰ = 1

المجموع = 2

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• الاعتقاد أن a⁰ = 0.
• كتابة (−2)⁰ = −1.
• تطبيق الأس الصفري على المعامل في 2x⁰.

الأس السالب يدل على المقلوب: \[\begin{gathered}a^{-n} = 1 \div a^{n}\end{gathered}\] حيث a ≠ 0.

\[\begin{gathered}a^{-n} = 1 \div a^{n}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(a \div b)^{-n} = (b \div a)^{n}\end{gathered}\]

• الأس السالب لا يجعل العدد سالبًا.
• ننقل القوة من البسط إلى المقام (أو العكس) فتتغير إشارة أسها.

لاحظ: القوة x⁻² معرفة بشرط x ≠ 0.

المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{8} + 1 = \dfrac{9}{8}\end{gathered}\]

نقلب الكسر ونغيّر إشارة الأس.

\[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}\end{gathered}\]

= \(\dfrac{9}{4}\)

الناتج: y² ÷ x⁴

المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{2}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{7}{10}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• كتابة 2⁻³ = −8 أو −6.
• نقل الرمز دون تغيير إشارة الأس.
• في (3x)⁻² يشمل الأس 3 أيضًا: الناتج 1 ÷ 9x².

عند رفع قوة إلى أس آخر نبقي الأساس ونضرب الأسين.

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

• قوة القوة هي قوة أساسها قوة أخرى مثل (a³)².
• \[\begin{gathered}(a^{3})^{2} = a^{3} \times a^{3} = a^{6}\end{gathered}\] لأن 3 × 2 = 6.

لاحظ: الضرب يجمع الأسس \[\begin{gathered}(x^{2} \times x^{3} = x^{5})\end{gathered}\]، أما قوة القوة فتضربها ((x²)³ = x⁶).

نضرب الأسين: 3 × 4 = 12

الناتج: x¹²

الناتج: a³

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• كتابة (x²)³ = x⁵ بالجمع.
• كتابة (x²)³ = x⁸ برفع 2 إلى القوة 3.
• إهمال إشارة الأس السالب عند الضرب.

عند رفع حاصل ضرب إلى أس يُرفع كل عامل إلى هذا الأس.

\[\begin{gathered}(\,\text{ab})^{n} = a^{n} b^{n}\end{gathered}\]

• يشمل ذلك المعامل العددي: (2x)³ = 8x³.
• نطبق قوة القوة على كل رمز: \[\begin{gathered}(x^{2}y)^{3} = x^{6}y^{3}\end{gathered}\].

علّل: \[\begin{gathered}(\,\text{ab})^{3} = (\,\text{ab})(\,\text{ab})(\,\text{ab}) = a^{3}b^{3}\end{gathered}\] لأن الضرب إبدالي.

b⁴ تبقى كما هي.

الناتج: 81a⁸b⁴

الناتج: −8x⁶

نجمع الأسس: x⁶⁺³ = x⁹ و y²⁺³ = y⁵

الناتج: 4x⁹y⁵

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• رفع أحد العوامل فقط: (2x)³ = 2x³.
• توزيع الأس على الجمع: (a + b)² لا تساوي a² + b².

عند رفع خارج قسمة إلى أس يُرفع البسط والمقام معًا إلى هذا الأس.

\[\begin{gathered}(a \div b)^{n} = a^{n} \div b^{n} (b \neq 0)\end{gathered}\]

• نوزع الأس على كل عامل في البسط والمقام.
• مع الأس السالب نقلب الكسر أولًا.

لاحظ: \[\begin{gathered}(a \div b)^{-n} = (b \div a)^{n}\end{gathered}\].

الناتج: \(\dfrac{9}{16}\)

البسط: (2x)³ = 8x³

المقام: (y²)³ = y⁶

الناتج: 8x³ ÷ y⁶

نقلب الكسر: (b ÷ a²)²

= b² ÷ a⁴

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• رفع البسط فقط للأس.
• نسيان قلب الكسر عند الأس السالب.
• القسمة على صفر عند b = 0.

(−a)ⁿ موجبة إذا كان n زوجيًا وسالبة إذا كان n فرديًا.

(−a)ⁿ = aⁿ عندما n زوجي

(−a)ⁿ = −aⁿ عندما n فردي

• حاصل ضرب عدد زوجي من العوامل السالبة موجب.
• حاصل ضرب عدد فردي منها سالب.

