الدرس 1-1: مقدمة عن الأعداد المركبة

1-1-1 الحاجة إلى العدد التخيلي

العدد التخيلي i هو العدد الذي مربعه يساوي −1.

i² = −1

• درست أنظمة الأعداد: الطبيعية ثم الصحيحة ثم النسبية ثم الحقيقية، وكل نظام وُسِّع ليحل معادلات لم يحلها النظام السابق.
• المعادلة x² + 1 = 0 لا حل لها في الأعداد الحقيقية، لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا.
• منحنى الدالة y = x² + 1 لا يقطع محور السينات، وهذا يعني أنه لا يوجد حل حقيقي.
• لذلك نحتاج مجموعة جديدة من الأعداد تُسمى مجموعة الأعداد المركبة.
• يُكتب الرمز في كتاب الطالب ت، ونكتبه هنا i حتى لا تختلط الصيغ.

للجذر التربيعي للعدد السالب نستخدم:

\[\begin{gathered}\sqrt{-a} = \sqrt{a} \times i\end{gathered}\] حيث a > 0

لاحظ: الأعداد على الصورة bi حيث b حقيقي غير صفر تُسمى أعدادًا تخيلية بحتة، مثل 3i و −5i.

تذكر: عند ضرب جذرين لعددين سالبين نحوّل كلًّا منهما إلى i أولًا، ولا نضرب ما تحت الجذرين مباشرة.

الناتج = \[\begin{gathered}2i \times 3i = 6i^{2}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}6i^{2} = 6 \times (-1) = -6\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6\end{gathered}\] وهذا خطأ لأن القاعدة \[\begin{gathered}\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{\,\text{ab}}\end{gathered}\] لا تصح مع الأعداد السالبة؛
• ونسيان أن i² = −1 وليس 1.

1-1-2 القوى الصحيحة للعدد i

قوى i تتكرر كل أربع قوى: i⁴ = 1.

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

• بعد i⁴ تعود القيم من البداية: i⁵ = i و i⁶ = −1 وهكذا.
• لإيجاد iⁿ نقسم n على 4 ونأخذ الباقي r.
• إذا كان الباقي 0 فالناتج 1، وإذا كان 1 فالناتج i، وإذا كان 2 فالناتج −1، وإذا كان 3 فالناتج −i.
• للأسس السالبة نضيف مضاعفًا مناسبًا للعدد 4 حتى يصبح الأس موجبًا، أو نستخدم \(\dfrac{1}{i} = -i\).

لاحظ: مجموع أي أربع قوى متتالية لـ i يساوي صفرًا: \[\begin{gathered}i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0\end{gathered}\].

علّل: لماذا i⁴ⁿ = 1 لكل عدد صحيح n؟ لأن i⁴ = 1 و \[\begin{gathered}(i^{4})^{n} = 1^{n} = 1\end{gathered}\].

7 ÷ 4 يعطي خارج 1 وباقي 3.

i⁷ = i³

i⁷ = −i

\[\begin{gathered}2026 \div 4 = 506\end{gathered}\] والباقي 2.

i²⁰²⁶ = i²

i²⁰²⁶ = −1

نضيف 8 إلى الأس: −5 + 8 = 3.

\[\begin{gathered}i^{-5} = i^{3} = -i\end{gathered}\]

للتحقق: \[\begin{gathered}i^{-5} = 1 \div i^{5} = 1 \div i = -i\end{gathered}\]

المجموع = \[\begin{gathered}i - 1 - i = -1\end{gathered}\]

إذن \[\begin{gathered}1 \div i^{7} = -(-i) = i\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: استخدام خارج القسمة بدل الباقي؛ الخطأ في \(\dfrac{1}{i}\) (الصحيح أنها −i وليست i)؛ الخلط بين i³ = −i و i³ = i.

1-1-3 مفهوم العدد المركب

العدد المركب هو عدد يُكتب على الصورة z = a + bi حيث a و b عددان حقيقيان.

• a هو الجزء الحقيقي للعدد z ويُكتب Re(z).
• b هو الجزء التخيلي للعدد z ويُكتب Im(z).
• إذا كان b = 0 فالعدد حقيقي (مثل 7 = 7 + 0i).
• إذا كان a = 0 و b ≠ 0 فالعدد تخيلي بحت (مثل −5i).
• الأعداد الحقيقية جزء من الأعداد المركبة، وكذلك الأعداد التخيلية.
• الجزء التخيلي هو العدد b نفسه وليس bi.

لاحظ: مجموعة الأعداد الحقيقية ⊂ مجموعة الأعداد المركبة، لأن كل عدد حقيقي a يمكن كتابته a + 0i.

3 − 4i: الحقيقي 3 والتخيلي −4

7: الحقيقي 7 والتخيلي 0

−5i: الحقيقي 0 والتخيلي −5

العدد = 2 + 3i

الجزء الحقيقي 2 والتخيلي 3.

العدد = 5 + 5i

هو عدد مركب غير حقيقي وغير تخيلي بحت لأن جزأيه غير صفريين.

0: حقيقي (وهو أيضًا صفر)

4i: تخيلي بحت

6: حقيقي

1 − i: مركب غير حقيقي

تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن الجزء التخيلي للعدد 3 − 4i هو −4i (الصحيح −4)؛ نسيان أن العدد الحقيقي يُعد مركبًا جزؤه التخيلي صفر.

1-1-4 تساوي عددين مركبين

يتساوى العددان a + bi و c + di إذا وفقط إذا كان a = c و b = d.

