الوحدة الرابعة: حساب المثلثات — الزاوية الموجهة والقياس الدائري والدوال المثلثية

الزاوية الموجهة هي زاوية تتولد بدوران شعاع حول نقطة ثابتة من وضع ابتدائي إلى وضع نهائي.

• النقطة الثابتة هي رأس الزاوية.
• الشعاع في بدء الدوران هو الضلع الابتدائي، وفي نهايته هو الضلع النهائي.
• الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة يعطي زاوية موجبة.
• الدوران في اتجاه عقارب الساعة يعطي زاوية سالبة.
• قد يدور الشعاع أكثر من دورة كاملة فيتجاوز القياس 360°.

لاحظ: الزاوية الموجهة لها قياس مع إشارة، وقد تكون أكبر من 360° أو سالبة، بخلاف الزاوية الهندسية العادية التي لا تتجاوز 180°.

تذكر: الدورة الكاملة عكس عقارب الساعة = +360° وفي اتجاه عقارب الساعة = −360°.

الدوران في اتجاه عقارب الساعة فالزاوية سالبة.

ربع دورة = \[\begin{gathered}360{}^{\circ} \div 4 = 90{}^{\circ}\end{gathered}\]

القياس = −90°

دورة كاملة = 360°

نصف دورة = 180°

القياس = \[\begin{gathered}360{}^{\circ} + 180{}^{\circ} = 540{}^{\circ}\end{gathered}\] (موجبة)

الدوران مع عقارب الساعة فالقياس = −270°

تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار كل زاوية موجبة؛ الخلط بين اتجاه الدوران والإشارة؛ نسيان إضافة الدورات الكاملة.

تكون الزاوية الموجهة في الوضع القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الابتدائي ينطبق على الاتجاه الموجب لمحور السينات.

• ربع المحاور الأول: الزوايا بين 0° و 90°.
• الربع الثاني: بين 90° و 180°.
• الربع الثالث: بين 180° و 270°.
• الربع الرابع: بين 270° و 360°.
• إذا وقع الضلع النهائي على أحد المحورين فالزاوية ربعية: 0° و 90° و 180° و 270° و 360°.
• نعيّن الربع بإيجاد الزاوية المكافئة بين 0° و 360° أولًا.

لاحظ: الزاوية الربعية لا تنتمي إلى أي ربع.

130° بين 90° و 180° فهي في الربع الثاني.

250° بين 180° و 270° فهي في الربع الثالث.

310° بين 270° و 360° فهي في الربع الرابع.

310° في الربع الرابع.

إذن الزاوية −50° تقع في الربع الرابع.

40° في الربع الأول.

الضلع النهائي ينطبق على الاتجاه السالب لمحور السينات.

نعم، هي زاوية ربعية (مكافئة للزاوية 180°).

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع الزاوية 90° في الربع الأول؛ نسيان تحويل الزاوية السالبة أو الكبيرة قبل تعيين الربع.

تكون زاويتان موجهتان في الوضع القياسي متكافئتين إذا انطبق ضلعاهما النهائيان، والقياسات المكافئة للزاوية θ هي θ + 360° × n حيث n عدد صحيح.

θ + 360° n

• نضيف 360° أو نطرحها لنحصل على قياسات مكافئة.
• الفرق بين قياسي زاويتين متكافئتين مضاعف للعدد 360°.
• أصغر قياس موجب للزاوية: نضيف أو نطرح 360° حتى نحصل على قياس بين 0° و 360°.
• قياس سالب مكافئ: نطرح 360° من القياس الموجب.

علّل: لماذا يوجد عدد لا نهائي من القياسات المكافئة؟ لأن كل دورة كاملة إضافية (أو ناقصة) تعيد الضلع النهائي إلى الوضع نفسه.

أو \[\begin{gathered}850{}^{\circ} - 720{}^{\circ} = 130{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}-400{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = -40{}^{\circ}\end{gathered}\] (ما زال سالبًا)

\[\begin{gathered}-40{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = 320{}^{\circ}\end{gathered}\]

أو \[\begin{gathered}-400{}^{\circ} + 720{}^{\circ} = 320{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}75{}^{\circ} - (-285{}^{\circ}) = 360{}^{\circ}\end{gathered}\] وهو مضاعف للعدد 360° فالزاويتان متكافئتان.

\[\begin{gathered}200{}^{\circ} - 100{}^{\circ} = 100{}^{\circ}\end{gathered}\] ليس مضاعفًا لـ 360° فالزاويتان غير متكافئتين.

تذكر: الأخطاء الشائعة: إضافة 180° بدل 360°؛ التوقف عند قياس سالب عند طلب أصغر قياس موجب.

