27 1-5-4 تطبيقات: مجال الجذر التربيعي وقيم المعامل
نستخدم حل المتباينة لتعيين مجال دالة جذرية أو لإيجاد قيم معامل يحقق شرطًا.
- مجال √f(x) هو مجموعة حل f(x) ≥ 0.
- شرط جذرين حقيقيين: Δ ≥ 0 فتنتج متباينة في المعامل.
- شرط مقدار موجب دائمًا: Δ < 0 مع a > 0.
لاحظ: كثيرًا ما تكون المتباينة الناتجة في المعامل هي متباينة من الدرجة الثانية، فنحلها بنفس الطريقة.
مثال 1: أوجد مجال الدالة \[\begin{gathered}f(x) = \sqrt{x^{2} - 3x - 10}\end{gathered}\].
الحل:
x² − 3x − 10 ≥ 0
(x − 5)(x + 2) ≥ 0
المجال = ]−∞ ، −2] ∪ [5 ، ∞[
مثال 2: أوجد مجال الدالة \[\begin{gathered}f(x) = \sqrt{6 - x - x^{2}}\end{gathered}\].
الحل:
6 − x − x² ≥ 0
x² + x − 6 ≤ 0
(x + 3)(x − 2) ≤ 0
المجال = [−3 ، 2]
مثال 3: أوجد قيم k التي تجعل x² + kx + 4 > 0 لكل x.
الحل:
a = 1 > 0 فنحتاج Δ < 0
k² − 16 < 0
(k − 4)(k + 4) < 0
−4 < k < 4
مثال 4: أوجد قيم m التي تجعل جذري \[\begin{gathered}x^{2} - 2\,\text{mx} + 3m + 4 = 0\end{gathered}\] حقيقيين.
الحل:
\[\begin{gathered}\Delta = 4m^{2} - 4(3m + 4) \ge 0\end{gathered}\]
m² − 3m − 4 ≥ 0
(m − 4)(m + 1) ≥ 0
m ≤ −1 أو m ≥ 4
تذكر:
- الأخطاء الشائعة: نسيان أن مجال الجذر التربيعي يتطلب ≥ 0 وليس > 0؛
- كتابة شرط Δ > 0 بدل Δ ≥ 0 عند طلب جذرين حقيقيين (يشمل المتساويين).