• نساوي الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا.
• من المعادلة المركبة الواحدة نحصل على معادلتين حقيقيتين.
• إذا كان العدد المركب يساوي صفرًا فجزآه الحقيقي والتخيلي كلاهما صفر.

لاحظ: قبل المساواة نُبسّط كل طرف إلى الصورة a + bi، فنحوّل قوى i إلى 1 أو i أو −1 أو −i.

بمساواة الجزأين الحقيقيين: x = 3

بمساواة الجزأين التخيليين: y = −2

بطرح المعادلة الثانية من الأولى: 3y = 6

y = 2

\[\begin{gathered}x = 1 + y = 3\end{gathered}\]

2x − 1 = 5 ومنه x = 3

y + 3 = −2 ومنه y = −5

i⁶ = −1 فيكون 2i⁶ = −2

الطرف الأيمن = −2 + i

x = −2 و y = 1

3x − 6 = 0 ومنه x = 2

y + 4 = 0 ومنه y = −4

تذكر: الأخطاء الشائعة: مساواة الجزء الحقيقي بالجزء التخيلي؛ إدخال i في المعادلة الثانية (الجزء التخيلي هو معامل i فقط).

1-1-5 جمع الأعداد المركبة وطرحها

\[\begin{gathered}(a + \,\text{bi}) \pm (c + \,\text{di}) = (a \pm c) + (b \pm d)i\end{gathered}\].

• نجمع (أو نطرح) الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا.
• خاصيتا الإبدال والتجميع صحيحتان.
• العدد المعاكس للعدد a + bi هو −a − bi.
• عند الطرح نوزّع الإشارة السالبة على الجزأين.

لاحظ: العدد المركب مع معاكسه يعطي صفرًا، والصفر هو المحايد الجمعي.

الحقيقي: 3 + 5 = 8

التخيلي: 2 − 7 = −5

الناتج = 8 − 5i

الحقيقي: 4 − 2 = 2

التخيلي: −1 − 3 = −4

الناتج = 2 − 4i

الحقيقي: \[\begin{gathered}\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 2\end{gathered}\]

التخيلي: 3 − 1 = 2

الناتج = 2 + 2i

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: عدم توزيع الإشارة السالبة عند الطرح \[\begin{gathered}(-(2 + 3i) = -2 - 3i)\end{gathered}\]؛
• جمع جزء حقيقي مع جزء تخيلي.

1-1-6 ضرب الأعداد المركبة

\[\begin{gathered}(a + \,\text{bi})(c + \,\text{di}) = (\,\text{ac} - \,\text{bd}) + (\,\text{ad} + \,\text{bc})i\end{gathered}\].

• نضرب مثل ضرب المقدارين الجبريين ثم نستبدل i² بالقيمة −1.
• نجمع الحدود الحقيقية معًا والحدود التي فيها i معًا.
• حاصل ضرب العدد في مرافقه عدد حقيقي: \[\begin{gathered}(a + \,\text{bi})(a - \,\text{bi}) = a^{2} + b^{2}\end{gathered}\].
• المربع الكامل: \[\begin{gathered}(a + \,\text{bi})^{2} = a^{2} - b^{2} + 2\,\text{abi}\end{gathered}\].

لاحظ: \[\begin{gathered}(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\end{gathered}\] ، وهي نتيجة مفيدة في رفع الأعداد إلى قوى أعلى.

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان الحد الأوسط في المربع (a + bi)² ؛ إبقاء i² دون استبدالها بـ −1.

1-1-7 المرافق وقسمة الأعداد المركبة

مرافق العدد a + bi هو العدد a − bi، ولقسمة عددين نضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

• مجموع العدد ومرافقه = 2a وهو حقيقي.
• حاصل ضرب العدد ومرافقه = a² + b² وهو حقيقي موجب.
• المعكوس الضربي للعدد z هو \(\dfrac{1}{z}\) ونحصل عليه بضرب البسط والمقام في المرافق.
• ناتج القسمة نكتبه بالصورة a + bi بعد فصل الجزأين.

علّل: لماذا نضرب في مرافق المقام؟ لأن المقام × مرافقه = عدد حقيقي، فيختفي i من المقام.

نضرب في مرافق المقام (1 − 2i):

\[\begin{gathered}(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^{2} = 11 - 2i\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5\end{gathered}\]

الناتج = \(\dfrac{11}{5} - \left(\dfrac{2}{5}\right)i\)

المقام = 9 + 16 = 25

المعكوس = \(\dfrac{3}{25} + \left(\dfrac{4}{25}\right)i\)

نضرب البسط والمقام في (2 − i):

البسط: \[\begin{gathered}(2 - i)^{2} = 4 - 4i + i^{2} = 3 - 4i\end{gathered}\]

المقام: 4 + 1 = 5

الناتج = \(\dfrac{3}{5} - \left(\dfrac{4}{5}\right)i\)

نضرب في (1 + i):

البسط: \[\begin{gathered}2 + 2i + 4i + 4i^{2} = -2 + 6i\end{gathered}\]

المقام: 1 + 1 = 2

z = −1 + 3i

بالجمع: 2x = 4 ومنه x = 2

y = −1

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: ضرب البسط فقط في المرافق؛
• كتابة المرافق بتغيير إشارة الجزء الحقيقي بدل التخيلي؛
• نسيان أن المقام الجديد a² + b² دون إشارة سالبة.