الوحدة الثانية: الجبر والعلاقات والدوال — الدالة التربيعية والكسور الجبرية النسبية

الدالة التربيعية دالة أعلى قوة للمتغير فيها هي 2، وصورتها العامة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] حيث a ≠ 0.

\[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\]

• a و b و c أعداد حقيقية وa لا تساوي صفرًا.
• مجال الدالة التربيعية هو ℝ.
• تمثيلها البياني منحنى يسمى القطع المكافئ.

لاحظ: إذا كانت a = 0 اختفى الحد x² وأصبحت الدالة خطية.

علّل: مجال الدالة التربيعية هو ℝ لأننا نستطيع تعويض أي عدد حقيقي في قاعدتها.

نرتب الحدود: \[\begin{gathered}f(x) = -x^{2} + 3x + 5\end{gathered}\]

أعلى قوة هي 2 ومعاملها −1 ≠ 0.

إذن الدالة تربيعية.

a = −1 ، b = 3 ، c = 5

نفك القوسين: x² + 2x − x − 2

\[\begin{gathered}h(x) = x^{2} + x - 2\end{gathered}\]

a = 1 ≠ 0.

إذن الدالة تربيعية وفيها a = 1 ، b = 1 ، c = −2.

f خطية لأن أعلى قوة 1.

g أعلى قوة فيها 3.

\[\begin{gathered}k(x) = -x^{2} + 5\end{gathered}\] أعلى قوة 2.

إذن k وحدها تربيعية.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• اعتبار الدالة تربيعية وإن كانت a = 0.
• عدم ترتيب الحدود قبل تحديد a و b و c.
• تحديد a بإشارة خاطئة في −x².

نقطة (p ، q) تقع على منحنى الدالة f إذا وفقط إذا كان f(p) = q.

f(p) = q

• نعوض قيمة x في القاعدة.
• نضع الأقواس حول الأعداد السالبة.

لاحظ: (−2)² = 4 بينما −2² = −4.

الصورة تساوي 4.

إذن النقطة (3 ، 4) على المنحنى.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• كتابة −2² = 4.
• نسيان ضرب المعامل في المربع.
• الحكم على النقطة دون تعويض.

صيغة الرأس هي \[\begin{gathered}f(x) = a(x - h)^{2} + k\end{gathered}\]، ورأس المنحنى هو النقطة (h ، k) ومحور تماثله x = h.

\[\begin{gathered}f(x) = a(x - h)^{2} + k\end{gathered}\]

• الرأس (h ، k).
• محور التماثل x = h.
• إذا كانت a > 0 فللدالة قيمة صغرى هي k.
• إذا كانت a < 0 فللدالة قيمة عظمى هي k.

لاحظ: \[\begin{gathered}(x + 1) = x - (-1)\end{gathered}\] فتكون h = −1.

علّل: القيمة k هي أصغر أو أكبر قيمة لأن المقدار a(x − h)² لا يتغير إشارته ويساوي صفرًا عند x = h.

a = 1 ، h = 3 ، k = 1

الرأس (3 ، 1)

محور التماثل x = 3

a > 0 فالقيمة الصغرى 1.

h = −1 ، k = 5 ، a = −2

الرأس (−1 ، 5)

محور التماثل x = −1

a < 0 فالقيمة العظمى 5.

h = 5 ، k = 0

الرأس (5 ، 0) ويقع على محور السينات.

القيمة الصغرى 0 لأن a > 0.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• أخذ h بنفس إشارة ما داخل القوس.
• الخلط بين القيمة العظمى والصغرى.
• نسيان k عندما تكون الدالة (x − h)² فقط (k = 0).

نكتب \[\begin{gathered}f(x) = a(x - h)^{2} + k\end{gathered}\] بإحداثيات الرأس، ثم نعوض النقطة لإيجاد a.

• نعوض h و k.
• نعوض النقطة المعلومة لإيجاد a.
• نكتب القاعدة النهائية.

تذكر: يمكن التحقق بتعويض النقطة في القاعدة النهائية.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان إشارة h.
• حل خاطئ لقيمة a.

نعين الرأس ومحور التماثل ثم نكون جدول قيم لنقاط على جانبي المحور ونصل بينها بمنحنى أملس.

