09 1-2-2 المميز Δ ونوع الجذرين
المميز \[\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\,\text{ac}\end{gathered}\] يحدد نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = 0\end{gathered}\].
\[\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\,\text{ac}\end{gathered}\]
- إذا كان Δ > 0 فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان.
- إذا كان Δ = 0 فللمعادلة جذران حقيقيان متساويان، قيمة كل منهما −b ÷ 2a.
- إذا كان Δ < 0 فللمعادلة جذران غير حقيقيين (مركبان) كل منهما مرافق للآخر.
لاحظ:
- عندما Δ < 0 يكون المنحنى \[\begin{gathered}y = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] بلا نقاط تقاطع مع محور السينات؛
- وعندما Δ = 0 يمس المحور؛
- وعندما Δ > 0 يقطعه في نقطتين.
علّل: لماذا يكون الجذران المركبان مترافقين؟ لأن √Δ يظهر بإشارتين ± في القانون، فيصبح الجذران p + qi و p − qi.
مثال 1: حدد نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}x^{2} - 4x + 4 = 0\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 16 - 16 = 0\end{gathered}\]
الجذران حقيقيان متساويان، قيمتهما 4 ÷ 2 = 2.
مثال 2: حدد نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}x^{2} - 3x - 10 = 0\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 9 + 40 = 49\end{gathered}\]
Δ > 0 فالجذران حقيقيان مختلفان.
(الجذران 5 و −2).
مثال 3: حدد نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}x^{2} + x + 1 = 0\end{gathered}\].
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 1 - 4 = -3\end{gathered}\]
Δ < 0 فالجذران غير حقيقيين.
مثال 4: حدد نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}3x^{2} - 2x - 1 = 0\end{gathered}\] ثم حلها.
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 4 + 12 = 16\end{gathered}\]
الجذران حقيقيان مختلفان.
\[\begin{gathered}x = (2 \pm 4) \div 6\end{gathered}\]
x = 1 أو \(x = -\dfrac{1}{3}\)
تذكر: الأخطاء الشائعة: حساب Δ دون ترتيب المعادلة أولًا؛ القول بأن Δ = 0 يعني عدم وجود جذور؛ الخطأ في إشارة −4ac عندما c سالب.