24 1-5-1 حل متباينة الدرجة الثانية باستخدام إشارة الدالة
نحل ax² + bx + c > 0 (أو <، ≥، ≤) بأن ندرس إشارة الدالة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] ونأخذ المجالات المطلوبة.
- الخطوة 1: ننقل كل الحدود إلى طرف ونترك صفرًا في الطرف الآخر.
- الخطوة 2: نوجد أصفار الدالة.
- الخطوة 3: ندرس الإشارة على خط الأعداد.
- الخطوة 4: نكتب مجموعة الحل بالفترات، فنُدخل نهايات الفترة مع ≥ و ≤ ولا نُدخلها مع > و <.
- نستخدم الرمز ∪ للاتحاد بين الفترتين.
لاحظ: مجموعة الحل في الفترات: ]a ، b[ مفتوحة، و [a ، b] مغلقة، و ]−∞ ، a[ يعني كل الأعداد أصغر من a.
مثال 1: حل المتباينة x² − 5x + 6 > 0.
الحل:
الصفران 2 و 3.
الدالة موجبة خارج الصفرين.
مجموعة الحل = ]−∞ ، 2[ ∪ ]3 ، ∞[
مثال 2: حل المتباينة x² − 5x + 6 ≤ 0.
الحل:
الدالة سالبة أو صفر بين الصفرين وعندهما.
مجموعة الحل = [2 ، 3]
مثال 3: حل المتباينة 2x² + x − 3 < 0.
الحل:
\[\begin{gathered}(2x + 3)(x - 1) = 0\end{gathered}\] فالصفران \(-\dfrac{3}{2}\) و 1.
الدالة سالبة بين الصفرين.
مجموعة الحل = ]\(-\dfrac{3}{2}\) ، 1[
مثال 4: حل المتباينة x² − 4 ≥ 0.
الحل:
الصفران −2 و 2.
الدالة موجبة أو صفر خارج الصفرين وعندهما.
مجموعة الحل = ]−∞ ، −2] ∪ [2 ، ∞[
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: كتابة الحل على صورة −2 ≥ x ≥ 2 للمتباينة x² − 4 ≥ 0 وهذا غير صحيح؛
- نسيان إدخال نهايات الفترة عندما تكون المتباينة ≤ أو ≥.