الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس — التشابه والتمدد والنسب المثلثية ومعادلة الخط المستقيم

يتشابه مضلعان إذا تحقق شرطان معًا.

• الزوايا المتناظرة متساوية في القياس.
• أطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة.

يُرمز للتشابه بالرمز ~ فنكتب ABCD ~ XYZW. ترتيب الحروف مهم، لأنه يحدد الرؤوس المتناظرة: A تناظر X و B تناظر Y وهكذا.

لاحظ: يكفي لتشابه مضلعين أن يتحقق الشرطان معًا، فلا يكفي تساوي الزوايا فقط (المستطيل والمربع زواياهما قوائم لكنهما غير متشابهين).

نسبة التشابه هي النسبة بين طولي ضلعين متناظرين:

نسبة التشابه = طول ضلع في المضلع الأول ÷ طول الضلع المناظر في المضلع الثاني

تذكر: إذا كانت نسبة التشابه 1 : 1 فالمضلعان متطابقان.

الزوايا جميعها قوائم فهي متساوية.

نسبة الأطوال المتناظرة:

\(4 \div 6 = \dfrac{2}{3}\)

\(6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\)

النسبتان متساويتان.

إذن المستطيلان متشابهان ونسبة التشابه 2 : 3.

\(\dfrac{5 \div 9 \neq 1}{2}\)

الأضلاع المتناظرة غير متناسبة.

إذن المستطيلان غير متشابهين.

نسبة التشابه = \[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{XY} = 6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{BC} \div \,\text{YZ} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}8 \div \,\text{YZ} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{YZ} = \dfrac{8 \times 3}{2} = 12\end{gathered}\] سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: مقارنة ضلعين غير متناظرين؛ اعتبار تساوي الزوايا كافيًا؛ عكس النسبة (ضلع الثاني ÷ الأول) في جزء من الحل دون الآخر.

في المضلعين المتشابهين: نسبة المحيطين = نسبة التشابه، ونسبة المساحتين = مربع نسبة التشابه.

محيط الأول ÷ محيط الثاني = k

مساحة الأول ÷ مساحة الثاني = k²

لاحظ: المحيط طول فتتأثر نسبته بالنسبة k نفسها، أما المساحة فهي بُعدان فتتأثر بمربع النسبة.

نسبة التشابه = \[\begin{gathered}24 \div 36 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

نسبة المساحتين = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}\end{gathered}\]

نسبة المساحتين = 1² : 3² = 1 : 9

مساحة الأكبر = \[\begin{gathered}20 \times 9 = 180\end{gathered}\] سم²

نسبة المساحتين = 16 ÷ 49

نسبة التشابه = \[\begin{gathered}\sqrt{16 \div 49} = \dfrac{4}{7}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال نسبة التشابه لنسبة المساحتين دون تربيعها؛ نسيان الجذر عند الرجوع من نسبة المساحتين إلى نسبة التشابه.

يتشابه المثلثان في أي من الحالات الآتية.

• حالة الزاويتين: إذا تساوت زاويتان في أحدهما مع نظيرتيهما في الآخر.
• حالة الأضلاع الثلاثة: إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة.
• حالة الضلعين والزاوية المحصورة: إذا تناسب ضلعان في أحدهما مع نظيريهما في الآخر وتساوت الزاويتان المحصورتان بينهما.

لاحظ: تساوي زاويتين يكفي، لأن الزاوية الثالثة تساوي 180° مطروحًا منها مجموع الأخريين.

الأضلاع متناسبة.

إذن ABC ~ DEF ونسبة التشابه 1 : 2.

في الأول: m(∠\[\begin{gathered}C) = 180{}^{\circ} - 50{}^{\circ} - 60{}^{\circ} = 70{}^{\circ}\end{gathered}\]

في الثاني: m(∠\[\begin{gathered}E) = 180{}^{\circ} - 50{}^{\circ} - 70{}^{\circ} = 60{}^{\circ}\end{gathered}\]

الزوايا (50° و 60° و 70°) موجودة في المثلثين.

إذن المثلثان متشابهان.

الضلعان متناسبان والزاوية المحصورة متساوية.

إذن المثلثان متشابهان.