نحدد قياس الزاوية من موضع الضلع النهائي بالنسبة للمحاور، أو من عدد الدورات والجزء الباقي.

• الضلع النهائي على الاتجاه الموجب لمحور الصادات: 90°.
• على الاتجاه السالب لمحور السينات: 180°.
• على الاتجاه السالب لمحور الصادات: 270° (أو −90°).
• الزاوية المطلوبة قد تكون السالبة المكافئة لما نقرؤه عكس عقارب الساعة.

لاحظ: نقرأ القياس الموجب عكس العقارب، ثم نحدد القياس السالب بطرح 360° عند الحاجة.

القياس الموجب: 270°

القياس السالب: \[\begin{gathered}270{}^{\circ} - 360{}^{\circ} = -90{}^{\circ}\end{gathered}\]

القياس = \[\begin{gathered}2 \times 360{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 810{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}810{}^{\circ} - 720{}^{\circ} = 90{}^{\circ}\end{gathered}\]

الضلع النهائي ينطبق على الاتجاه الموجب لمحور الصادات.

340° في الربع الرابع.

تذكر: الأخطاء الشائعة: خلط الاتجاه الموجب لمحور الصادات (90°) مع السالب (270°)؛ نسيان إضافة الدورات الكاملة.

في القياس الستيني تُقسم الدرجة الواحدة إلى 60 دقيقة والدقيقة إلى 60 ثانية.

1° = 60′

1′ = 60″

1° = 3600″

• ندوّن القياس على الصورة 37° 15′ 20″.
• لتحويل الدقائق والثواني إلى جزء من الدرجة نقسم الدقائق على 60 والثواني على 3600.
• لتحويل الكسر العشري للدرجة إلى دقائق نضرب في 60، والباقي العشري للدقائق إلى ثوان نضربه في 60.

تذكر: نقرأ ′ دقيقة و ″ ثانية، ولا نخلطها مع علامة الفاصلة العليا.

\[\begin{gathered}0.76 \times 60 = 45.6'\end{gathered}\] ومنه 45′

\[\begin{gathered}0.6 \times 60 = 36''\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}45.76{}^{\circ} = 45{}^{\circ} 45' 36''\end{gathered}\]

القياس = \[\begin{gathered}12 + 0.3333 + 0.00833 \approx 12.3417{}^{\circ}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: القسمة على 100 بدل 60؛ كتابة 0.5° على أنها 50′.

القياس الدائري لزاوية مركزية في دائرة هو النسبة بين طول القوس المقابل لها وطول نصف قطر الدائرة، وحدته الراديان.

θ = l ÷ r

• θ القياس الدائري بالراديان، l طول القوس، r نصف القطر.
• الراديان الواحد هو قياس الزاوية المركزية التي تقابل قوسًا طوله يساوي نصف القطر.
• هذه النسبة ثابتة في جميع الدوائر لزاوية مركزية معينة.
• الدورة الكاملة: l = 2πr فالقياس = 2π راديان.
• الراديان قياس عددي بلا وحدة طول، ونكتب rad أو نتركها.

علّل:

• لماذا يكون القياس الدائري ثابتًا لزاوية واحدة مهما تغير نصف القطر؟
• لأن الدوائر متشابهة، فتتناسب أطوال الأقواس مع أنصاف الأقطار فتبقى النسبة l ÷ r ثابتة.

θ = 2.5 راديان

طول نصف الدائرة l = πr

\[\begin{gathered}\theta = \pi r \div r = \pi \end{gathered}\] راديان

l = 10 سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال θ بالدرجات في l = rθ؛ نسيان أن π راديان تساوي 180°.

π راديان = 180°، ومنه: \[\begin{gathered}1{}^{\circ} = \pi \div 180\end{gathered}\] راديان و 1 راديان = \[\begin{gathered}180{}^{\circ} \div \pi \approx 57.3{}^{\circ}\end{gathered}\].

الراديان = الدرجات × π ÷ 180

الدرجات = الراديان × 180 ÷ π

• لتحويل الدرجات إلى راديان نضرب في π ÷ 180.
• لتحويل الراديان إلى درجات نضرب في 180 ÷ π.
• نترك π في الجواب إن أمكن، أو نعوّض π ≈ 3.14 عند طلب تقريب.

لاحظ:

• القيم المهمة: \(30{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{6}\) و \(45{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\) و \(60{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\) و \(90{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{2}\) و 180° = π و \(270{}^{\circ} = \dfrac{3\pi}{2}\) و 360° = 2π.

2 × 180° ÷ π

= 360° ÷ 3.14159...

