13 4-3-5 إيجاد باقي الدوال من دالة معلومة
نستعمل المتطابقة \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1\end{gathered}\] أو المثلث القائم ونحدد الإشارة من الربع.
- نحدد الربع ومن ثم إشارات الدوال.
- نبني مثلثًا قائمًا بالقيمة المطلقة للنسبة المعلومة.
- نوجد الضلع الثالث بفيثاغورث ونكتب باقي النسب مع الإشارة.
لاحظ: إذا لم يُعطَ الربع قد يوجد حلان.
مثال 1: إذا كان \(\sin \theta = \dfrac{3}{5}\) و θ في الربع الثاني فأوجد cos θ و tan θ.
الحل:
|\[\begin{gathered}\cos \theta | = \dfrac{4}{5}\end{gathered}\]
في الربع الثاني cos سالبة: \[\begin{gathered}\cos \theta = -\dfrac{4}{5}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan \theta = \left(\dfrac{3}{5}\right) \div \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{3}{4}\end{gathered}\]
مثال 2: إذا كان \[\begin{gathered}\cos \theta = -\dfrac{5}{13}\end{gathered}\] و θ في الربع الثالث فأوجد sin θ و tan θ.
الحل:
|\[\begin{gathered}\sin \theta | = \dfrac{12}{13}\end{gathered}\]
في الربع الثالث sin سالبة: \[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{12}{13}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\tan \theta = \left(-\dfrac{12}{13}\right) \div \left(-\dfrac{5}{13}\right) = \dfrac{12}{5}\end{gathered}\]
مثال 3: إذا كان tan θ = −2 و θ في الربع الرابع فأوجد sin θ و cos θ.
الحل:
نرسم مثلثًا ضلعاه 2 و 1 ووتره √5.
في الربع الرابع x > 0 و y < 0.
\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{2}{\sqrt{5}} = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\end{gathered}\]
مثال 4: إذا كان \[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] فأوجد جميع قيم cos θ الممكنة.
الحل:
\[\begin{gathered}\cos ^{2} \theta = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\cos \theta = \dfrac{\pm \sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]
(sin سالبة في الربعين الثالث والرابع: cos سالبة في الثالث وموجبة في الرابع).
تذكر: الأخطاء الشائعة: إهمال إشارة الدالة في الربع؛ استعمال القيمة الموجبة دائمًا؛ نسيان وجود حلين عند غياب الربع.