09 3-4-2 تعريف الجيب وجيب التمام والظل
النسب المثلثية للزاوية الحادة θ.
sin θ = المقابل ÷ الوتر
cos θ = المجاور ÷ الوتر
tan θ = المقابل ÷ المجاور
تذكر: لا تعتمد قيمة النسبة على حجم المثلث بل على قياس الزاوية فقط، لأن المثلثات القائمة التي لها نفس الزاوية الحادة متشابهة.
مثال 1: المثلث ABC قائم في B فيه AB = 8 سم و BC = 6 سم. أوجد النسب المثلثية للزاوية A.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AC}^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100\end{gathered}\]
AC = 10 سم
بالنسبة للزاوية A: المقابل BC = 6 والمجاور AB = 8 والوتر 10.
\[\begin{gathered}\sin A = 6 \div 10 = \dfrac{3}{5}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos A = 8 \div 10 = \dfrac{4}{5}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan A = 6 \div 8 = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\]
مثال 2: إذا كان \[\begin{gathered}\sin \theta = \dfrac{5}{13}\end{gathered}\] فأوجد cos θ و tan θ حيث θ حادة.
الحل:
المقابل = 5 والوتر = 13.
المجاور = \[\begin{gathered}\sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos \theta = \dfrac{12}{13}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan \theta = \dfrac{5}{12}\end{gathered}\]
مثال 3: في المثلث ABC القائم في B إذا كان cos C = 0.6 وكان AC = 20 سم. أوجد BC و AB.
الحل:
\[\begin{gathered}\cos C = \,\text{BC} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{BC} = 0.6 \times 20 = 12\end{gathered}\] سم
\[\begin{gathered}\,\text{AB} = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\end{gathered}\] سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: قسمة المقابل على المجاور في الجيب؛ تحديد المقابل والمجاور لزاوية غير المطلوبة؛ نسيان إيجاد الضلع الثالث بفيثاغورس.