≈ 114.59°

37.5 × π ÷ 180

= 5π ÷ 24

≈ 0.6545 راديان

تذكر: الأخطاء الشائعة: الضرب في π ÷ 180 عند التحويل من الراديان؛ استعمال π = 180 مباشرة داخل العمليات الأخرى.

طول القوس l المقابل لزاوية مركزية θ (بالراديان) في دائرة نصف قطرها r هو: l = r × θ.

l = rθ

• إذا كانت الزاوية بالدرجات نحولها أولًا إلى راديان.
• الصيغة بالدرجات: \[\begin{gathered}l = (\theta {}^{\circ} \div 360{}^{\circ}) \times 2\pi r\end{gathered}\].
• يمكن إيجاد θ = l ÷ r أو r = l ÷ θ.

تذكر: يجب أن يكون l و r بوحدة الطول نفسها.

\[\begin{gathered}l = 2\pi \approx 6.28\end{gathered}\] سم

\[\begin{gathered}l = 10\pi \approx 31.42\end{gathered}\] سم

20 دقيقة = \(\dfrac{1}{3}\) ساعة = \(120{}^{\circ} = \dfrac{2\pi}{3}\) راديان

\[\begin{gathered}l = \dfrac{14 \times 2\pi}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}l = \dfrac{28\pi}{3} \approx 29.32\end{gathered}\] سم

دورة واحدة = 2πr = 70π سم

أربع دورات = \[\begin{gathered}4 \times 70\pi = 280\pi \end{gathered}\]

≈ 879.6 سم

r = 4 سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: ترك الزاوية بالدرجات في l = rθ؛ خلط محيط الدائرة مع طول القوس.

إذا كانت P(x ، y) نقطة على الضلع النهائي لزاوية θ في الوضع القياسي و \[\begin{gathered}r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\end{gathered}\] فإن:

\[\begin{gathered}\sin \theta = y \div r\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos \theta = x \div r\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = y \div x\end{gathered}\] حيث x ≠ 0

• r هي بعد النقطة P عن نقطة الأصل وهي دائمًا موجبة.
• القيم لا تعتمد على اختيار النقطة P على الضلع النهائي.
• المقلوبات: \[\begin{gathered}\csc \theta = r \div y\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\sec \theta = r \div x\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cot \theta = x \div y\end{gathered}\].

لاحظ:

• عندما تكون θ حادة تتفق هذه التعريفات مع نسب المثلث القائم: الجيب = المقابل ÷ الوتر، جيب التمام = المجاور ÷ الوتر، الظل = المقابل ÷ المجاور.

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع r سالبة؛ عكس x و y في النسب؛ نسيان الجذر عند حساب r.

إشارة الدالة تتبع إشارتي x و y في الربع: في الأول كل الدوال موجبة، وفي الثاني sin فقط، وفي الثالث tan فقط، وفي الرابع cos فقط.

• الربع الأول: x > 0 و y > 0 فكل الدوال موجبة.
• الربع الثاني: x < 0 و y > 0 فـ sin موجبة و cos و tan سالبتان.
• الربع الثالث: x < 0 و y < 0 فـ tan موجبة و sin و cos سالبتان.
• الربع الرابع: x > 0 و y < 0 فـ cos موجبة و sin و tan سالبتان.
• المقلوبات تحمل إشارة الدالة الأصلية.

تذكر:

• للحفظ نقول: الأول «الكل» والثاني «sin» والثالث «tan» والرابع «cos» (All – Sin – Tan – Cos) أي الدالة المذكورة هي الموجبة في ذلك الربع.

200° في الربع الثالث.

sin 200° سالبة

cos 200° سالبة

tan 200° موجبة

sin موجبة في الربعين الأول والثاني.

cos سالبة في الربعين الثاني والثالث.

θ في الربع الثاني.

cos موجبة في الربعين الأول والرابع.

tan سالبة في الربعين الثاني والرابع.

θ في الربع الرابع.

130° في الربع الثاني.

sin موجبة و cos سالبة و tan سالبة.

(+) × (−) × (−) = موجبة

تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار tan موجبة في الربع الثاني؛ نسيان تحويل الزاوية الكبيرة أو السالبة قبل تعيين الربع.

للزوايا الربعية نأخذ نقطة على المحور، وللزوايا 30° و 45° و 60° نستخدم قيمًا معروفة.