تذكر: الأخطاء الشائعة: ترتيب الرؤوس غير المتناظرة؛ استعمال زاوية غير محصورة بين الضلعين المتناسبين.

إذا رُسم في مثلث ABC مستقيم DE يوازي BC حيث D ∈ AB و E ∈ AC فإن المثلث ADE ~ ABC.

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{AE} \div \,\text{AC} = \,\text{DE} \div \,\text{BC}\end{gathered}\]

لاحظ: الزاوية A مشتركة، والزاويتان المتناظرتان عند D و B متساويتان لأن DE ∥ BC.

\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{12 \times 1}{3} = 4\end{gathered}\] سم

\[\begin{gathered}\,\text{AB} = 6 \times 10 \div 4 = 15\end{gathered}\] سم

نسبة المساحتين = 2² : 5² = 4 : 25

مساحة \[\begin{gathered}\,\text{ABC} = 12 \times 25 \div 4 = 75\end{gathered}\] سم²

تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة AD ÷ DB بدل AD ÷ AB في الحالة الأولى؛ استخدام نسبة التشابه بدل مربعها في المساحة.

يمكن قياس الأطوال التي يصعب الوصول إليها باستخدام الظلال والمثلثات المتشابهة.

• أشعة الشمس متوازية فتصنع زوايا متساوية مع الأرض.
• يتكون مثلثان قائمان متشابهان من الجسم وظله ومن شخص وظله.

ارتفاع الشجرة ÷ طول الظل = 1.5 ÷ 2

ارتفاع الشجرة = \[\begin{gathered}12 \times 1.5 \div 2 = 9\end{gathered}\] م

\[\begin{gathered}6 \div 4 = 1.8 \div \end{gathered}\] الظل

الظل = \[\begin{gathered}1.8 \times 4 \div 6 = 1.2\end{gathered}\] م

نسبة التكبير = 4 م ÷ 2 سم = \[\begin{gathered}400 \div 2 = 200\end{gathered}\]

الارتفاع = \[\begin{gathered}20 \times 200 = 4000\end{gathered}\] سم = 40 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: خلط الوحدات (م مع سم) قبل المقارنة؛ تناسب الظل مع الارتفاع في وقتين مختلفين.

التمدد تحويل هندسي يعتمد على مركز ثابت O ومعامل تمدد موجب k، فيُحوِّل كل نقطة P إلى نقطة P′ تقع على الشعاع OP بحيث \[\begin{gathered}\,\text{OP}' = k \times \,\text{OP}\end{gathered}\].

• إذا كان k > 1 فهو تكبير.
• إذا كان 0 < k < 1 فهو تصغير.
• إذا كان k = 1 فالصورة تنطبق على الأصل.

لاحظ: صورة الشكل بالتمدد تشابه الشكل الأصلي، ونسبة التشابه هي معامل التمدد k، وكل ضلع في الصورة يوازي نظيره في الأصل.

معامل التمدد = طول ضلع في الصورة ÷ طول الضلع المناظر في الأصل

معامل التمدد = بعد صورة نقطة عن المركز ÷ بعد النقطة نفسها عن المركز

\[\begin{gathered}A'B' = 2.5 \times 4 = 10\end{gathered}\] سم

k > 1 فالتمدد تكبير.

الأصل ABC والصورة ADE.

معامل التمدد = \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = 3 \div 9 = \dfrac{1}{3}\end{gathered}\] (تصغير).

\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{12 \times 1}{3} = 4\end{gathered}\] سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: قلب النسبة بين الأصل والصورة؛ اعتبار التمدد لا يغيّر الأطوال.

صورة النقطة (x ، y) بتمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله k هي النقطة (kx ، ky).

(x ، y) → (kx ، ky)

لاحظ: إذا كان المركز نقطة M(a ، b) فصورة P هي: \[\begin{gathered}P' = M + k \times (P - M)\end{gathered}\]، أي نحسب متجه المركز إلى النقطة ثم نضرب في k ونضيفه للمركز.

A′ = (2 × 2 ، 2 × 3) = (4 ، 6)

A′ = (2 ، 4)

B′ = (6 ، 4)

C′ = (6 ، 10)

أطوال الأضلاع تضاعفت: AB = 2 و A′B′ = 4.

