الوحدة الثانية: التشابه — تشابه المضلعات والمثلثات ومساحاتها وتطبيقاته في الدائرة

إذا كان \[\begin{gathered}a \div b = c \div d\end{gathered}\] فإن \[\begin{gathered}a \times d = b \times c\end{gathered}\] (حاصل ضرب الطرفين يساوي حاصل ضرب الوسطين).

\[\begin{gathered}a \div b = c \div d\end{gathered}\] ⟺ ad = bc

• النسبة بين كميتين من نوع واحد هي ناتج قسمة إحداهما على الأخرى.
• التناسب هو تساوي نسبتين.
• في التناسب a : b = c : d تسمى a و d الطرفين و b و c الوسطين.
• إذا تساوت عدة نسب فإن (مجموع المقدمات) ÷ (مجموع التوالي) تساوي كل نسبة منها.
• المتوسط المتناسب بين عددين موجبين a و b هو العدد x الذي يحقق x² = ab.

لاحظ: في التناسب يمكن تبديل الطرفين معًا أو الوسطين معًا دون أن يختل التناسب.

تذكر: يلزم أن تكون وحدة القياس واحدة في النسبة، فنحوّل الأطوال إلى وحدة واحدة قبل النسبة.

نفرض العددين 3k و 4k.

\[\begin{gathered}3k + 4k = 28\end{gathered}\]

7k = 28 ومنه k = 4

العددان 12 و 16.

تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب طرف في طرف بدل طرف في وسط؛ كتابة النسبة بترتيب مختلف في الطرفين؛ عدم توحيد الوحدات قبل النسبة.

يتشابه مضلعان إذا كان لهما نفس عدد الأضلاع، وتساوت قياسات زواياهما المتناظرة، وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة.

• الشرط الأول: الزوايا المتناظرة متساوية في القياس.
• الشرط الثاني: النسبة بين طولي كل ضلعين متناظرين ثابتة.
• نكتب التشابه بالرمز ~ ونحافظ على ترتيب الرؤوس المتناظرة: ABCD ~ XYZW.
• الرأس الأول يناظر الرأس الأول، والثاني الثاني، وهكذا.
• لا يكفي أحد الشرطين وحده.

لاحظ:

• المستطيل والمربع زواياهما قوائم متساوية لكن أضلاعهما غير متناسبة؛
• وعلى العكس معينان ضلع كل منهما 5 سم أضلاعهما متناسبة لكن زواياهما قد تختلف.
• لا يتشابه الشكلان إلا بالشرطين معًا.

علّل:

• لماذا يلزم تحقق الشرطين معًا؟
• لأن تساوي الزوايا يحفظ الشكل لكنه لا يحفظ النسب بين الأبعاد، وتناسب الأضلاع يحفظ النسب لكنه لا يحفظ زوايا الشكل.

الزوايا جميعها قوائم فهي متساوية.

\(6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\)

\[\begin{gathered}10 \div 15 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

النسبتان متساويتان.

المستطيلان متشابهان.

\(2 \div 4 = \dfrac{1}{2}\) و \(3 \div 6 = \dfrac{1}{2}\) و \(4 \div 8 = \dfrac{1}{2}\)

لكن \(\dfrac{5 \div 11 \neq 1}{2}\)

الأضلاع المتناظرة غير متناسبة.

الشكلان غير متشابهين.

أضلاعهما متناسبة (النسبة 1 : 1).

الزاويتان 60° و 80° غير متساويتين.

المعينان غير متشابهين.

تذكر: الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بتناسب الأضلاع أو بتساوي الزوايا؛ مقارنة ضلعين غير متناظرين لأن الرؤوس لم تُرتَّب.

نسبة التشابه هي النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين في المضلعين المتشابهين، وهي ثابتة لجميع الأضلاع.

نسبة التشابه k = طول ضلع في الأول ÷ طول الضلع المناظر في الثاني

• إذا كانت k = 1 فالمضلعان متطابقان.
• نسبة محيطي المضلعين المتشابهين تساوي نسبة التشابه نفسها.
• لإيجاد ضلع مجهول: نحسب k من ضلعين معلومين متناظرين ثم نطبقها.
• الزوايا المتناظرة متساوية، فنأخذ قياس الزاوية المناظرة مباشرة.