لاحظ: (−3)² = 9 بينما −3² = −9 لأن الإشارة في الثانية خارج القوة.

الأس فردي فالناتج سالب.

2⁵ = 32

(−2)⁵ = −32

المجموع = 0

الناتج: −8x³

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• الخلط بين (−3)² و −3².
• إهمال الإشارة عند الأس الفردي.

الجذر التربيعي √a عدد مربعه a، ولذلك (√a)² = a لكل a ≥ 0.

(√a)² = a

(√a)⁴ = a²

(√a)⁶ = a³

• نستخدم قوة القوة: \[\begin{gathered}(\sqrt{a})^{4} = ((\sqrt{a})^{2})^{2}\end{gathered}\].
• الأسس الفردية تبقي جزءًا من الجذر: (√a)³ = a√a.

لاحظ: √5 × √5 = 5 وليس 10.

الناتج: 625

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• كتابة (√5)² = 25.
• الخلط بين √5 × √5 والجمع.

نطبق القوانين بالترتيب: الأقواس أولًا، ثم الضرب والقسمة على الرموز المتشابهة، ثم نكتب الناتج بأسس موجبة.

• نزيل الأقواس بقانون قوة القوة وقوة الضرب.
• نضرب المعاملات ونقسمها.
• نجمع أسس الضرب ونطرح أسس القسمة لكل رمز.
• نذكر الشرط (x ≠ 0 ...) إذا ظهر رمز في المقام.

تذكر: عند توحيد الأساس نكتب 9 = 3² و 27 = 3³ و 4 = 2² و 8 = 2³.

البسط: 8x⁶y³

نقسم المعاملين: 8 ÷ 4 = 2

x⁶ ÷ x = x⁵

y³ ÷ y² = y

الناتج: 2x⁵y (x ≠ 0 ، y ≠ 0)

الناتج: a⁹b⁸

البسط: x⁸y²

المقام: x⁶y³

الناتج: x² ÷ y

عند x = 2 ، y = 1: 4 ÷ 1 = 4

البسط: \[\begin{gathered}3^{2n} \times 3^{2n-1} = 3^{4n-1}\end{gathered}\]

القسمة: \[\begin{gathered}3^{4n-1} \div 3^{3n} = 3^{n-1}\end{gathered}\]

الناتج: 3ⁿ⁻¹

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان توزيع الأس على المعامل.
• طرح الأسس بالترتيب المعكوس.
• ترك الناتج بأسس سالبة دون كتابتها بأسس موجبة.

المعادلة الأسية معادلة يكون المجهول فيها في الأس؛ وإذا تساوت قوتان متحدتا الأساس تساوى أسيهما.

aˣ = aʸ ⟹ x = y (a > 0 ، a ≠ 1)

خطوات الحل:

• نكتب الطرفين بأساس واحد (بتحليل العدد إلى عوامله الأولية).
• نساوي الأسين.
• نحل المعادلة الناتجة.
• نتحقق بالتعويض.

قوى شائعة نحفظها:

2 : 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، 256

3 : 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 243

5 : 5 ، 25 ، 125 ، 625

علّل: نشترط a ≠ 1 لأن 1ˣ = 1ʸ = 1 لأي قيمتين x و y، فلا تتساوى الأسس بالضرورة.

التحقق: 2⁵ = 32 ✓

التحقق: 3⁴ = 81 ✓

4 = 2² و 8 = 2³

(2²)ˣ = 2³

2²ˣ = 2³

2x = 3

\(x = \dfrac{3}{2}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• مساواة الأساسين قبل توحيدهما.
• نسيان ضرب الأس: (2²)ˣ = 2²ˣ.
• نسيان التحقق بالتعويض.

نكتب \(\dfrac{1}{a^{n}}\) على الصورة a⁻ⁿ، ونكتب 1 على الصورة a⁰، فتتحول المعادلة إلى مساواة أسس.

\[\begin{gathered}1 \div a^{n} = a^{-n}\end{gathered}\]

aˣ = \[\begin{gathered}1 \\[4pt] \therefore\; x = 0\end{gathered}\]

• الكسر \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)ˣ يساوي 2⁻ˣ.
• العدد العشري 0.001 يساوي 10⁻³.

