15 1-3-3 إيجاد معامل مجهول بمعلومية أحد الجذرين
الجذر يحقق المعادلة، فنعوّضه في المعادلة أو نستخدم المجموع وحاصل الضرب.
- إذا كان r جذرًا للمعادلة فإن \[\begin{gathered}\,\text{ar}^{2} + \,\text{br} + c = 0\end{gathered}\].
- بمعرفة جذر والمعاملات نستطيع إيجاد الجذر الآخر من المجموع أو من الضرب.
- في المعادلات ذات المعاملات الحقيقية، إذا كان p + qi جذرًا فمرافقه p − qi جذر آخر.
لاحظ: قد نحتاج معادلتين إذا كان المجهول معاملين، وتأتي من المجموع وحاصل الضرب.
مثال 1: إذا كان 2 أحد جذري المعادلة \[\begin{gathered}x^{2} - 5x + k = 0\end{gathered}\] فأوجد k والجذر الآخر.
الحل:
نعوّض x = 2:
\[\begin{gathered}4 - 10 + k = 0\end{gathered}\]
k = 6
الجذر الآخر = 5 − 2 = 3
مثال 2: إذا كان 3 أحد جذري \[\begin{gathered}2x^{2} + \,\text{kx} - 6 = 0\end{gathered}\] فأوجد k.
الحل:
\[\begin{gathered}18 + 3k - 6 = 0\end{gathered}\]
3k = −12
k = −4
مثال 3: إذا كان 3 أحد جذري \[\begin{gathered}x^{2} + \,\text{kx} + 12 = 0\end{gathered}\] فأوجد k والجذر الآخر.
الحل:
\[\begin{gathered}9 + 3k + 12 = 0\end{gathered}\]
3k = −21
k = −7
حاصل الضرب = 12 فالجذر الآخر = 12 ÷ 3 = 4
مثال 4: معادلة \[\begin{gathered}x^{2} + \,\text{ax} + b = 0\end{gathered}\] جذراها 2 و −3. أوجد a و b.
الحل:
المجموع = −1 = −a فإن a = 1
الضرب = −6 = b
مثال 5: معادلة \[\begin{gathered}x^{2} + \,\text{px} + q = 0\end{gathered}\] معاملاتها حقيقية وأحد جذريها 3 + 2i. أوجد p و q.
الحل:
الجذر الآخر هو المرافق 3 − 2i.
المجموع = 6 = −p فإن p = −6
الضرب = \[\begin{gathered}9 + 4 = 13 = q\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن المجموع = −b ÷ a وليس b ÷ a؛ التعويض في الصورة غير المرتبة؛ إهمال شرط حقيقية المعاملات عند استخدام المرافق.