لاحظ: عند وجود مجهول في التناسب نكتب النسب بنفس الترتيب (الأول ÷ الثاني) في الطرفين.

محيط الأول ÷ محيط الثاني = \(\dfrac{2}{3}\)

محيط الثاني = \[\begin{gathered}\dfrac{50 \times 3}{2} = 75\end{gathered}\]

محيط الأول = \[\begin{gathered}6 + 8 + 10 + 4 = 28\end{gathered}\]

محيط الثاني = \[\begin{gathered}15 + 20 + 25 + 10 = 70\end{gathered}\]

النسبة \[\begin{gathered}28 \div 70 = \dfrac{2}{5}\end{gathered}\] وهي نسبة التشابه.

A تناظر K.

الزوايا المتناظرة متساوية.

قياس الزاوية K = 70°

تذكر: الأخطاء الشائعة: قلب النسبة في بعض الأضلاع دون غيرها؛ استعمال ضلعين غير متناظرين؛ جمع النسبة مع طول.

أي مضلعين منتظمين لهما العدد نفسه من الأضلاع متشابهان.

• المضلع المنتظم متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا.
• المربعان دائمًا متشابهان، والمثلثان المتساويا الأضلاع دائمًا متشابهان.
• الدائرتان دائمًا متشابهتان.
• المستطيلان والمعينان وشبها المنحرف ليست متشابهة دائمًا.
• المثلثان القائمان المتساويا الساقين متشابهان (زواياهما 45° و 45° و 90°).

علّل:

• لماذا يتشابه أي مضلعين منتظمين من العدد نفسه؟
• زواياهما متساوية بقانون الزاوية الداخلية، وأضلاع كل منهما متساوية فنسب الأضلاع المتناظرة ثابتة.

كل منهما مضلع منتظم عدد أضلاعه 6.

إذن هما متشابهان.

\[\begin{gathered}k = 4 \div 10 = \dfrac{2}{5}\end{gathered}\]

الزوايا قوائم متساوية.

3 ÷ 3 = 1 بينما 3 ÷ 5 ≠ 1

الأضلاع غير متناسبة.

غير متشابهين.

نسبة التشابه = نسبة المحيطين = \[\begin{gathered}30 \div 45 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

ضلع الأول = 30 ÷ 5 = 6

ضلع الثاني = 45 ÷ 5 = 9

وفعلًا \(6 \div 9 = \dfrac{2}{3}\).

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: القول إن أي مستطيلين متشابهان؛
• القول إن أي معينين متشابهان؛
• نسيان أن الشرط يخص المضلعات المنتظمة من العدد نفسه من الأضلاع.

مقياس الرسم هو النسبة بين طول في الرسم والطول المناظر له في الحقيقة، والرسم يشابه الواقع.

مقياس الرسم = طول الرسم ÷ الطول الحقيقي

• المقياس 1 : 50000 يعني أن 1 سم في الخريطة يمثل 50000 سم (500 متر) في الواقع.
• نوحّد الوحدات قبل التقسيم.
• زوايا الرسم تساوي زوايا الواقع.

لاحظ: كل مقياس رسم يعطي شكلًا مشابهًا للأصل، والمخططات الهندسية والخرائط تعتمد على هذه الفكرة.

الطول الحقيقي = \[\begin{gathered}4 \times 500000 = 2000000\end{gathered}\] سم

2000000 سم = 20 كم

30 م = 3000 سم

طول الرسم = \[\begin{gathered}3000 \div 200 = 15\end{gathered}\] سم

البعد الأول = \[\begin{gathered}8 \times 500 = 4000\end{gathered}\] سم = 40 م

البعد الثاني = \[\begin{gathered}5 \times 500 = 2500\end{gathered}\] سم = 25 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: القسمة بدل الضرب أو العكس؛ ترك الوحدات مختلفة (سم مع كم)؛ استعمال مقياس الطول على المساحات.

