04 الدرس 3-4: النسب المثلثية للزاوية الحادة
3-4-1 أضلاع المثلث القائم بالنسبة لزاوية
في المثلث القائم الزاوية نسمي الأضلاع بالنسبة لزاوية حادة θ كما يلي.
- الوتر: الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو أطول الأضلاع.
- المقابل: الضلع الذي يقابل الزاوية θ.
- المجاور: الضلع الذي يحتوي الزاوية θ (غير الوتر).
لاحظ: يتغير المقابل والمجاور عند الانتقال من زاوية حادة إلى الأخرى، أما الوتر فلا يتغير.
3-4-2 تعريف الجيب وجيب التمام والظل
النسب المثلثية للزاوية الحادة θ.
sin θ = المقابل ÷ الوتر
cos θ = المجاور ÷ الوتر
tan θ = المقابل ÷ المجاور
تذكر: لا تعتمد قيمة النسبة على حجم المثلث بل على قياس الزاوية فقط، لأن المثلثات القائمة التي لها نفس الزاوية الحادة متشابهة.
مثال 1: المثلث ABC قائم في B فيه AB = 8 سم و BC = 6 سم. أوجد النسب المثلثية للزاوية A.
الحل:
\[\begin{gathered}\,\text{AC}^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100\end{gathered}\]
AC = 10 سم
بالنسبة للزاوية A: المقابل BC = 6 والمجاور AB = 8 والوتر 10.
\[\begin{gathered}\sin A = 6 \div 10 = \dfrac{3}{5}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos A = 8 \div 10 = \dfrac{4}{5}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan A = 6 \div 8 = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\]
مثال 2: إذا كان \[\begin{gathered}\sin \theta = \dfrac{5}{13}\end{gathered}\] فأوجد cos θ و tan θ حيث θ حادة.
الحل:
المقابل = 5 والوتر = 13.
المجاور = \[\begin{gathered}\sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos \theta = \dfrac{12}{13}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan \theta = \dfrac{5}{12}\end{gathered}\]
مثال 3: في المثلث ABC القائم في B إذا كان cos C = 0.6 وكان AC = 20 سم. أوجد BC و AB.
الحل:
\[\begin{gathered}\cos C = \,\text{BC} \div \,\text{AC}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{BC} = 0.6 \times 20 = 12\end{gathered}\] سم
\[\begin{gathered}\,\text{AB} = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\end{gathered}\] سم
تذكر: الأخطاء الشائعة: قسمة المقابل على المجاور في الجيب؛ تحديد المقابل والمجاور لزاوية غير المطلوبة؛ نسيان إيجاد الضلع الثالث بفيثاغورس.
3-4-3 إيجاد أطوال الأضلاع واستخدام زاويتين متتامتين
نستخدم النسبة المناسبة للمعطيات لإيجاد ضلع مجهول.
- معلوم الوتر وزاوية والمطلوب المقابل: نستخدم الجيب.
- معلوم الوتر وزاوية والمطلوب المجاور: نستخدم جيب التمام.
- معلوم أحد الضلعين القائمين والمطلوب الآخر: نستخدم الظل.
الزاويتان المتتامتان: إذا كانت A و B زاويتين حادتين في مثلث قائم فإن A + B = 90° وتتحقق العلاقة:
\[\begin{gathered}\sin A = \cos B\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos A = \sin B\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan A \times \tan B = 1\end{gathered}\]
مثال 1: سلم طوله 5 م يستند إلى حائط ويصنع زاوية قياسها θ مع الأرض حيث sin θ = 0.8. ما ارتفاع النقطة التي يلمس بها الحائط؟
الحل:
sin θ = الارتفاع ÷ طول السلم
الارتفاع = 0.8 × 5 = 4 م
مثال 2: إذا كان \(\sin A = \dfrac{4}{5}\) وكانت A و B متتامتين فما cos B؟
الحل:
\[\begin{gathered}\cos B = \sin A\end{gathered}\] لأن الزاويتين متتامتان.
\(\cos B = \dfrac{4}{5}\)
مثال 3: مثلث قائم فيه \(\tan A = \dfrac{3}{4}\) وطول الضلع المجاور للزاوية A هو 20 سم. أوجد المقابل والوتر.
الحل:
المقابل = \[\begin{gathered}\dfrac{20 \times 3}{4} = 15\end{gathered}\] سم
الوتر = \[\begin{gathered}\sqrt{20^{2} + 15^{2}} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\end{gathered}\] سم
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: اختيار نسبة غير مناسبة للمعطيات؛
- نسيان أن \[\begin{gathered}\sin A = \cos B\end{gathered}\] تنطبق على الزاويتين المتتامتين فقط.