(4 ، 8) → (2 ، 4)

(6 ، 2) → (3 ، 1)

التحقق: \(2 \div 6 = \dfrac{1}{3}\) ✓

P − M = (1 ، 2)

3 × (1 ، 2) = (3 ، 6)

P′ = (1 + 3 ، 1 + 6) = (4 ، 7)

تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب إحداثي واحد فقط في k؛ استخدام قاعدة المركز الأصل عندما يكون المركز نقطة أخرى.

في المثلث القائم الزاوية نسمي الأضلاع بالنسبة لزاوية حادة θ كما يلي.

• الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو أطول الأضلاع.
• المقابل: الضلع الذي يقابل الزاوية θ.
• المجاور: الضلع الذي يحتوي الزاوية θ (غير الوتر).

لاحظ: يتغير المقابل والمجاور عند الانتقال من زاوية حادة إلى الأخرى، أما الوتر فلا يتغير.

النسب المثلثية للزاوية الحادة θ.

sin θ = المقابل ÷ الوتر

cos θ = المجاور ÷ الوتر

tan θ = المقابل ÷ المجاور

تذكر: لا تعتمد قيمة النسبة على حجم المثلث بل على قياس الزاوية فقط، لأن المثلثات القائمة التي لها نفس الزاوية الحادة متشابهة.

AC = 10 سم

بالنسبة للزاوية A: المقابل BC = 6 والمجاور AB = 8 والوتر 10.

\[\begin{gathered}\sin A = 6 \div 10 = \dfrac{3}{5}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos A = 8 \div 10 = \dfrac{4}{5}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan A = 6 \div 8 = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\]

المقابل = 5 والوتر = 13.

المجاور = \[\begin{gathered}\sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos \theta = \dfrac{12}{13}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = \dfrac{5}{12}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{BC} = 0.6 \times 20 = 12\end{gathered}\] سم

\[\begin{gathered}\,\text{AB} = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\end{gathered}\] سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: قسمة المقابل على المجاور في الجيب؛ تحديد المقابل والمجاور لزاوية غير المطلوبة؛ نسيان إيجاد الضلع الثالث بفيثاغورس.

نستخدم النسبة المناسبة للمعطيات لإيجاد ضلع مجهول.

• معلوم الوتر وزاوية والمطلوب المقابل: نستخدم الجيب.
• معلوم الوتر وزاوية والمطلوب المجاور: نستخدم جيب التمام.
• معلوم أحد الضلعين القائمين والمطلوب الآخر: نستخدم الظل.

الزاويتان المتتامتان: إذا كانت A و B زاويتين حادتين في مثلث قائم فإن A + B = 90° وتتحقق العلاقة:

\[\begin{gathered}\sin A = \cos B\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos A = \sin B\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan A \times \tan B = 1\end{gathered}\]

sin θ = الارتفاع ÷ طول السلم

الارتفاع = 0.8 × 5 = 4 م

\[\begin{gathered}\cos B = \sin A\end{gathered}\] لأن الزاويتين متتامتان.

\(\cos B = \dfrac{4}{5}\)

المقابل = \[\begin{gathered}\dfrac{20 \times 3}{4} = 15\end{gathered}\] سم

الوتر = \[\begin{gathered}\sqrt{20^{2} + 15^{2}} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\end{gathered}\] سم

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: اختيار نسبة غير مناسبة للمعطيات؛
• نسيان أن \[\begin{gathered}\sin A = \cos B\end{gathered}\] تنطبق على الزاويتين المتتامتين فقط.

يمكن استنتاج هذه النسب من مثلثين خاصين.

• مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 2: عند رسم الارتفاع ينتج مثلث قائم أضلاعه 1 و √3 و 2 وزواياه 30° و 60° و 90°.
• مثلث قائم متساوي الساقين طول كل ساق فيه 1: وتره √2 وزواياه 45° و 45° و 90°.

\[\begin{gathered}\sin 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\cos 30{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\tan 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin 45{}^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\cos 45{}^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{gathered}\] ، tan 45° = 1

\[\begin{gathered}\sin 60{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\cos 60{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\tan 60{}^{\circ} = \sqrt{3}\end{gathered}\]

لاحظ: المقابل للزاوية 30° هو أقصر ضلع ويساوي نصف الوتر. وفي المثلث ذي 45° الضلعان القائمان متساويان.

المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\end{gathered}\]

الناتج = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]

الناتج = \[\begin{gathered}\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: عكس قيم 30° و 60°؛
• نسيان تربيع الجذر \[\begin{gathered}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\] وليس \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\).

نستخدم النسب الخاصة لإيجاد أطوال دون آلة حاسبة.

المقابل للزاوية \[\begin{gathered}30{}^{\circ} = 12 \times \sin 30{}^{\circ} = \dfrac{12 \times 1}{2} = 6\end{gathered}\] سم

المجاور = \[\begin{gathered}12 \times \cos 30{}^{\circ} = \dfrac{12 \times \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{gathered}\] سم

tan 45° = الارتفاع ÷ الظل

1 = 40 ÷ الظل

الظل = 40 م

tan 60° = الارتفاع ÷ 20

الارتفاع = \[\begin{gathered}20 \times \sqrt{3} = 20\sqrt{3} \approx 34.64\end{gathered}\] م

تذكر: الأخطاء الشائعة: استخدام الجيب بدل الظل في مسائل الظل؛ نسيان تقريب √3 ≈ 1.732 عند طلب القيمة التقريبية.

نستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد النسبة لزاوية معلومة، وإيجاد الزاوية إذا عُلمت نسبتها.

• اضبط الآلة على نظام الدرجات (Degree).
• لإيجاد sin 25° اضغط sin ثم 25 ثم =.
• لإيجاد الزاوية نستخدم المفتاح الثاني shift ثم sin⁻¹ (أو cos⁻¹ أو tan⁻¹).

لاحظ: القيم التقريبية: \[\begin{gathered}\sin 25{}^{\circ} \approx 0.4226\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 40{}^{\circ} \approx 0.7660\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 70{}^{\circ} \approx 2.7475\end{gathered}\].

الارتفاع = 6 × sin 70°

\[\begin{gathered}\sin 70{}^{\circ} \approx 0.9397\end{gathered}\]

الارتفاع ≈ 5.64 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: ترك الآلة على نظام الراديان؛ استخدام النسبة المباشرة بدل معكوسها عند البحث عن الزاوية.

ميل المستقيم المار بالنقطتين (x₁ ، y₁) و (x₂ ، y₂) هو النسبة بين التغير الرأسي والتغير الأفقي.

\[\begin{gathered}m = (y_{2} - y_{1}) \div (x_{2} - x_{1})\end{gathered}\] حيث x₁ ≠ x₂

• المستقيم الأفقي ميله 0.
• المستقيم الرأسي ميله غير معرف.
• ميل المستقيم = ظل زاوية ميله مع الاتجاه الموجب لمحور السينات: m = tan θ.

زاوية ميله 135° لأن \[\begin{gathered}\tan 135{}^{\circ} = -1\end{gathered}\].

تذكر: الأخطاء الشائعة: طرح الإحداثيات بترتيبين مختلفين في البسط والمقام؛ الخلط بين ميل مستقيم أفقي (صفر) ورأسي (غير معرف).

المستقيمان غير الرأسيين يتوازيان إذا وفقط إذا تساوى ميلاهما.

m₁ = m₂

ميل \[\begin{gathered}\,\text{AB} = (10 - 2) \div (5 - 1) = 2\end{gathered}\]

ميل \[\begin{gathered}\,\text{CD} = (5 - 1) \div (2 - 0) = 2\end{gathered}\]

الميلان متساويان.

إذن AB ∥ CD.

ميل AB = 1 ÷ 2

ميل \[\begin{gathered}\,\text{BC} = (2 - 1) \div (4 - 2) = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\]

الميلان متساويان والنقطة B مشتركة.

إذن النقاط على استقامة واحدة.

تذكر: الأخطاء الشائعة: الحكم على التوازي بمرور المستقيمين بنقطتين متقاربتين؛ نسيان أن المستقيمين الرأسيين متوازيان رغم عدم تعريف ميليهما.