القيم الربعية:

sin 0° = 0 و cos 0° = 1 و tan 0° = 0

sin 90° = 1 و cos 90° = 0 و tan 90° غير معرفة

\[\begin{gathered}\sin 180{}^{\circ} = 0\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 180{}^{\circ} = -1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 180{}^{\circ} = 0\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin 270{}^{\circ} = -1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 270{}^{\circ} = 0\end{gathered}\] و tan 270° غير معرفة

\[\begin{gathered}\sin 360{}^{\circ} = 0\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 360{}^{\circ} = 1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 360{}^{\circ} = 0\end{gathered}\]

القيم الخاصة:

\[\begin{gathered}\sin 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 30{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin 45{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 45{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{gathered}\] و tan 45° = 1

\[\begin{gathered}\sin 60{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 60{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 60{}^{\circ} = \sqrt{3}\end{gathered}\]

• tan غير معرفة عندما x = 0 أي عند 90° و 270°.
• قيم sin و cos لا تخرج من الفترة [−1 ، 1].

علّل: لماذا |sin θ| ≤ 1؟ لأن |y| ≤ r فالنسبة y ÷ r لا تتجاوز 1 في القيمة المطلقة.

المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: القول إن tan 90° = 0 (غير معرفة)؛
• قلب قيمتي sin و cos عند 30° و 60°؛
• كتابة \[\begin{gathered}\sin ^{2} 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] بدل \(\dfrac{1}{4}\).

المقلوبات: \[\begin{gathered}\csc \theta = \dfrac{1}{\sin } \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\sec \theta = \dfrac{1}{\cos } \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cot \theta = \dfrac{1}{\tan } \theta \end{gathered}\]، والمتطابقات: \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = \sin \theta \div \cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}1 + \cot ^{2} \theta = \csc ^{2} \theta \end{gathered}\]

• sin² θ تعني (sin θ)².
• المتطابقة الأولى تأتي من \[\begin{gathered}x^{2} + y^{2} = r^{2}\end{gathered}\] بالقسمة على r².
• الثانية والثالثة تأتيان من القسمة على cos² θ أو sin² θ.

لاحظ: المتطابقة تتحقق لكل قيمة مسموحة لـ θ، أما المعادلة فتتحقق لقيم محددة فقط.

الطرف الأيمن = 1 − cos² θ

= sin² θ

وهو الطرف الأيسر.

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 2\end{gathered}\]؛
• كتابة \[\begin{gathered}(\sin \theta + \cos \theta )^{2} = 1\end{gathered}\]؛
• استعمال المقلوب مكان الدالة العكسية.

نستعمل المتطابقة \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1\end{gathered}\] أو المثلث القائم ونحدد الإشارة من الربع.

• نحدد الربع ومن ثم إشارات الدوال.
• نبني مثلثًا قائمًا بالقيمة المطلقة للنسبة المعلومة.
• نوجد الضلع الثالث بفيثاغورث ونكتب باقي النسب مع الإشارة.

لاحظ: إذا لم يُعطَ الربع قد يوجد حلان.

في الربع الثاني cos سالبة: \[\begin{gathered}\cos \theta = -\dfrac{4}{5}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = \left(\dfrac{3}{5}\right) \div \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{3}{4}\end{gathered}\]

في الربع الثالث sin سالبة: \[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{12}{13}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = \left(-\dfrac{12}{13}\right) \div \left(-\dfrac{5}{13}\right) = \dfrac{12}{5}\end{gathered}\]

نرسم مثلثًا ضلعاه 2 و 1 ووتره √5.

في الربع الرابع x > 0 و y < 0.

\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{2}{\sqrt{5}} = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\end{gathered}\]

(sin سالبة في الربعين الثالث والرابع: cos سالبة في الثالث وموجبة في الرابع).

تذكر: الأخطاء الشائعة: إهمال إشارة الدالة في الربع؛ استعمال القيمة الموجبة دائمًا؛ نسيان وجود حلين عند غياب الربع.

الزاوية المرجعية لزاوية θ في الوضع القياسي هي الزاوية الحادة بين ضلعها النهائي ومحور السينات.

• الربع الأول: المرجعية = θ.
• الربع الثاني: المرجعية = 180° − θ.
• الربع الثالث: المرجعية = θ − 180°.
• الربع الرابع: المرجعية = 360° − θ.
• قيمة الدالة المثلثية للزاوية = ± قيمتها للزاوية المرجعية، والإشارة بحسب الربع.

تذكر: الزاوية المرجعية دائمًا حادة (بين 0° و 90°).

150° في الربع الثاني.

المرجعية = \[\begin{gathered}180{}^{\circ} - 150{}^{\circ} = 30{}^{\circ}\end{gathered}\]

الربع الثالث.

المرجعية = \[\begin{gathered}225{}^{\circ} - 180{}^{\circ} = 45{}^{\circ}\end{gathered}\]

الربع الرابع.

