03 الدرس 3-3: التمدد
3-3-1 مفهوم التمدد
التمدد تحويل هندسي يعتمد على مركز ثابت O ومعامل تمدد موجب k، فيُحوِّل كل نقطة P إلى نقطة P′ تقع على الشعاع OP بحيث \[\begin{gathered}\,\text{OP}' = k \times \,\text{OP}\end{gathered}\].
- إذا كان k > 1 فهو تكبير.
- إذا كان 0 < k < 1 فهو تصغير.
- إذا كان k = 1 فالصورة تنطبق على الأصل.
لاحظ: صورة الشكل بالتمدد تشابه الشكل الأصلي، ونسبة التشابه هي معامل التمدد k، وكل ضلع في الصورة يوازي نظيره في الأصل.
معامل التمدد = طول ضلع في الصورة ÷ طول الضلع المناظر في الأصل
معامل التمدد = بعد صورة نقطة عن المركز ÷ بعد النقطة نفسها عن المركز
مثال 1: قطعة AB طولها 4 سم تتمدد بمعامل 2.5. أوجد طول صورتها.
الحل:
\[\begin{gathered}A'B' = 2.5 \times 4 = 10\end{gathered}\] سم
مثال 2: المركز O والنقطة P تبعد عنه 6 سم. صورتها P′ تبعد 15 سم. أوجد معامل التمدد ونوعه.
الحل:
\[\begin{gathered}k = 15 \div 6 = 2.5\end{gathered}\]
k > 1 فالتمدد تكبير.
مثال 3: المثلث ADE صورة المثلث ABC بتمدد مركزه A حيث AD = 3 سم و AB = 9 سم و BC = 12 سم. أوجد DE.
الحل:
الأصل ABC والصورة ADE.
معامل التمدد = \[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = 3 \div 9 = \dfrac{1}{3}\end{gathered}\] (تصغير).
\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{12 \times 1}{3} = 4\end{gathered}\] سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: قلب النسبة بين الأصل والصورة؛ اعتبار التمدد لا يغيّر الأطوال.
3-3-2 التمدد في المستوى الإحداثي
صورة النقطة (x ، y) بتمدد مركزه نقطة الأصل ومعامله k هي النقطة (kx ، ky).
(x ، y) → (kx ، ky)
لاحظ: إذا كان المركز نقطة M(a ، b) فصورة P هي: \[\begin{gathered}P' = M + k \times (P - M)\end{gathered}\]، أي نحسب متجه المركز إلى النقطة ثم نضرب في k ونضيفه للمركز.
مثال 1: أوجد صورة النقطة A(2 ، 3) بتمدد مركزه الأصل ومعامله 2.
الحل:
A′ = (2 × 2 ، 2 × 3) = (4 ، 6)
مثال 2: أوجد صورة المثلث A(1 ، 2) و B(3 ، 2) و C(3 ، 5) بتمدد مركزه الأصل ومعامله 2.
الحل:
A′ = (2 ، 4)
B′ = (6 ، 4)
C′ = (6 ، 10)
أطوال الأضلاع تضاعفت: AB = 2 و A′B′ = 4.
مثال 3: أوجد صورة (4 ، 8) و (6 ، 2) بتمدد معامله \(\dfrac{1}{2}\) ومركزه الأصل.
الحل:
(4 ، 8) → (2 ، 4)
(6 ، 2) → (3 ، 1)
مثال 4: صورة النقطة (3 ، 6) بتمدد مركزه الأصل هي (1 ، 2). أوجد المعامل.
الحل:
\[\begin{gathered}k = 1 \div 3 = \dfrac{1}{3}\end{gathered}\]
التحقق: \(2 \div 6 = \dfrac{1}{3}\) ✓
مثال 5: أوجد صورة النقطة P(2 ، 3) بتمدد مركزه M(1 ، 1) ومعامله 3.
الحل:
P − M = (1 ، 2)
3 × (1 ، 2) = (3 ، 6)
P′ = (1 + 3 ، 1 + 6) = (4 ، 7)
تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب إحداثي واحد فقط في k؛ استخدام قاعدة المركز الأصل عندما يكون المركز نقطة أخرى.