يتشابه المثلثان إذا تساوى قياسا زاويتين في أحدهما مع قياسي زاويتين في الآخر.

• الزاوية الثالثة تتساوى تلقائيًا لأن مجموع زوايا المثلث 180°.
• بتساوي الزوايا الثلاث تتناسب الأضلاع المتناظرة.
• نكتب رؤوس المثلثين بترتيب الزوايا المتساوية.
• مصادر تساوي الزوايا: زاويتان متقابلتان بالرأس، زاوية مشتركة، زاويتان متبادلتان أو متناظرتان بين متوازيين.

لاحظ: نكتب التشابه بترتيب الرؤوس: △ABC ~ △DEF تعني A ↔ D و B ↔ E و C ↔ F ومن ثَمّ \[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{DE} = \,\text{BC} \div \,\text{EF} = \,\text{AC} \div \,\text{DF}\end{gathered}\].

في △ABC قياس \[\begin{gathered}C = 180{}^{\circ} - 110{}^{\circ} = 70{}^{\circ}\end{gathered}\]

في △DEF قياس \[\begin{gathered}E = 180{}^{\circ} - 120{}^{\circ} = 60{}^{\circ}\end{gathered}\]

A = D و B = E و C = F

△ABC ~ △DEF

الزاويتان AEC و BED متقابلتان بالرأس فهما متساويتان.

الزاويتان EAC و EBD متبادلتان (AC ∥ BD) فهما متساويتان.

△EAC ~ △EBD

\[\begin{gathered}\,\text{AC} \div \,\text{BD} = \,\text{EA} \div \,\text{EB}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}10 \div \,\text{BD} = 4 \div 6\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{BD} = 10 \times 6 \div 4 = 15\end{gathered}\]

الزاوية A مشتركة.

قياس ADE = قياس ABC (متناظرتان).

△ADE ~ △ABC

\[\begin{gathered}\,\text{DE} \div \,\text{BC} = \,\text{AD} \div \,\text{AB} = 4 \div 10\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{15 \times 2}{5} = 6\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: ترتيب الرؤوس بشكل لا يوافق الزوايا المتساوية؛ ربط ضلع غير مناظر عند كتابة النسبة.

إذا تناسبت أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث مع أطوال الأضلاع الثلاثة في مثلث آخر فالمثلثان متشابهان.

• نرتب أضلاع كل مثلث من الأصغر إلى الأكبر ثم نقارن نسب الأضلاع المتناظرة.
• إذا تساوت النسب الثلاث فالمثلثان متشابهان وتتساوى زواياهما المتناظرة.
• الضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغرى فيناظر الأصغر في المثلث الآخر.

لاحظ: عند فحص التناسب نقارن الأصغر بالأصغر والأوسط بالأوسط والأكبر بالأكبر.

النسب متساوية فالمثلثان متشابهان.

\(\dfrac{9 \div 19 \neq 1}{2}\)

النسب غير متساوية فالمثلثان غير متشابهين.

تذكر: الأخطاء الشائعة: مقارنة الأكبر بالأصغر؛ الاكتفاء بنسبتين من ثلاث.

إذا تساوت زاوية في مثلث مع زاوية في مثلث آخر، وتناسب طولا الضلعين اللذين يحتويانها مع طولي الضلعين المناظرين، فالمثلثان متشابهان.

• يجب أن تكون الزاوية محصورة بين الضلعين المتناسبين.
• نكتب نسبتين متساويتين ثم نتحقق من تساوي الزاويتين.
• تُستعمل هذه الحالة لإثبات توازي مستقيمين أو مماسية.

علّل: لماذا لا تكفي زاوية غير محصورة؟ لأن موضع الزاوية قد يسمح بمثلثين مختلفين بالنسبة نفسها، فلا يتحدد الشكل.

الزاويتان المحصورتان A و D متساويتان.

△ABC ~ △DEF

الزاوية A مشتركة.