المرجعية = \[\begin{gathered}360{}^{\circ} - 300{}^{\circ} = 60{}^{\circ}\end{gathered}\]

المرجعية 30° والربع الثاني (sin موجبة).

\[\begin{gathered}\sin 150{}^{\circ} = \sin 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: أخذ المرجعية من محور الصادات؛ نسيان إشارة الدالة في الربع.

• \[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} - \theta ) = -\tan \theta \end{gathered}\].
• وكذلك \[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} + \theta ) = \tan \theta \end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} - \theta ) = -\tan \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} + \theta ) = \tan \theta \end{gathered}\]

• نفرض θ حادة، فالزاوية 180° − θ في الربع الثاني والزاوية 180° + θ في الربع الثالث.
• نحتفظ باسم الدالة (لا تتحول) ونحدد الإشارة من الربع.

لاحظ: عند الأعداد 180° و 360° (مضاعفات 180°) لا يتغير اسم الدالة.

تذكر: الأخطاء الشائعة: قلب اسم الدالة هنا (لا يتغير عند 180°)؛ إهمال إشارة الربع.

\[\begin{gathered}\sin (360{}^{\circ} - \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (360{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (360{}^{\circ} - \theta ) = -\tan \theta \end{gathered}\]، وهي نفسها لـ (−θ).

\[\begin{gathered}\sin (-\theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (-\theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (-\theta ) = -\tan \theta \end{gathered}\]

• الزاوية 360° − θ في الربع الرابع ويطابق ضلعها النهائي الزاوية −θ.
• sin و tan فرديتان و cos زوجية.

علّل:

• لماذا \[\begin{gathered}\cos (-\theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]؟
• لأن النقطة على ضلع (−θ) هي (x ، −y) فتبقى x ثابتة، و cos = x ÷ r.

المجموع = 0

الناتج = \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن \[\begin{gathered}\cos (-\theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]؛ الخلط بين الدالة الفردية والزوجية.

• \[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\].
• وكذلك \[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} + \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} + \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\]

• عند 90° و 270° (مضاعفات فردية لـ 90°) يتحول اسم الدالة إلى متممتها.
• نحدد الإشارة من الربع الذي تقع فيه الزاوية الكبيرة (بافتراض θ حادة).

لاحظ: الزاويتان θ و 90° − θ متتامتان، وهذا هو سر قولنا: جيب زاوية = جيب تمام متممتها.

الفرق = \[\begin{gathered}\cos 30{}^{\circ} - \cos 30{}^{\circ} = 0\end{gathered}\]

أو \[\begin{gathered}120{}^{\circ} = 180{}^{\circ} - 60{}^{\circ}\end{gathered}\] ومنه \[\begin{gathered}\tan 120{}^{\circ} = -\tan 60{}^{\circ} = -\sqrt{3}\end{gathered}\] (نفس القيمة).

تذكر: الأخطاء الشائعة: عدم تغيير اسم الدالة عند 90° و 270°؛ الخطأ في الإشارة لأن θ ليست في الربع الأول.

• \[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (270{}^{\circ} - \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\].
• وكذلك \[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (270{}^{\circ} + \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (270{}^{\circ} - \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (270{}^{\circ} + \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\]

• الزاوية 270° − θ في الربع الثالث والزاوية 270° + θ في الربع الرابع.
• الاسم يتحول إلى المتمم لأن 270° مضاعف فردي للعدد 90°.

لاحظ: لا نحتاج لحفظها كلها: نكتب الزاوية بدلالة 90° أو 180° ونحدد الربع.

بالطريقة الأولى: \[\begin{gathered}\sin 240{}^{\circ} = -\sin 60{}^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]

بالطريقة الثانية: \[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} - 30{}^{\circ}) = -\cos 30{}^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]

القيمتان متساويتان.

الزاوية 270° − θ في الربع الثالث حيث tan موجبة.

اسم الدالة يتحول إلى cot.

\[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: خلط 270° − θ مع 270° + θ؛ نسيان تحويل الاسم.

نحوّل كل زاوية إلى دالة للزاوية θ بالقواعد السابقة، ثم نبسط.

• الخطوة 1: نحدد الربع.
• الخطوة 2: هل الأساس \(\dfrac{90{}^{\circ}}{270}{}^{\circ}\) (يتغير الاسم) أم \(\dfrac{180{}^{\circ}}{360}{}^{\circ}\) (لا يتغير)؟
• الخطوة 3: نضع الإشارة المناسبة.
• الخطوة 4: نبسط المقدار.
• في المثلث ABC: \[\begin{gathered}A + B + C = 180{}^{\circ}\end{gathered}\] فتنفعنا العلاقات مثل \[\begin{gathered}\sin (B + C) = \sin A\end{gathered}\].

