14 2-3-2 مساحات المثلثات المتشابهة والارتفاعات
مثلثان متشابهان: نسبة مساحتيهما = مربع نسبة أي عنصرين متناظرين (ضلعان، ارتفاعان، متوسطان، منصفان، محيطان).
- يستخدم ذلك لإيجاد ارتفاع أو محيط من نسبة المساحتين.
- نأخذ الجذر التربيعي لنسبة المساحتين فنحصل على k.
- ثم نطبق k على الارتفاع أو الضلع أو المحيط.
لاحظ: إذا كان المثلثان لهما الارتفاع نفسه فإن نسبة المساحتين تساوي نسبة القاعدتين، وهذه حالة مختلفة عن التشابه.
مثال 1: مثلثان متشابهان مساحتاهما 64 و 144 سم²، وارتفاع الأصغر 6 سم. أوجد ارتفاع الأكبر.
الحل:
\[\begin{gathered}k = \sqrt{64 \div 144} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
\(6 \div h = \dfrac{2}{3}\)
\[\begin{gathered}h = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9\end{gathered}\] سم
مثال 2: مثلثان متشابهان مساحتاهما 18 و 50 وطول أحد أضلاع الأول 6. أوجد طول الضلع المناظر في الثاني.
الحل:
\[\begin{gathered}k = \sqrt{\dfrac{18}{50}} = \sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5}\end{gathered}\]
\(6 \div x = \dfrac{3}{5}\)
x = 10
مثال 3: مثلثان متشابهان محيطاهما 30 و 45 سم، ومساحة الأول 40 سم². أوجد مساحة الثاني.
الحل:
\[\begin{gathered}k = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]
نسبة المساحتين = \(\dfrac{4}{9}\)
المساحة الثانية = \[\begin{gathered}\dfrac{40 \times 9}{4} = 90\end{gathered}\] سم²
تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين نسبة الارتفاعات ونسبة المساحات؛ استخدام الجذر على نسبة الأطوال.