26 1-5-3 حالات خاصة: المميز سالب أو صفر
إذا كان Δ ≤ 0 فمجموعة الحل إما ℝ أو ℝ مطروحًا منها نقطة أو نقطة واحدة أو ∅ حسب إشارة a والمتباينة.
- Δ < 0 و a > 0: الدالة موجبة دائمًا؛ ">" و "≥" تعطي ℝ، و "<" و "≤" تعطي ∅.
- Δ < 0 و a < 0: الدالة سالبة دائمًا؛ "<" و "≤" تعطي ℝ، و ">" و "≥" تعطي ∅.
- Δ = 0 و a > 0: الدالة غير سالبة وتساوي صفرًا عند r فقط.
- Δ = 0 يعطي حل ">" هو ℝ − {r} وحل "≤" هو {r}.
علّل: لماذا حل x² + x + 3 < 0 هو ∅؟ لأن Δ = 1 − 12 < 0 و a > 0 فالمقدار موجب دائمًا.
✍️ أمثلة محلولة
مثال 1: حل المتباينة x² − 4x + 4 > 0.
الحل:
(x − 2)² > 0
الحل: كل x ≠ 2
مجموعة الحل = ℝ − {2}
✍️ أمثلة محلولة
مثال 2: حل المتباينة x² − 4x + 4 ≤ 0.
الحل:
(x − 2)² ≤ 0
لا يتحقق إلا عند x = 2
مجموعة الحل = {2}
✍️ أمثلة محلولة
مثال 3: حل المتباينة x² + x + 3 > 0.
الحل:
Δ = 1 − 12 < 0 و a > 0
مجموعة الحل = ℝ
✍️ أمثلة محلولة
مثال 4: حل المتباينة x² + x + 3 < 0.
الحل:
المقدار موجب دائمًا.
مجموعة الحل = ∅
✍️ أمثلة محلولة
مثال 5: حل المتباينة −x² + 2x − 1 < 0.
الحل:
−(x − 1)² < 0
(x − 1)² > 0
مجموعة الحل = ℝ − {1}
تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن x² − 4x + 4 > 0 تتحقق لكل x (الصحيح x ≠ 2)؛ كتابة ∅ حيث ينبغي ℝ.