• نعين الرأس (h ، k).
• نختار قيم x متماثلة على جانبي h.
• نعين النقاط ونصل بينها.
• نكتب المدى ونحدد المقطع الصادي f(0).

لاحظ: المدى [k ، ∞) عند a > 0 و (−∞ ، k] عند a < 0.

الرأس (2 ، −1) ، محور التماثل x = 2

x : 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4

f(x) : 3 ، 0 ، −1 ، 0 ، 3

المقطع الصادي 3

المدى [−1 ، ∞)

الرأس (−1 ، 4) والمنحنى مفتوح لأسفل.

x : −3 ، −2 ، −1 ، 0 ، 1

f(x) : 0 ، 3 ، 4 ، 3 ، 0

المقطع الصادي 3

المدى (−∞ ، 4]

الرأس (1 ، −2)

x : −1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3

f(x) : 6 ، 0 ، −2 ، 0 ، 6

المقطع الصادي 0 (المنحنى يمر بالأصل)

المدى [−2 ، ∞)

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• اختيار قيم x من جهة واحدة.
• وصل النقاط بخطوط مستقيمة.
• كتابة المدى ℝ.

في \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] تكون \[\begin{gathered}h = -b \div (2a)\end{gathered}\] و k = f(h).

\[\begin{gathered}h = -b \div (2a)\end{gathered}\]

k = f(h)

• نحسب h ثم نعوضها في الدالة.
• أو نحول الدالة إلى صيغة الرأس بإكمال المربع.

تذكر: ابدأ دائمًا بإشارة b الأصلية: h = −b ÷ 2a.

الرأس (3 ، −4) والقيمة الصغرى −4.

بإكمال المربع: (x − 3)² − 4 ✓

القيمة العظمى 5 عند x = 2.

الرأس (−2 ، −5) والقيمة الصغرى −5.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان إشارة b في القانون.
• إيجاد h دون k.
• ذكر القيمة العظمى مع a موجبة.

نكتب المقدار المطلوب كدالة تربيعية ونوجد قيمتها العظمى أو الصغرى عند الرأس.

• المقدار الأقصى يكون عند الرأس إذا كانت a < 0.
• المقدار الأدنى يكون عند الرأس إذا كانت a > 0.

لاحظ: المربع له أكبر مساحة بين المستطيلات ذات المحيط الواحد.

أقصى ارتفاع 20 مترًا بعد ثانيتين.

الطول x والعرض 20 − x

\[\begin{gathered}A(x) = x(20 - x) = -x^{2} + 20x\end{gathered}\]

x = 10

A(10) = 100

أكبر مساحة 100 م².

العددان x و 10 − x

\[\begin{gathered}P(x) = x(10 - x) = -x^{2} + 10x\end{gathered}\]

x = 5

P(5) = 25

أكبر حاصل ضرب 25.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان كتابة الدالة بدلالة متغير واحد.
• ذكر الرأس بدل القيمة المطلوبة.

دالة كثيرة الحدود قاعدتها مجموع حدود كل منها عدد حقيقي مضروب في قوة صحيحة غير سالبة للمتغير، ودرجتها أعلى قوة.

\[\begin{gathered}f(x) = a_{n}x^{n} + ... + a_{1}x + a_{0}\end{gathered}\]

• الدالة الخطية درجتها 1.
• الدالة التربيعية درجتها 2.
• الدالة الثابتة درجتها 0.

لاحظ: 1 ÷ x و √x ليستا دالتي كثيرة حدود.

أعلى قوة 4.

الدرجة = 4

حدود بقوى صحيحة غير سالبة.

نعم وهي من الدرجة الأولى.

1 ÷ x = x⁻¹ والأس سالب.

لا ليست كثيرة حدود.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• اعتبار الجذر أو القسمة على المتغير ضمن كثيرات الحدود.
• تحديد الدرجة بعدد الحدود.

صفر الدالة هو كل عدد x يحقق f(x) = 0؛ ومجموعة الأصفار هي مجموعة حل المعادلة f(x) = 0 في ℝ.

f(x) = 0

• نضع f(x) = 0.
• نحلل (عامل مشترك أو فرق مربعين أو ثلاثي حدود).
• نساوي كل عامل بالصفر.

