04 الدرس 2-4: المجال المشترك وتساوي دوال الكسور الجبرية
2-4-1 المجال المشترك لدالتين أو أكثر
المجال المشترك هو تقاطع مجالات الدوال، أي ℝ مطروحًا منها أصفار جميع المقامات.
المجال المشترك = مجال f ∩ مجال g
- نوجد مجال كل دالة.
- نستبعد أصفار كل المقامات معًا.
لاحظ: عدد المستبعدات في المجال المشترك يساوي اتحاد المستبعدات في المجالين.
مثال 1: أوجد المجال المشترك لـ 1 ÷ (x − 1) و x ÷ (x² − 4).
الحل:
مجال الأولى ℝ − {1}
مجال الثانية ℝ − {2 ، −2}
المجال المشترك ℝ − {1 ، 2 ، −2}
مثال 2: أوجد المجال المشترك لـ 3 ÷ (x² − 1) و 2 ÷ (x² − 4).
الحل:
ℝ − {1 ، −1} و ℝ − {2 ، −2}
المجال المشترك ℝ − {1 ، −1 ، 2 ، −2}
مثال 3: أوجد المجال المشترك للدوال 1 ÷ x و 1 ÷ (x² + 1) و x ÷ (x − 5).
الحل:
ℝ − {0} و ℝ و ℝ − {5}
المجال المشترك ℝ − {0 ، 5}
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- أخذ مجال دالة واحدة فقط.
- نسيان أن المقام x² + 1 لا يستبعد شيئًا.
2-4-2 تساوي دالتين
تتساوى f و g إذا تساوى مجالاهما وكان f(x) = g(x) لكل x في المجال.
- نوجد مجال كل دالة من صورتها الأصلية.
- نقارن المجالين أولًا.
- ثم نقارن القاعدتين بعد التبسيط.
تذكر: إن اختلف المجالان فالدالتان غير متساويتين حتى لو تطابقت القاعدتان المبسطتان.
مثال 1: هل \[\begin{gathered}f(x) = 2 \div (x - 3)\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}g(x) = (2x^{2} + 2) \div ((x - 3)(x^{2} + 1))\end{gathered}\] متساويتان؟
الحل:
مجال f هو ℝ − {3}
مجال g هو ℝ − {3} لأن x² + 1 لا تساوي صفرًا.
نختصر g بالعامل x² + 1: 2 ÷ (x − 3)
المجالان والقاعدتان واحدة.
نعم متساويتان.
مثال 2: هل \[\begin{gathered}f(x) = (x^{2} - 1) \div (x - 1)\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}g(x) = x + 1\end{gathered}\] متساويتان؟
الحل:
مجال f هو ℝ − {1}
مجال g هو ℝ
المجالان مختلفان.
لا تتساويان لكنهما متساويتان على ℝ − {1}.
مثال 3: هل \[\begin{gathered}f(x) = 1 \div (x - 1) + 1 \div (x + 1)\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}g(x) = 2x \div (x^{2} - 1)\end{gathered}\] متساويتان؟
الحل:
مجال كل منهما ℝ − {1 ، −1}
\[\begin{gathered}f(x) = ((x + 1) + (x - 1)) \div (x^{2} - 1)\end{gathered}\]
= 2x ÷ (x² − 1)
نعم متساويتان.
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- الحكم على التساوي بالقاعدة المبسطة فقط.
- مقارنة المجالين بعد الاختصار.