14 1-3-2 قيمة المقادير المتماثلة في الجذرين
نكتب المقدار المطلوب بدلالة α + β و αβ ثم نعوّض.
\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 2\alpha \beta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 4\alpha \beta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= (\alpha + \beta ) \div \alpha \beta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\dfrac{\alpha}{\beta}+ \dfrac{\beta}{\alpha}= (\alpha ^{2} + \beta ^{2}) \div \alpha \beta \end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\alpha ^{3} + \beta ^{3} = (\alpha + \beta )^{3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )\end{gathered}\]
- المقدار المتماثل لا يتغير عند تبديل α و β.
- لا نحتاج حل المعادلة لإيجاد قيمته.
علّل: لماذا لا نحل المعادلة ثم نعوّض؟ لأن الجذور قد تكون غير نسبية أو مركبة، والقاعدة تعطي الناتج مباشرة وبدقة.
مثال 1: إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 5x + 3 = 0\end{gathered}\] فأوجد: α² + β² و \(\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}\) و (α − β)².
الحل:
α + β = 5 و αβ = 3
\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 25 - 6 = 19\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= \dfrac{5}{3}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = 25 - 12 = 13\end{gathered}\]
مثال 2: إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}2x^{2} + 3x - 4 = 0\end{gathered}\] فأوجد \(\dfrac{\alpha}{\beta}+ \dfrac{\beta}{\alpha}\).
الحل:
\[\begin{gathered}\alpha + \beta = -\dfrac{3}{2}\end{gathered}\] و αβ = −2
\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \dfrac{9}{4} + 4 = \dfrac{25}{4}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\dfrac{\alpha}{\beta}+ \dfrac{\beta}{\alpha}= \left(\dfrac{25}{4}\right) \div (-2) = -\dfrac{25}{8}\end{gathered}\]
مثال 3: إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 6x + 4 = 0\end{gathered}\] فأوجد α³ + β³.
الحل:
α + β = 6 و αβ = 4
\[\begin{gathered}\alpha ^{3} + \beta ^{3} = 6^{3} - 3 \times 4 \times 6\end{gathered}\]
= 216 − 72
= 144
مثال 4: إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}x^{2} + 4x - 1 = 0\end{gathered}\] فأوجد α²β + αβ².
الحل:
\[\begin{gathered}\alpha ^{2}\beta + \alpha \beta ^{2} = \alpha \beta (\alpha + \beta )\end{gathered}\]
= (−1)(−4)
= 4
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = (\alpha + \beta )^{2}\end{gathered}\] دون طرح 2αβ؛
- كتابة \[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= \dfrac{1}{\alpha + \beta }\end{gathered}\] وهذا خطأ.