20 2-5-4 المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي
المعكوس الجمعي للدالة f هو −f، والمعكوس الضربي هو 1 ÷ f بشرط f(x) ≠ 0.
\[\begin{gathered}f + (-f) = 0\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}f \times (1 \div f) = 1\end{gathered}\]
- المعكوس الجمعي له مجال f نفسه.
- مجال المعكوس الضربي يستبعد أصفار f أيضًا.
لاحظ: المعكوس الضربي لـ f(x) = 0 غير موجود.
مثال 1: أوجد المعكوسين لـ \[\begin{gathered}f(x) = (x + 1) \div (x - 2)\end{gathered}\].
الحل:
الجمعي: −(x + 1) ÷ (x − 2) على ℝ − {2}
صفر f هو x = −1.
الضربي: (x − 2) ÷ (x + 1) على ℝ − {2 ، −1}
مثال 2: أوجد المعكوس الضربي لـ \[\begin{gathered}f(x) = x \div (x^{2} - 1)\end{gathered}\].
الحل:
مجال f ℝ − {1 ، −1} وصفره 0.
المعكوس الضربي: (x² − 1) ÷ x
مجاله ℝ − {0 ، 1 ، −1}
مثال 3: أوجد المعكوس الجمعي لـ \[\begin{gathered}f(x) = 2 \div (x - 3)\end{gathered}\].
الحل:
−2 ÷ (x − 3) على ℝ − {3}
التحقق: \[\begin{gathered}2 \div (x - 3) - 2 \div (x - 3) = 0\end{gathered}\] ✓
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- الخلط بين المعكوس الجمعي والمقلوب.
- نسيان استبعاد أصفار f من مجال مقلوبها.