△ADE ~ △ABC

قياس ADE = قياس ABC وهما متناظرتان فإن DE ∥ BC.

\[\begin{gathered}\,\text{DE} = \dfrac{14 \times 1}{4} = 3.5\end{gathered}\]

الزاوية A مشتركة.

△ABC ~ △ACD (A ↔ A و B ↔ C و C ↔ D)

إذن قياس ACD = قياس B.

تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال زاوية ليست محصورة؛ نسيان ذكر أن الزاوية المشتركة متساوية.

نثبت التشابه أولًا ثم نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة بحسب ترتيب الرؤوس.

• الخطوة 1: نبحث عن زوايا متساوية أو نسب أضلاع.
• الخطوة 2: نحدد حالة التشابه ونكتب المثلثين بترتيب الرؤوس.
• الخطوة 3: نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة.
• الخطوة 4: نعوّض الأطوال ونحل.
• الشكل شبه المنحرف: قطراه يتقاطعان في M فيتشابه △MAB و △MCD عندما AB ∥ CD.

لاحظ: في شبه المنحرف ABCD الذي فيه AB ∥ CD يكون \[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{MB} \div \,\text{MD} = \,\text{AB} \div \,\text{CD}\end{gathered}\].

△MAB ~ △MCD

\[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{AB} \div \,\text{CD} = 12 \div 8 = \dfrac{3}{2}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{MA} + \,\text{MC} = 15\end{gathered}\]

نفرض MA = 3t و MC = 2t.

5t = 15 ومنه t = 3

MA = 9 و MC = 6

الزاوية A مشتركة.

قياس AED = قياس ABC.

△AED ~ △ABC (A ↔ A و E ↔ B و D ↔ C)

\[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{AB} = \,\text{AD} \div \,\text{AC} = \,\text{ED} \div \,\text{BC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}4 \div 10 = 6 \div \,\text{AC}\end{gathered}\]

AC = 15

\[\begin{gathered}\,\text{ED} = \dfrac{20 \times 4}{10} = 8\end{gathered}\]

الزاوية B مشتركة بين △ABD و △CBA.

قياس BAD = قياس C.

△ABD ~ △CBA (A ↔ C و B ↔ B و D ↔ A)

\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{CB} = \,\text{BD} \div \,\text{BA}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة نسبة بين ضلعين غير متناظرين؛ إثبات تشابه دون ذكر الحالة؛ تغيير ترتيب الرؤوس عند الانتقال إلى النسبة.

في المثلث القائم الزاوية إذا رُسم العمود من رأس القائمة على الوتر فإن المثلثات الثلاثة الناتجة متشابهة.

في △ABC القائم في A و AD ⊥ BC:

△ABC ~ △DBA ~ △DAC

ومنها:

\[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AC}^{2} = \,\text{CD} \times \,\text{CB}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \times \,\text{BC} = \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\]

• مربع طول ضلع القائمة = (طول مسقطه على الوتر) × (طول الوتر).
• مربع طول العمود = حاصل ضرب طولي جزأي الوتر.
• العمود × الوتر = حاصل ضرب ضلعي القائمة (مساحة المثلث بطريقتين).

علّل:

• لماذا \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC}\end{gathered}\]؟
• لأن △DBA ~ △ABC (الزاوية B مشتركة وقائمة D و A) فتتناسب الأضلاع: \[\begin{gathered}\,\text{BD} \div \,\text{AB} = \,\text{AB} \div \,\text{BC}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\,\text{AD}^{2} = 4 \times 9 = 36\end{gathered}\] ومنه AD = 6

\[\begin{gathered}\,\text{BC} = 4 + 9 = 13\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC} = 4 \times 13 = 52\end{gathered}\] ومنه AB = 2√13

\[\begin{gathered}\,\text{AC}^{2} = \,\text{DC} \times \,\text{BC} = 9 \times 13 = 117\end{gathered}\] ومنه AC = 3√13