تذكر: لا تقسم طرفي المعادلة على x (تضيع قيمة الصفر)؛ استخدم العامل المشترك.

x = 2 أو x = 3

مجموعة الأصفار {2 ، 3}

التحقق: \[\begin{gathered}f(2) = 4 - 10 + 6 = 0\end{gathered}\] ✓

{0 ، 2 ، −2}

x = −5 أو x = 3

{−5 ، 3}

x = 0 أو x = 4

{0 ، 4}

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• الخلط بين صفر الدالة والمقطع الصادي.
• نسيان أحد العوامل.

إذا تعذر التحليل نكتب الدالة بصيغة الرأس ثم نحل \[\begin{gathered}(x - h)^{2} = c\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}(x - h)^{2} = c\end{gathered}\]

• c موجبة: حلان x = h ± √c.
• c = 0: حل واحد x = h.
• c سالبة: لا حل حقيقي.

علّل: لا يوجد حل حقيقي عندما c سالبة لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا.

x − 1 = 2 أو x − 1 = −2

x = 3 أو x = −1

{3 ، −1}

x = 5 أو x = −1

x = 2 أو x = −4

لا حل حقيقي.

مجموعة الأصفار ∅

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• نسيان الجذر السالب.
• خطأ في إكمال المربع (نصف معامل x ثم تربيعه).

صفر الدالة هو الإحداثي السيني لنقطة تقاطع المنحنى مع محور السينات.

• منحنى يقطع المحور في نقطتين: صفران.
• منحنى يمس المحور: صفر واحد.
• منحنى لا يقطع المحور: لا أصفار.

لاحظ: لدالة تربيعية لا يزيد عدد الأصفار عن 2.

الرأس (2 ، 0) على المحور.

\[\begin{gathered}(x - 2)^{2} = 0\end{gathered}\]

x = 2

صفر واحد.

الرأس (−1 ، −3) والمنحنى مفتوح لأسفل.

المنحنى تحت المحور كله.

∅

الإحداثيات السينية للنقطتين −2 و 4.

{−2 ، 4}

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• قراءة الصفر على أنه الإحداثي الصادي.
• الحكم على الأصفار دون مقارنة موقع الرأس.

دالة الكسر الجبري النسبي هي \[\begin{gathered}f(x) = n(x) \div d(x)\end{gathered}\] حيث n و d كثيرتا حدود و d(x) ≠ 0، ومجالها ℝ مطروحًا منها أصفار المقام.

\[\begin{gathered}f(x) = n(x) \div d(x)\end{gathered}\]

المجال = ℝ − {أصفار المقام}

• نضع المقام = 0 ونحله.
• نستبعد الحلول من ℝ.

علّل: نستبعد أصفار المقام لأن القسمة على صفر غير معرفة.

المجال ℝ − {2}

x = 3 أو x = −3

المجال ℝ − {3 ، −3}

x² + 1 ≥ 1 > 0

المقام لا يساوي صفرًا أبدًا.

المجال ℝ

المجال ℝ − {2 ، 3}

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• استبعاد أصفار البسط من المجال.
• نسيان أحد جذري المقام.
• الاختصار قبل إيجاد المجال.

نحلل البسط والمقام ونختصر العوامل المشتركة مع استبعاد أصفار المقام الأصلي.

• المجال يُحدد قبل الاختصار.
• بعد الاختصار نكتب الشرط على x.

لاحظ: الصورة المبسطة قد يكون مجالها أكبر من مجال الدالة الأصلية.

(x − 3)(x + 3) ÷ (x + 3)

= x − 3 حيث x ≠ −3

(x − 2)(x − 3) ÷ ((x − 2)(x + 2))

= (x − 3) ÷ (x + 2) حيث x ≠ 2 ، x ≠ −2

x(x + 3) ÷ ((x − 3)(x + 3))

= x ÷ (x − 3) حيث x ≠ 3 ، x ≠ −3

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• اختصار حدود لا عوامل.
• إهمال الشرط على x بعد الاختصار.

أصفار الدالة هي أصفار البسط التي تنتمي إلى المجال.

• نوجد المجال الأصلي.
• نحل البسط = 0.
• نستبعد أي حل خارج المجال.

علّل: قد يكون صفر البسط ليس صفرًا للدالة لأنه قد يكون أيضًا صفرًا للمقام فيقع خارج المجال.

المجال ℝ − {2}

x² − 4 = 0 فإن x = 2 أو x = −2

x = 2 خارج المجال.