المستقيمان غير الرأسيين وغير الأفقيين يتعامدان إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي −1.

\[\begin{gathered}m_{1} \times m_{2} = -1\end{gathered}\]

أي إن ميل أحدهما هو سالب مقلوب ميل الآخر:

\[\begin{gathered}m_{2} = -1 \div m_{1}\end{gathered}\]

ميل \[\begin{gathered}\,\text{AB} = (5 - 1) \div (3 - 1) = 2\end{gathered}\]

ميل \[\begin{gathered}\,\text{BC} = (3 - 5) \div (7 - 3) = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\]

حاصل الضرب = \[\begin{gathered}2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1\end{gathered}\]

إذن AB ⊥ BC والمثلث قائم في B.

الميل = \(-\dfrac{2}{3}\)

ميل العمودي = \(\dfrac{3}{2}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة: تغيير الإشارة فقط دون قلب الكسر؛ قلب الكسر فقط دون تغيير الإشارة.

معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل وميله m هي:

y = mx

إذن النقطة تقع على المستقيم.

تذكر: الأخطاء الشائعة: إضافة مقطع للمستقيم المار بالأصل.

معادلة المستقيم الذي ميله m ويقطع محور الصادات عند النقطة (0 ، c) هي:

y = mx + c

• c هو المقطع الصادي.
• المقطع السيني يُوجد بوضع y = 0.

الميل = −3

المقطع الصادي = 6

نضع y = 0: 0 = −3x + 6 فإن x = 2

المقطع السيني = 2

عند x = 12: \[\begin{gathered}y = 60 + 20 = 80\end{gathered}\] جنيهًا

الميل 5 يمثل تكلفة الكيلومتر والمقطع 20 هو الرسم الثابت.

تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين الميل والمقطع؛ نسيان إشارة المقطع.

معادلة المستقيم المار بالنقطة (x₁ ، y₁) وميله m هي:

\[\begin{gathered}y - y_{1} = m(x - x_{1})\end{gathered}\]

بالصورة القياسية: \[\begin{gathered}2x + y - 6 = 0\end{gathered}\]

بالصورة القياسية: \[\begin{gathered}2x - y + 4 = 0\end{gathered}\]

ميل المعلوم = 2 فميل العمودي = \(-\dfrac{1}{2}\)

\[\begin{gathered}y + 1 = -\left(\dfrac{1}{2}\right)(x - 2)\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}y = -\left(\dfrac{1}{2}\right)x + 1 - 1\end{gathered}\]

\(y = -\left(\dfrac{1}{2}\right)x\)

بالصورة القياسية: x + 2y = 0

ميل المعلوم: y = 3x + 1 فالميل 3

المستقيم المطلوب ميله 3 ومقطعه الصادي −2.

y = 3x − 2

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع الإحداثيين في المكان الخطأ في y − y₁؛ نسيان توزيع الميل على القوس بالكامل.

الصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم هي:

\[\begin{gathered}\,\text{ax} + \,\text{by} + c = 0\end{gathered}\]

• الميل = −a ÷ b
• المقطع الصادي = −c ÷ b
• المقطع السيني = −c ÷ a

الميل = \[\begin{gathered}-3 \div 2 = -\dfrac{3}{2}\end{gathered}\]

المقطع الصادي: x = 0 فإن 2y = 12 ومنه y = 6

المقطع السيني: y = 0 فإن 3x = 12 ومنه x = 4

يمر بالنقطتين (3 ، 0) و (0 ، 4).

\[\begin{gathered}m = (4 - 0) \div (0 - 3) = -\dfrac{4}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}y = -\left(\dfrac{4}{3}\right)x + 4\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}3y = -4x + 12\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}4x + 3y - 12 = 0\end{gathered}\]

ميل الأول = \(\dfrac{2}{3}\)

ميل الثاني = \(-\dfrac{3}{2}\)

الضرب: \[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{3}{2}\right) = -1\end{gathered}\]

إذن المستقيمان متعامدان.

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان الإشارة السالبة في قانون الميل؛ الخلط بين المقطع السيني والصادي عند إيجادهما.