التحقق: \[\begin{gathered}52 + 117 = 169 = 13^{2}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}144 = 9 \times \,\text{DC}\end{gathered}\] ومنه DC = 16

\[\begin{gathered}\,\text{BC} = 9 + 16 = 25\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = 9 \times 25 = 225\end{gathered}\] ومنه AB = 15

\[\begin{gathered}\,\text{AC}^{2} = 16 \times 25 = 400\end{gathered}\] ومنه AC = 20

\[\begin{gathered}\,\text{BC}^{2} = 81 + 144 = 225\end{gathered}\] ومنه BC = 15

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \times \,\text{BC} = \,\text{AB} \times \,\text{AC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} = 9 \times 12 \div 15 = 7.2\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: وضع الوتر مكان ضلع القائمة؛
• استعمال \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{DC}\end{gathered}\] (الصحيح \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC}\end{gathered}\])؛
• نسيان أن الوتر هو مجموع الجزأين.

في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، وعكسها صحيح.

\[\begin{gathered}\,\text{BC}^{2} = \,\text{AB}^{2} + \,\text{AC}^{2}\end{gathered}\]

• البرهان من نظريتي إقليدس: \[\begin{gathered}\,\text{AB}^{2} + \,\text{AC}^{2} = \,\text{BD} \times \,\text{BC} + \,\text{CD} \times \,\text{BC} = (\,\text{BD} + \,\text{CD}) \times \,\text{BC} = \,\text{BC}^{2}\end{gathered}\].
• عكس النظرية: إذا كان مربع أكبر ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية مقابل الأكبر.
• إذا كان مربع الأكبر أكبر من المجموع فالمثلث منفرج الزاوية، وإذا كان أصغر فهو حاد الزوايا.

لاحظ: الثلاثيات الفيثاغورية الشهيرة: (3 ، 4 ، 5) و (5 ، 12 ، 13) و (8 ، 15 ، 17) و (7 ، 24 ، 25).

المجموع يساوي مربع الأكبر.

المثلث قائم الزاوية مقابل الضلع 25.

121 > 100

المثلث ليس قائمًا بل منفرج الزاوية.

h = 12 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: جمع الأضلاع بدل جمع مربعاتها؛ اعتبار أحد الضلعين الصغيرين وترًا؛ تطبيق العكس دون ترتيب الأضلاع.

نستعمل تشابه المثلثات لقياس أطوال يصعب قياسها مباشرة (ارتفاع مبنى، عرض نهر).

• الأشعة الضوئية متوازية فتتكون مثلثات متشابهة من الأجسام وظلالها.
• المرآة الأفقية تعكس الضوء بنفس زاوية السقوط فتتكون مثلثات متشابهة.
• نرسم نموذجًا هندسيًا للموقف ثم نحدد المثلثين المتشابهين.

لاحظ: القياس يكون في الوقت نفسه حتى تكون زاوية الشمس واحدة للجسمين.

المثلثان متشابهان.

\[\begin{gathered}h \div 8 = 1.8 \div 2.4\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}h = 8 \times 1.8 \div 2.4\end{gathered}\]

h = 6 م

المثلثان متشابهان (زاويتا السقوط والانعكاس متساويتان والزاويتان القائمتان).

الارتفاع ÷ \[\begin{gathered}10 = 1.6 \div 2\end{gathered}\]

الارتفاع = \[\begin{gathered}1.6 \times 10 \div 2 = 8\end{gathered}\] م

△ABC ~ △DEC (زاويتان قائمتان B و E والزاويتان عند C متقابلتان بالرأس)

\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div \,\text{DE} = \,\text{BC} \div \,\text{EC}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AB} \div 8 = 20 \div 5\end{gathered}\]

AB = 32 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع المسافات المتناظرة بترتيب خاطئ؛ اختيار مثلثين غير متشابهين؛ عدم رسم نموذج واضح للمسألة.

النسبة بين مساحتي سطحي مضلعين متشابهين تساوي مربع النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما.

مساحة الأول ÷ مساحة الثاني = k²

• k هي نسبة التشابه.
• المساحة قياس بُعدين، لذلك تتأثر بمربع نسبة الطول.
• نسبة محيطيهما k (من الدرجة الأولى).
• النسبة نفسها صحيحة للمثلثين المتشابهين: مربع نسبة الارتفاعين أو المتوسطين المتناظرين.