تذكر: نتحقق من النتيجة بتعويض قيمة بسيطة مثل θ = 30° عند الشك.

الناتج = sin θ × cos θ × tan θ

= sin θ × cos θ × (sin θ ÷ cos θ)

= sin² θ

المجموع = 0

الناتج = 1

\[\begin{gathered}\sin 120{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 330{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos 120{}^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\sin 330{}^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\]

= \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\)

= 1

تذكر: الأخطاء الشائعة: تبسيط الإشارات بترتيب خاطئ؛ استخدام قاعدة 90° مكان 180°.

دالة الجيب مجالها ℝ ومداها [−1 ، 1] وهي دورية دورتها 2π.

• جدول قيم أساسي: x = 0 و \(\dfrac{\pi}{2}\) و π و \(\dfrac{3\pi}{2}\) و 2π تعطي y = 0 و 1 و 0 و −1 و 0.
• القيمة العظمى 1 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\) والصغرى −1 عند \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).
• أصفار الدالة: x = nπ.
• الدالة فردية: \[\begin{gathered}\sin (-x) = -\sin x\end{gathered}\] فالمنحنى متماثل حول نقطة الأصل.
• يتكرر المنحنى كل 2π.

لاحظ: رسم منحنى الجيب على الفترة [0 ، 2π] يكفي، ثم نكرره في الاتجاهين.

العظمى = 1 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\)

الصغرى = −1 عند \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)

الأصفار عند x = 0 و π و 2π

يقطعه (أو يمسه عند الطرفين) في 3 نقاط.

تذكر: الأخطاء الشائعة: رسم المنحنى بقيم تتجاوز 1؛ نسيان أن المنحنى يبدأ من نقطة الأصل صاعدًا.

دالة جيب التمام مجالها ℝ ومداها [−1 ، 1] ودورتها 2π وهي زوجية.

• جدول القيم: x = 0 و \(\dfrac{\pi}{2}\) و π و \(\dfrac{3\pi}{2}\) و 2π تعطي y = 1 و 0 و −1 و 0 و 1.
• القيمة العظمى 1 عند x = 0 و 2π والصغرى −1 عند x = π.
• المنحنى متماثل حول محور الصادات لأن \[\begin{gathered}\cos (-x) = \cos x\end{gathered}\].
• منحنى cos x هو منحنى sin x بعد انسحابه \(\dfrac{\pi}{2}\) إلى اليسار.

لاحظ: \[\begin{gathered}\cos x = \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\end{gathered}\] وهذا يفسر التشابه بين الشكلين.

cos x = 0 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\) و \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)

الدالة متناقصة على الفترة [0 ، π].

0.5 < 1 فإن cos 0.5 > cos 1.

تذكر: الأخطاء الشائعة: بدء منحنى cos من الصفر؛ الخلط بين منحنيي sin و cos.

دالة الظل مجالها ℝ \(- {\dfrac{\pi}{2} + n\pi }\) ومداها ℝ ودورتها π، وهي فردية.

• أصفارها: x = nπ.
• خطوط التقارب الرأسية: \[\begin{gathered}x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \end{gathered}\].
• متزايدة على كل فترة من فتراتها.
• \[\begin{gathered}\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1\end{gathered}\].

علّل:

• لماذا لا تعرّف tan عند \(\dfrac{\pi}{2}\)؟
• لأن \[\begin{gathered}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\end{gathered}\] ولا يجوز القسمة على صفر.

الخطوط \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) و \(x = \dfrac{\pi}{2}\)

دورة tan(bx) هي π ÷ |b|

\(\pi \div 2 = \dfrac{\pi}{2}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن دورة tan هي 2π؛ نسيان خطوط التقارب.

للدالة \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx}\end{gathered}\] (أو a cos bx): السعة |a| والدورة 2π ÷ |b| والمدى [−|a| ، |a|].

السعة = |a|

الدورة = 2π ÷ |b|

• |a| نصف المسافة بين القيمة العظمى والصغرى.
• b يضغط المنحنى أفقيًا أو يمدّه.
• الإضافة c في \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx} + c\end{gathered}\] تنقل المنحنى رأسيًا فيصبح المدى [c − |a| ، c + |a|].
• إذا كان a سالبًا انعكس المنحنى حول محور السينات.

لاحظ: عدد الدورات في الفترة [0 ، 2π] يساوي |b| للدالة a sin bx.