الأصفار {−2}

البسط (x − 3)(x + 2) والمقام (x − 3)(x + 3)

المجال ℝ − {3 ، −3}

x = 3 أو x = −2 أصفار البسط.

x = 3 خارج المجال.

الأصفار {−2}

x² + 1 = 0 لا حل حقيقي له.

∅

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• اعتبار كل أصفار البسط أصفارًا للدالة.
• استخدام المجال المبسط.

المجال المشترك هو تقاطع مجالات الدوال، أي ℝ مطروحًا منها أصفار جميع المقامات.

المجال المشترك = مجال f ∩ مجال g

• نوجد مجال كل دالة.
• نستبعد أصفار كل المقامات معًا.

لاحظ: عدد المستبعدات في المجال المشترك يساوي اتحاد المستبعدات في المجالين.

مجال الأولى ℝ − {1}

مجال الثانية ℝ − {2 ، −2}

المجال المشترك ℝ − {1 ، 2 ، −2}

ℝ − {1 ، −1} و ℝ − {2 ، −2}

المجال المشترك ℝ − {1 ، −1 ، 2 ، −2}

ℝ − {0} و ℝ و ℝ − {5}

المجال المشترك ℝ − {0 ، 5}

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• أخذ مجال دالة واحدة فقط.
• نسيان أن المقام x² + 1 لا يستبعد شيئًا.

تتساوى f و g إذا تساوى مجالاهما وكان f(x) = g(x) لكل x في المجال.

• نوجد مجال كل دالة من صورتها الأصلية.
• نقارن المجالين أولًا.
• ثم نقارن القاعدتين بعد التبسيط.

تذكر: إن اختلف المجالان فالدالتان غير متساويتين حتى لو تطابقت القاعدتان المبسطتان.

مجال f هو ℝ − {3}

مجال g هو ℝ − {3} لأن x² + 1 لا تساوي صفرًا.

نختصر g بالعامل x² + 1: 2 ÷ (x − 3)

المجالان والقاعدتان واحدة.

نعم متساويتان.

مجال f هو ℝ − {1}

مجال g هو ℝ

المجالان مختلفان.

لا تتساويان لكنهما متساويتان على ℝ − {1}.

مجال كل منهما ℝ − {1 ، −1}

\[\begin{gathered}f(x) = ((x + 1) + (x - 1)) \div (x^{2} - 1)\end{gathered}\]

= 2x ÷ (x² − 1)

نعم متساويتان.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• الحكم على التساوي بالقاعدة المبسطة فقط.
• مقارنة المجالين بعد الاختصار.

نوحد المقامات ثم نجمع أو نطرح البسطين ونبسط، ومجال الناتج هو المجال المشترك.

\[\begin{gathered}\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = (\,\text{ad} + \,\text{bc}) \div \,\text{bd}\end{gathered}\]

• نحلل المقامات ونوجد المضاعف المشترك.
• نضرب بسط كل كسر في ما ينقصه.
• نجمع أو نطرح بحذر الإشارات.

تذكر: عند الطرح ضع بسط الكسر الثاني بين قوسين.

المقام المشترك (x − 1)(x + 2)

البسط: 2(x + 2) + 3(x − 1)

= 2x + 4 + 3x − 3

= 5x + 1

الناتج: (5x + 1) ÷ ((x − 1)(x + 2)) ، المجال ℝ − {1 ، −2}

البسط: \[\begin{gathered}x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)\end{gathered}\]

الناتج: (x + 2) ÷ x ، المجال ℝ − {0 ، 2}

البسط: 3(x + 1) + (x − 2)

= 3x + 3 + x − 2

= 4x + 1

الناتج: (4x + 1) ÷ ((x − 2)(x + 1)) ، المجال ℝ − {2 ، −1}

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• جمع البسطين والمقامين معًا.
• نسيان تغيير إشارات البسط عند الطرح.

نحلل البسوط والمقامات ونختصر ثم نضرب، ونستبعد من المجال أصفار المقامات.

\[\begin{gathered}\left(\dfrac{a}{b}\right) \times \left(\dfrac{c}{d}\right) = \,\text{ac} \div \,\text{bd}\end{gathered}\]

• التحليل أولًا ثم الاختصار.
• المجال: ℝ مطروحًا منها أصفار المقامات.

لاحظ: يمكن اختصار أي بسط مع أي مقام.

