03 الدرس 2-3: دوال الكسور الجبرية النسبية
2-3-1 الكسر الجبري النسبي ومجاله
دالة الكسر الجبري النسبي هي \[\begin{gathered}f(x) = n(x) \div d(x)\end{gathered}\] حيث n و d كثيرتا حدود و d(x) ≠ 0، ومجالها ℝ مطروحًا منها أصفار المقام.
\[\begin{gathered}f(x) = n(x) \div d(x)\end{gathered}\]
المجال = ℝ − {أصفار المقام}
- نضع المقام = 0 ونحله.
- نستبعد الحلول من ℝ.
علّل: نستبعد أصفار المقام لأن القسمة على صفر غير معرفة.
مثال 1: أوجد مجال \[\begin{gathered}f(x) = 3 \div (x - 2)\end{gathered}\].
الحل:
x − 2 = 0
x = 2
المجال ℝ − {2}
مثال 2: أوجد مجال \[\begin{gathered}f(x) = (x + 1) \div (x^{2} - 9)\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}(x - 3)(x + 3) = 0\end{gathered}\]
x = 3 أو x = −3
المجال ℝ − {3 ، −3}
مثال 3: أوجد مجال \[\begin{gathered}f(x) = x \div (x^{2} + 1)\end{gathered}\].
الحل:
x² + 1 ≥ 1 > 0
المقام لا يساوي صفرًا أبدًا.
المجال ℝ
مثال 4: أوجد مجال \[\begin{gathered}f(x) = 5 \div (x^{2} - 5x + 6)\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}(x - 2)(x - 3) = 0\end{gathered}\]
المجال ℝ − {2 ، 3}
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- استبعاد أصفار البسط من المجال.
- نسيان أحد جذري المقام.
- الاختصار قبل إيجاد المجال.
2-3-2 تبسيط الكسر الجبري
نحلل البسط والمقام ونختصر العوامل المشتركة مع استبعاد أصفار المقام الأصلي.
- المجال يُحدد قبل الاختصار.
- بعد الاختصار نكتب الشرط على x.
لاحظ: الصورة المبسطة قد يكون مجالها أكبر من مجال الدالة الأصلية.
مثال 1: بسّط (x² − 9) ÷ (x + 3).
الحل:
(x − 3)(x + 3) ÷ (x + 3)
= x − 3 حيث x ≠ −3
مثال 2: بسّط (x² − 5x + 6) ÷ (x² − 4).
الحل:
(x − 2)(x − 3) ÷ ((x − 2)(x + 2))
= (x − 3) ÷ (x + 2) حيث x ≠ 2 ، x ≠ −2
مثال 3: بسّط (x² + 3x) ÷ (x² − 9).
الحل:
x(x + 3) ÷ ((x − 3)(x + 3))
= x ÷ (x − 3) حيث x ≠ 3 ، x ≠ −3
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- اختصار حدود لا عوامل.
- إهمال الشرط على x بعد الاختصار.
2-3-3 أصفار دالة الكسر الجبري
أصفار الدالة هي أصفار البسط التي تنتمي إلى المجال.
- نوجد المجال الأصلي.
- نحل البسط = 0.
- نستبعد أي حل خارج المجال.
علّل: قد يكون صفر البسط ليس صفرًا للدالة لأنه قد يكون أيضًا صفرًا للمقام فيقع خارج المجال.
مثال 1: أوجد أصفار \[\begin{gathered}f(x) = (x^{2} - 4) \div (x - 2)\end{gathered}\].
الحل:
المجال ℝ − {2}
x² − 4 = 0 فإن x = 2 أو x = −2
x = 2 خارج المجال.
الأصفار {−2}
مثال 2: أوجد أصفار \[\begin{gathered}f(x) = (x^{2} - x - 6) \div (x^{2} - 9)\end{gathered}\].
الحل:
البسط (x − 3)(x + 2) والمقام (x − 3)(x + 3)
المجال ℝ − {3 ، −3}
x = 3 أو x = −2 أصفار البسط.
x = 3 خارج المجال.
الأصفار {−2}
مثال 3: أوجد أصفار \[\begin{gathered}f(x) = (x^{2} + 1) \div (x - 1)\end{gathered}\].
الحل:
x² + 1 = 0 لا حل حقيقي له.
∅
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- اعتبار كل أصفار البسط أصفارًا للدالة.
- استخدام المجال المبسط.