10 1-2-3 الجذران النسبيان والجذران غير النسبيين
إذا كانت معاملات المعادلة أعدادًا نسبية وكان Δ مربعًا كاملًا فالجذران نسبيان، وإذا كان Δ موجبًا وليس مربعًا كاملًا فالجذران غير نسبيين.
- المربعات الكاملة: 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، 64 ، 81 ، 100 ...
- الجذران غير النسبيين على الصورة p + √q و p − √q (مترافقان أيضًا).
- هذا الاختبار يصح فقط عندما تكون المعاملات a و b و c نسبية.
لاحظ: الجذران النسبيان يعنيان أن المقدار ax² + bx + c يمكن تحليله إلى عاملين من الدرجة الأولى بمعاملات نسبية.
مثال 1: ما نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}6x^{2} - x - 2 = 0\end{gathered}\]؟
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 1 + 48 = 49 = 7^{2}\end{gathered}\]
Δ مربع كامل.
الجذران حقيقيان مختلفان ونسبيان (\(\dfrac{2}{3}\) و \(-\dfrac{1}{2}\)).
مثال 2: ما نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}x^{2} - 2x - 7 = 0\end{gathered}\]؟
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 4 + 28 = 32\end{gathered}\]
32 ليس مربعًا كاملًا.
الجذران حقيقيان مختلفان وغير نسبيين.
x = 1 ± 2√2
مثال 3: ما نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}5x^{2} + 2x - 1 = 0\end{gathered}\]؟
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 4 + 20 = 24\end{gathered}\]
24 ليس مربعًا كاملًا.
الجذران حقيقيان مختلفان وغير نسبيين.
مثال 4: ما نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}4x^{2} - 12x + 9 = 0\end{gathered}\]؟
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 144 - 144 = 0\end{gathered}\]
الجذران حقيقيان متساويان ونسبيان (\(\dfrac{3}{2}\) لكل منهما).
تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار أي Δ موجب دليلًا على جذور نسبية؛ تطبيق الاختبار مع معاملات غير نسبية مثل √2.