علّل: لماذا تربيع النسبة؟ مثلثان متشابهان نسبتهما k: قاعدتهما b و kb وارتفاعاهما h و kh، فمساحة الثاني ½·kb·kh = k²·(½bh).

تذكر: إذا ضوعفت أبعاد شكل مرتين تضاعفت مساحته 4 مرات، وإذا ضوعفت 3 مرات تضاعفت مساحته 9 مرات.

نسبة المساحتين = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}\end{gathered}\]

20 ÷ مساحة الأكبر = \(\dfrac{4}{9}\)

مساحة الأكبر = \[\begin{gathered}20 \times 9 \div 4 = 45\end{gathered}\] سم²

نسبة المساحتين = \(\dfrac{25}{64}\)

75 ÷ مساحة الثاني = \(\dfrac{25}{64}\)

مساحة الثاني = \[\begin{gathered}75 \times 64 \div 25 = 192\end{gathered}\] سم²

محيط الأصغر ÷ محيط الأكبر = \(\dfrac{7}{9}\)

محيط الأكبر = \[\begin{gathered}28 \times 9 \div 7 = 36\end{gathered}\] سم

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: استعمال النسبة k بدل k² للمساحات؛
• استعمال k² للمحيطات؛
• نسيان الجذر التربيعي عند الانتقال من المساحتين إلى نسبة التشابه.

مثلثان متشابهان: نسبة مساحتيهما = مربع نسبة أي عنصرين متناظرين (ضلعان، ارتفاعان، متوسطان، منصفان، محيطان).

• يستخدم ذلك لإيجاد ارتفاع أو محيط من نسبة المساحتين.
• نأخذ الجذر التربيعي لنسبة المساحتين فنحصل على k.
• ثم نطبق k على الارتفاع أو الضلع أو المحيط.

لاحظ: إذا كان المثلثان لهما الارتفاع نفسه فإن نسبة المساحتين تساوي نسبة القاعدتين، وهذه حالة مختلفة عن التشابه.

\[\begin{gathered}h = \dfrac{6 \times 3}{2} = 9\end{gathered}\] سم

نسبة المساحتين = \(\dfrac{4}{9}\)

المساحة الثانية = \[\begin{gathered}\dfrac{40 \times 9}{4} = 90\end{gathered}\] سم²

تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين نسبة الارتفاعات ونسبة المساحات؛ استخدام الجذر على نسبة الأطوال.

إذا كان DE ∥ BC في △ABC فإن △ADE ~ △ABC ومساحة △ADE ÷ مساحة △\[\begin{gathered}\,\text{ABC} = (\,\text{AD} \div \,\text{AB})^{2}\end{gathered}\].

• المساحة المتبقية DBCE (شبه منحرف) = مساحة △ABC − مساحة △ADE.
• نسبة المساحتين مربع نسبة أي ضلعين متناظرين.

لاحظ: بعد قص المثلث الصغير من الأعلى يتبقى شبه منحرف، ونحصل على مساحته بالطرح.

نسبة المساحتين = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2} = \dfrac{9}{25}\end{gathered}\]

مساحة △\[\begin{gathered}\,\text{ADE} = \dfrac{100 \times 9}{25} = 36\end{gathered}\] سم²

مساحة \[\begin{gathered}\,\text{DBCE} = 100 - 36 = 64\end{gathered}\] سم²

مساحة △\[\begin{gathered}\,\text{ABC} = 16 + 20 = 36\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(\,\text{AD} \div \,\text{AB})^{2} = \dfrac{16}{36}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AD} \div \,\text{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

مساحة △\[\begin{gathered}\,\text{ADE} = \dfrac{54 \times 4}{9} = 24\end{gathered}\]

مساحة \[\begin{gathered}\,\text{DBCE} = 54 - 24 = 30\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال AD ÷ DB بدل AD ÷ AB؛ نسيان طرح مساحة المثلث الصغير.

في المسائل العملية نحدد نسبة التشابه ثم نربّعها للمساحات.

