4 حفظ الطاقة عند الخلط

إذا وُضع جسمان مختلفا درجة الحرارة في تماس حراري داخل نظام معزول (لا فقد للحرارة إلى الوسط) فإن الحرارة التي يفقدها الجسم الأسخن = الحرارة التي يكتسبها الجسم الأبرد حتى تصل درجة حرارة نهائية مشتركة:

\[\begin{gathered}m_{1}c_{1}(t_{1} - t_{f}) = m_{2}c_{2}(t_{f} - t_{2})\end{gathered}\]

• المسألة: ما كمية الحرارة اللازمة لرفع درجة حرارة 2.5 kg من الماء من 15°C إلى 65°C؟
• \[\begin{gathered}(c = 4180 J/\,\text{kg}\cdot K)\end{gathered}\].
• وما كمية الحرارة اللازمة لنفس الكتلة من النحاس (c = 390)؟

• الحل: Δt = 50 K.
• الماء: \[\begin{gathered}Q = 2.5 \times 4180 \times 50 =\;\color{#15803d}{\mathbf{522 500 J}}\end{gathered}\].
• النحاس: \[\begin{gathered}Q = 2.5 \times 390 \times 50 =\;\color{#15803d}{\mathbf{48 750 J}}\end{gathered}\].
• يحتاج الماء نحو 10.7 مثل ما يحتاجه النحاس \[\begin{gathered}(522 500 \div 48 750 \approx 10.7)\end{gathered}\]، ولهذا يستغرق وعاء الماء وقتًا طويلًا في السخونة مقارنة بنحاس الوعاء نفسه.

مثال الكتاب بصياغة مختلفة: كمية الحرارة اللازمة لرفع درجة حرارة 0.3 kg من النحاس من 20°C إلى \[\begin{gathered}70{}^{\circ} \,\text{ext}{C} = 0.3 \times 390 \times 50 = 5850 J\end{gathered}\].

• المسألة: كتلة من الحديد كتلتها \[\begin{gathered}0.50 \,\text{kg} (c = 450 J/\,\text{kg}\cdot K)\end{gathered}\] عند 200°C أُسقطت في 2.0 kg ماء عند \[\begin{gathered}20{}^{\circ} \,\text{ext}{C} (c = 4180)\end{gathered}\].
• أوجد درجة الحرارة النهائية بإهمال الفقد.

• الحل: الحرارة المفقودة من الحديد = الحرارة المكتسبة بالماء: \[\begin{gathered}0.50 \times 450 \times (200 - t_{f}) = 2.0 \times 4180 \times (t_{f} - 20)225 (200 - t_{f}) = 8360 (t_{f} - 20)_{45} 000 - 225 t_{f} = 8360 t_{f} - 167 200212 200 = 8585 t_{f}\end{gathered}\] ← \[\begin{gathered}t_{f} \approx 24.7{}^{\circ} \,\text{ext}{C}\end{gathered}\].
• ترتفع حرارة الماء 4.7°C فقط بينما تنخفض حرارة الحديد 175°C: لأن للماء كتلة كبيرة وحرارة نوعية كبيرة.

• مثال الكتاب بصياغة أخرى: قطعة ألومنيوم كتلتها 0.2 kg عند 80°C ألقيت في ماء فصارت درجة الحرارة النهائية 40°C (c للألومنيوم = 900): حرارة الألومنيوم المفقودة = \[\begin{gathered}0.2 \times 900 \times (40 - 80) = -7200 J\end{gathered}\]، أي أن الماء اكتسب 7200 J.
• والإشارة السالبة تدل على فقد الألومنيوم للحرارة.

• المسألة: وقع المقدار نفسه من الطاقة الشمسية، 200 kJ، على 10 kg من الرمل الجاف (c = 830) وعلى 10 kg من ماء البحر (c = 3990).
• أوجد ارتفاع درجة حرارة كل منهما (أهمل الفقد والتبخر).

• الحل: \[\begin{gathered}\Delta t = Q \div (m c)\end{gathered}\].
• الرمل: \[\begin{gathered}200 000 \div (10 \times 830) =\;\color{#15803d}{\mathbf{24.1 K}}\end{gathered}\].
• الماء: \[\begin{gathered}200 000 \div (10 \times 3990) =\;\color{#15803d}{\mathbf{5.0 K}}\end{gathered}\].
• أي أن الرمل يسخن نحو خمسة أمثال ما يسخنه ماء البحر لنفس الكتلة.
• (وفي الواقع يختلط البحر إلى عمق بفعل الأمواج ويتبخر جزء من الماء فيزداد الفرق).