(x − 3)(x + 3) ÷ (x + 1) × (x + 1) ÷ (x − 3)

= x + 3

المجال ℝ − {−1 ، 3}

(x − 1)(x + 1) ÷ (x(x + 2)) × x ÷ (x + 1)

= (x − 1) ÷ (x + 2)

المجال ℝ − {0 ، −2 ، −1}

2x(x − 3)(x + 3) ÷ ((x − 3) × 4x)

= (x + 3) ÷ 2

المجال ℝ − {3 ، 0}

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• اختصار حدود وليس عوامل.
• نسيان استبعاد القيم التي اختصرت.

نضرب في مقلوب المقسوم عليه، ونستبعد من المجال أصفار المقامات وأصفار المقسوم عليه.

\[\begin{gathered}\left(\dfrac{a}{b}\right) \div \left(\dfrac{c}{d}\right) = \left(\dfrac{a}{b}\right) \times \left(\dfrac{d}{c}\right)\end{gathered}\]

• نقلب الكسر الثاني.
• نحلل ونختصر.
• ندوّن أصفار المقسوم عليه ضمن المستبعد.

علّل: نستبعد صفر المقسوم عليه لأن القسمة على دالة قيمتها صفر غير معرفة.

(x − 2)(x + 2) ÷ (x + 3) × (x − 3)(x + 3) ÷ (x + 2)

= (x − 2)(x − 3)

= x² − 5x + 6

المجال ℝ − {−3 ، 3 ، −2}

(x − 3)(x + 3) ÷ x × x² ÷ (x + 3)

= x(x − 3)

المجال ℝ − {0 ، −3}

(1 ÷ x) × x²

= x

المجال ℝ − {0}

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• قلب الكسر الأول بدل الثاني.
• نسيان صفر المقسوم عليه.

المعكوس الجمعي للدالة f هو −f، والمعكوس الضربي هو 1 ÷ f بشرط f(x) ≠ 0.

\[\begin{gathered}f + (-f) = 0\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}f \times (1 \div f) = 1\end{gathered}\]

• المعكوس الجمعي له مجال f نفسه.
• مجال المعكوس الضربي يستبعد أصفار f أيضًا.

لاحظ: المعكوس الضربي لـ f(x) = 0 غير موجود.

الجمعي: −(x + 1) ÷ (x − 2) على ℝ − {2}

صفر f هو x = −1.

الضربي: (x − 2) ÷ (x + 1) على ℝ − {2 ، −1}

مجال f ℝ − {1 ، −1} وصفره 0.

المعكوس الضربي: (x² − 1) ÷ x

مجاله ℝ − {0 ، 1 ، −1}

−2 ÷ (x − 3) على ℝ − {3}

التحقق: \[\begin{gathered}2 \div (x - 3) - 2 \div (x - 3) = 0\end{gathered}\] ✓

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• الخلط بين المعكوس الجمعي والمقلوب.
• نسيان استبعاد أصفار f من مجال مقلوبها.

تحقق العمليات على الكسور الجبرية النسبية خواص الإبدال والتجميع والتوزيع، ويوجد محايد جمعي (0) ومحايد ضربي (1).

\[\begin{gathered}f + g = g + f\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}f \times g = g \times f\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}f \times (g + h) = f \times g + f \times h\end{gathered}\]

f + 0 = f ، f × 1 = f

• تتحقق الخواص عند كل نقطة من المجال المشترك.

لاحظ: القسمة والطرح ليستا إبداليتين.

\(f(2) = \dfrac{1}{2}\) و \(g(2) = \dfrac{2}{3}\)

\[\begin{gathered}f + g = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}g + f = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{6}\end{gathered}\]

الإبدال محقق.

\(f(2) = \dfrac{1}{2}\) ، g(2) = 2 ، h(2) = 2

الطرف الأيمن: \[\begin{gathered}\dfrac{1}{2} \times (2 + 2) = 2\end{gathered}\]

الطرف الأيسر: \[\begin{gathered}\dfrac{1}{2} \times 2 + \dfrac{1}{2} \times 2 = 2\end{gathered}\]

محقق ✓

الصفر محايد جمعي والواحد محايد ضربي.

تذكر: الأخطاء الشائعة:

• اعتبار الطرح إبداليًا.
• نسيان تحديد المجال المشترك عند التحقق.