• المخطط والمقياس: مساحة الرسم = مساحة الحقيقة × (مقياس الرسم)².
• ثمن السجاد أو الدهان يتناسب مع المساحة.
• مثلثان لهما الارتفاع نفسه (أو القاعدة نفسها) نسبة مساحتيهما = نسبة القاعدتين (أو الارتفاعين).

تذكر: عند التطبيق العملي نكتب الوحدة: سم² أو م²، وتحويل الوحدات يتأثر بتربيع معامل التحويل.

نسبة الأطوال 1 : 100 فنسبة المساحات 1 : 10000.

المساحة الحقيقية = \[\begin{gathered}12 \times 10000 = 120000\end{gathered}\] سم²

= 12 م²

مساحة الأولى = 20 م²

نسبة المساحات = 1.5² = 2.25

مساحة الثانية = 45 م²

التكلفة = \[\begin{gathered}600 \times 2.25 = 1350\end{gathered}\] جنيه

للمثلثين الارتفاع نفسه (من A إلى BC).

نسبة المساحتين = نسبة القاعدتين = 4 ÷ 6

= 2 : 3

تذكر: الأخطاء الشائعة: حساب تكلفة الثانية بنسبة الأطوال؛ تحويل 1 م² إلى 100 سم² (الصحيح 10000 سم²).

إذا تقاطع وتران AB و CD في نقطة E داخل الدائرة فإن \[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\]

• البرهان: △AEC ~ △DEB لأن الزاويتين AEC و DEB متقابلتان بالرأس، وقياس A = قياس D (محيطيتان على القوس CB).
• من التشابه \[\begin{gathered}\,\text{AE} \div \,\text{DE} = \,\text{CE} \div \,\text{BE}\end{gathered}\] فنحصل على القاعدة.
• القطر العمودي على وتر ينصف هذا الوتر.

علّل: لماذا تكون النتيجة مستقلة عن موضع الوترين؟ لأن التشابه يعتمد على زوايا محيطية تقابل القوس نفسه، وتبقى متساوية مهما تحرك الوتران.

القطر العمودي على الوتر ينصفه: AE = EB.

\[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{AE}^{2} = 2 \times 8 = 16\end{gathered}\]

AE = 4

AB = 8 سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: ضرب قطعتين من وترين مختلفين في الجهة الواحدة؛ نسيان أن القطع الأربع هي أجزاء الوترين.

إذا رُسم من نقطة M خارج الدائرة قاطعان يقطعانها في A و B وفي C و D فإن \[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\]

• A و C النقطتان الأقرب إلى M، و B و D النقطتان الأبعد.
• \[\begin{gathered}\,\text{MB} = \,\text{MA} + \,\text{AB}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{MD} = \,\text{MC} + \,\text{CD}\end{gathered}\].
• البرهان: △MAD ~ △MCB لأن الزاوية M مشتركة، وقياس MAD = قياس MCB (زاويتان محيطيتان ترتكزان على القوس نفسه) فتتناسب الأضلاع: \[\begin{gathered}\,\text{MA} \div \,\text{MC} = \,\text{MD} \div \,\text{MB}\end{gathered}\].

لاحظ: في القاعدة نضرب القطعة الخارجية في القاطع كاملًا (من M إلى النقطة الأبعد).

x = 3 (نرفض x = −8 لأن الطول موجب)

تذكر: الأخطاء الشائعة: الضرب في AB بدل MB؛ ضرب القطعة الداخلية بالقطعة الخارجية؛ قبول جذر سالب لطول.

إذا رُسم من نقطة M خارج الدائرة مماس MT وقاطع يقطعها في A و B فإن \[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\]

• نتيجة لنظرية القاطعين حين ينطبق القاطع الثاني على المماس (C = D = T).
• المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متساويان في الطول.
• المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، فنستعمل فيثاغورث أيضًا.

تذكر: إذا رُسم من M مماس MT فإن \[\begin{gathered}\,\text{MO}^{2} = \,\text{MT}^{2} + r^{2}\end{gathered}\] حيث O المركز و r نصف القطر.