السعة = 3

الدورة = 2π ÷ 2 = π

المدى = [−3 ، 3]

السعة = |−2| = 2

الدورة = \[\begin{gathered}2\pi \div \left(\dfrac{1}{2}\right) = 4\pi \end{gathered}\]

المدى = [−2 ، 2]

السعة = 1

الدورة = \(\dfrac{2\pi}{3}\)

المدى = [0 ، 2]

العظمى = \[\begin{gathered}2 \times 1 - 1 = 1\end{gathered}\]

الصغرى = \[\begin{gathered}2 \times (-1) - 1 = -3\end{gathered}\]

المدى = [−3 ، 1]

تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة الدورة π ÷ b للجيب (الصحيح 2π ÷ b)؛ نسيان القيمة المطلقة للسعة؛ التعويض بالراديان وبالدرجات معًا.

تتقاطع الدالة المثلثية مع مستقيم أفقي في نقاط تمثل حلول المعادلة المناظرة.

• حلول sin x = k على [0 ، 2π]: نقطتان إذا |k| < 1، ونقطة واحدة إذا k = ±1، ولا حل إذا |k| > 1.
• نرسم الخط y = k ونعدّ نقاط التقاطع.
• نحصل على القيم بالزاوية المرجعية ثم نستعمل التماثل في المنحنى.

لاحظ: منحنى الجيب متماثل حول الخط \(x = \dfrac{\pi}{2}\) على الفترة [0 ، π] فيكون الحلان x و π − x.

الخط \(y = \dfrac{1}{2}\) يقطع المنحنى في نقطتين.

الزاوية المرجعية \(\dfrac{\pi}{6}\).

\(x = \dfrac{\pi}{6}\) أو \[\begin{gathered}x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\end{gathered}\]

الخط \(y = \dfrac{1}{2}\) يقطع المنحنى في نقطتين.

\(x = \dfrac{\pi}{3}\) أو \[\begin{gathered}x = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}\end{gathered}\]

المدى [−1 ، 1].

2 خارج المدى فلا يوجد حل.

تذكر: الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بحل واحد؛ نسيان أن المدى [−1 ، 1] يحدد وجود الحل.

تُنمذج الظواهر الدورية (المد والجزر، عجلة دوارة، موجات) بدوال الجيب وجيب التمام.

• نحدد السعة والدورة ومتوسط القيمة.
• نعوّض الزمن ونحل معادلة أو متباينة مثلثية.
• نحول الإجابة إلى المعنى العملي (ساعات، أمتار).

لاحظ: القيمة المتوسطة = c والسعة = |a| في الصيغة \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx} + c\end{gathered}\].

السعة = 3 والمتوسط 5.

أقصى عمق = 5 + 3 = 8 م

أدنى عمق = 5 − 3 = 2 م

الدورة = \[\begin{gathered}2\pi \div \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 12\end{gathered}\] ساعة

\(5 + 3 \sin \left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge 6.5\)

\(\sin \left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge 0.5\)

\(\dfrac{\dfrac{\dfrac{\pi}{6} \le \pi t}{6} \le 5\pi}{6}\)

1 ≤ t ≤ 5

يكون العمق 6.5 م أو أكثر بين الساعة 1 والساعة 5.

السعة = نصف القطر = 10 م

الدورة = 8 دقائق

الارتفاع الكلي بين أعلى وأدنى نقطة = 20 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين السعة والمدى؛ تعويض الزمن بوحدة مختلفة عن وحدة الدورة.

إذا عُلمت نسبة مثلثية موجبة وتساوي قيمة معروفة نستخرج الزاوية الحادة من الجدول أو بالآلة الحاسبة بالدالة العكسية sin⁻¹ أو cos⁻¹ أو tan⁻¹.

• sin⁻¹ تعني الزاوية التي جيبها هذا العدد (وليست \(\dfrac{1}{\sin }\)).
• نضبط الآلة على النظام الصحيح: درجات (DEG) أو راديان (RAD).
• المدى المعتاد للنتيجة: sin⁻¹ و tan⁻¹ بين −90° و 90°، و cos⁻¹ بين 0° و 180°.

تذكر: تأكد من وضع الآلة على الدرجات إذا كان المطلوب بالدرجات.

تذكر: الأخطاء الشائعة: تشغيل الآلة على الراديان؛ الخلط بين sin⁻¹ و \(\dfrac{1}{\sin }\).

نوجد الزاوية المرجعية من القيمة المطلقة للنسبة، ثم نعيّن الأرباع حسب الإشارة، ونحسب الزاوية في كل ربع.