لاحظ: الأساس الكسري \(\dfrac{1}{a}\) يُكتب a⁻¹.

التحقق: \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) ✓

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• كتابة \(\dfrac{1}{8} = 2^{3}\).
• الخلط بين \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\)ˣ و 2ˣ.
• كتابة 5⁰ = 0.

عند وجود جمع أو طرح لقوى متحدة الأساس نكتب كل قوة بدلالة أصغر قوة ونأخذها عاملًا مشتركًا.

aˣ⁺ⁿ = aˣ × aⁿ

• نحول 2ˣ⁺¹ إلى 2ˣ × 2.
• نأخذ 2ˣ عاملًا مشتركًا.
• ثم نحل المعادلة الأسية البسيطة.

تذكر: الجمع لا يجمع الأسس: 2ˣ + 2ˣ⁺¹ ليست 2²ˣ⁺¹.

التحقق: 8 + 16 = 24 ✓

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان أن الحد المأخوذ عاملًا يترك 1.
• جمع الأسس عند الجمع.

في xⁿ = c نكتب c على صورة قوة بالأس نفسه n.

xⁿ = aⁿ

• إذا كان n فرديًا فإن x = a فقط.
• إذا كان n زوجيًا فإن x = a أو x = −a.

لاحظ: المعادلة x² = −9 ليس لها حل في ℝ لأن المربع لا يكون سالبًا.

مجموعة الحل: {5}

الأس زوجي.

x = 3 أو x = −3

مجموعة الحل: {3 ، −3}

x − 1 = 7 أو x − 1 = −7

x = 8 أو x = −6

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان الجذر السالب عند الأس الزوجي.
• إهمال إشارة الجذر عند الأس الفردي.

نحلل كل أساس إلى قوة لعدد أولي مشترك ثم نساوي الأسس.

(aᵐ)ˣ = aᵐˣ

• 4 و 8 و 16 قوى للعدد 2.
• 9 و 27 و 81 قوى للعدد 3.
• بعد التوحيد نساوي الأسين ونحل.

تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب الأس في الأساس بدل الأس.

التحقق: 4³ = 64 و 2⁶ = 64 ✓

8ˣ = 2³ˣ و 4ˣ⁺¹ = 2²ˣ⁺²

3x = 2x + 2

x = 2

كثير من المسائل يتضاعف فيها المقدار كل فترة ثابتة: الكمية النهائية = الكمية الابتدائية × (معامل التضاعف)ⁿ.

N = N₀ × rⁿ

• N₀ الكمية الابتدائية.
• r معامل التغير في الفترة الواحدة.
• n عدد الفترات = الزمن الكلي ÷ طول الفترة.

لاحظ: إذا كانت القيمة تنقص إلى النصف كل فترة فإن \(r = \dfrac{1}{2}\).

الزمن = \[\begin{gathered}8 \times 20 = 160\end{gathered}\] دقيقة

n = 3 سنوات

عدد الفترات = 9 ÷ 3 = 3

القيمة = \(8000 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\)

= 8000 ÷ 8

= 1000 جنيه

الحجم = (2x)³ = 8x³

عند x = 3: \[\begin{gathered}8 \times 27 = 216\end{gathered}\] سم³

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان قسمة الزمن على طول الفترة.
• كتابة الحجم بالأس 2.
• نسيان الوحدة.

نبدأ بتوحيد الأساس ثم نبسط الطرفين بقوانين الأسس ثم نساوي الأسس.

• نكتب كل عدد بأساسه الأولي.
• نجمع الأسس في الضرب ونطرحها في القسمة.
• نساوي الأسس ونحل.

لاحظ: تحقق من الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية دائمًا.

التحقق: \[\begin{gathered}2^{1} \div 4^{-2} = 2 \times 16 = 32\end{gathered}\] ✓

التحقق: 3³ = 27 و 27¹ = 27 ✓

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان توحيد الأساس.
• أخطاء الجمع والطرح في الأسس.
• ترك الحل دون تحقق.

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

\[\begin{gathered}(\,\text{ab})^{n} = a^{n}b^{n}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(a \div b)^{n} = a^{n} \div b^{n}\end{gathered}\]

a⁰ = 1

\[\begin{gathered}a^{-n} = 1 \div a^{n}\end{gathered}\]

aˣ = aʸ ⟹ x = y (a > 0 ، a ≠ 1)