OT ⊥ MT.

\[\begin{gathered}r^{2} = 13^{2} - 12^{2} = 169 - 144 = 25\end{gathered}\]

r = 5 سم

القاطع المار بالمركز: \[\begin{gathered}\,\text{MA} = 13 - 5 = 8\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{MB} = 13 + 5 = 18\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = 8 \times 18 = 144 = 12^{2} = \,\text{MT}^{2}\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: اعتبار \[\begin{gathered}\,\text{MT} \times \,\text{MT} = \,\text{MA} \times \,\text{AB}\end{gathered}\] (الصحيح MA × MB)؛
• نسيان إضافة القطعتين لتكوين MB.

• عكس نظرية الوترين: إذا تقاطعت القطعتان المستقيمتان AB و CD في E داخلهما وكان \[\begin{gathered}\,\text{AE} \times \,\text{EB} = \,\text{CE} \times \,\text{ED}\end{gathered}\] فإن النقط A و B و C و D تقع على دائرة واحدة.
• وعكس المماس: إذا كان \[\begin{gathered}(\,\text{MT})^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\] فإن MT مماس للدائرة المارة بالنقط T و A و B.

• نحسب حاصلي الضرب ونقارنهما: إذا تساويا فالنقط متحدة الدائرة.
• في الحالة الخارجية: M على امتداد القطعتين AB و CD وكان \[\begin{gathered}\,\text{MA} \times \,\text{MB} = \,\text{MC} \times \,\text{MD}\end{gathered}\] فالنقط تقع على دائرة.
• إذا كان \[\begin{gathered}\,\text{MT}^{2} = \,\text{MA} \times \,\text{MB}\end{gathered}\] فإن MT يمس الدائرة المارة بـ T و A و B.

لاحظ: في الإثبات نستخدم التشابه بالـ SAS، فنثبت أن △MTA ~ △MBT فتتساوى الزاويتان فيصبح MT مماسًا بنظرية المماس والوتر.

الحاصلان متساويان.

النقط الأربع تقع على دائرة واحدة (رباعي دائري).

الحاصلان غير متساويين.

النقط لا تقع على دائرة واحدة.

شرط المماسية: \[\begin{gathered}\,\text{DA}^{2} = \,\text{DC} \times \,\text{DB}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{DA}^{2} = 4 \times 9 = 36\end{gathered}\]

DA = 6

إذا كان DA = 6 فإن DA مماس للدائرة المارة بالنقط A و B و C.

تذكر: الأخطاء الشائعة: افتراض أن النقط على دائرة دون اختبار؛ استخدام العكس بدون التأكد من موضع نقطة التقاطع بين القطعتين.

نجمع بين نظريات الدائرة والتشابه وفيثاغورث لحل مسائل الأطوال.

• نرسم الشكل ونكتب معطيات القطع على الشكل.
• نحدد أي نظرية تناسب الشكل (وتران، قاطعان، مماس وقاطع).
• قد نحتاج إلى نصف القطر أو العمود من المركز على الوتر.

لاحظ: القوس (قنطرة) أو النفق على شكل جزء من دائرة يعتمد حله على قاعدة الوترين المتقاطعين.

المسافة من المركز إلى الوتر d: \[\begin{gathered}d^{2} = 10^{2} - 8^{2} = 36\end{gathered}\] ومنه d = 6

جزآ القطر: \[\begin{gathered}\,\text{CE} = 10 - 6 = 4\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{ED} = 10 + 6 = 16\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\,\text{CE} \times \,\text{ED} = 64 = \,\text{AE} \times \,\text{EB}\end{gathered}\]

نصف الوتر = 12 م.

وتران متقاطعان: الوتر AB والقطر العمودي عليه.

\[\begin{gathered}12 \times 12 = 6 \times (2r - 6)\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}144 = 12r - 36\end{gathered}\]

12r = 180

r = 15 م

\[\begin{gathered}\,\text{CD} = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \approx 9.8\end{gathered}\] سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن القطر = 2r عند حساب القطعة الثانية من القطر؛ خلط جزء من الوتر مع القطر.