• موجبة sin: الربعان الأول والثاني: θ = α أو 180° − α.
• موجبة cos: الأول والرابع: θ = α أو 360° − α.
• موجبة tan: الأول والثالث: θ = α أو 180° + α.
• سالبة sin: الثالث والرابع: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} + \alpha \end{gathered}\] أو 360° − α.
• سالبة cos: الثاني والثالث: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - \alpha \end{gathered}\] أو 180° + α.
• سالبة tan: الثاني والرابع: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - \alpha \end{gathered}\] أو 360° − α.

لاحظ: α هي الزاوية المرجعية المحسوبة من القيمة المطلقة للنسبة.

المرجعية α = 30°

sin موجبة فالربعان الأول والثاني.

θ = 30° أو \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - 30{}^{\circ} = 150{}^{\circ}\end{gathered}\]

المرجعية 45°

cos سالبة فالربعان الثاني والثالث.

\[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - 45{}^{\circ} = 135{}^{\circ}\end{gathered}\] أو \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} + 45{}^{\circ} = 225{}^{\circ}\end{gathered}\]

المرجعية 45°

tan سالبة فالربعان الثاني والرابع.

θ = 135° أو θ = 315°

θ ≈ 36.87° أو \[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} - 36.87{}^{\circ} = 143.13{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} - 75.52{}^{\circ} = 104.48{}^{\circ}\end{gathered}\] أو \[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} + 75.52{}^{\circ} = 255.52{}^{\circ}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بحل واحد؛ استعمال المرجعية دون تحويلها إلى الربع؛ إدخال الإشارة السالبة في المرجعية.

نعزل الدالة المثلثية ثم نحل بالطريقة السابقة.

• نحول المعادلة إلى الصورة sin θ = k أو cos θ = k أو tan θ = k.
• إذا كانت المعادلة من الدرجة الثانية في الدالة المثلثية نحلل أو نستعمل القانون.
• نرفض القيم خارج المدى [−1 ، 1] لـ sin و cos.

لاحظ: نحل في الفترة المعطاة، وإذا لم تُحدد نكتب الحلول العامة (θ + 360° n).

المرجعية 60°

θ = 60° أو θ = 120°

tan موجبة فالأول والثالث.

θ ≈ 63.43° أو θ ≈ 243.43°

\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] أو sin θ = 1

sin θ = 1 فإن θ = 90°

\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] فالمرجعية 30° في الربعين الثالث والرابع: θ = 210° أو 330°

الحل: 90° أو 210° أو 330°

tan θ = √3: θ = 60° أو 240°

tan θ = −√3: θ = 120° أو 300°

الحل: 60° و 120° و 240° و 300°

\(-\dfrac{3}{2}\) < −1 فهي خارج مدى cos.

لا يوجد حل.

تذكر: الأخطاء الشائعة: القسمة على sin θ وفقدان جذور؛ نسيان رفض القيم خارج المدى.

نطبق الطريقة نفسها بالراديان (π بدل 180°) أو ننطلق من نقطة معلومة على الضلع النهائي.

• بالراديان: الربع الثاني π − α والثالث π + α والرابع 2π − α.
• من نقطة P(x ، y): المرجعية \[\begin{gathered}\alpha = \tan ^{-1}(|y| \div |x|)\end{gathered}\] ثم نعيّن الربع من إشارتي x و y.

لاحظ: إذا كانت النقطة على محور فالزاوية ربعية مباشرة.

المرجعية \(\dfrac{\pi}{6}\)

الربعان الأول والثاني.

\(x = \dfrac{\pi}{6}\) أو \(x = \dfrac{5\pi}{6}\)

x < 0 و y > 0 فالنقطة في الربع الثاني.

\[\begin{gathered}\alpha = \tan ^{-1}(4 \div 3) \approx 53.13{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - 53.13{}^{\circ} = 126.87{}^{\circ}\end{gathered}\]

التحقق: \[\begin{gathered}\cos \theta = -\dfrac{3}{5} = -0.6\end{gathered}\] وهذا يوافق \[\begin{gathered}\cos 126.87{}^{\circ} \approx -0.6\end{gathered}\].

x > 0 و y < 0 فالربع الرابع.

\[\begin{gathered}\alpha = \tan ^{-1}\left(\dfrac{2}{2}\right) = 45{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\theta = 360{}^{\circ} - 45{}^{\circ} = 315{}^{\circ}\end{gathered}\]

المرجعية \(\dfrac{\pi}{3}\)

cos سالبة فالربعان الثاني والثالث.

\[\begin{gathered}x = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}\end{gathered}\] أو \[\begin{gathered}x = \pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: خلط وحدات الراديان والدرجات في الإجابة؛ وضع الزاوية في الربع الخطأ بإهمال إشارتي الإحداثيين.