الوحدة الأولى: الجبر والعلاقات والدوال — الأعداد المركبة والمعادلة التربيعية وإشارة الدالة ومتباينات الدرجة الثانية

1-1-1 الحاجة إلى العدد التخيلي

العدد التخيلي i هو العدد الذي مربعه يساوي −1.

i² = −1

• درست أنظمة الأعداد: الطبيعية ثم الصحيحة ثم النسبية ثم الحقيقية، وكل نظام وُسِّع ليحل معادلات لم يحلها النظام السابق.
• المعادلة x² + 1 = 0 لا حل لها في الأعداد الحقيقية، لأن مربع أي عدد حقيقي لا يكون سالبًا.
• منحنى الدالة y = x² + 1 لا يقطع محور السينات، وهذا يعني أنه لا يوجد حل حقيقي.
• لذلك نحتاج مجموعة جديدة من الأعداد تُسمى مجموعة الأعداد المركبة.
• يُكتب الرمز في كتاب الطالب ت، ونكتبه هنا i حتى لا تختلط الصيغ.

للجذر التربيعي للعدد السالب نستخدم:

\[\begin{gathered}\sqrt{-a} = \sqrt{a} \times i\end{gathered}\] حيث a > 0

لاحظ: الأعداد على الصورة bi حيث b حقيقي غير صفر تُسمى أعدادًا تخيلية بحتة، مثل 3i و −5i.

تذكر: عند ضرب جذرين لعددين سالبين نحوّل كلًّا منهما إلى i أولًا، ولا نضرب ما تحت الجذرين مباشرة.

الناتج = \[\begin{gathered}2i \times 3i = 6i^{2}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}6i^{2} = 6 \times (-1) = -6\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\sqrt{-4} \times \sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6\end{gathered}\] وهذا خطأ لأن القاعدة \[\begin{gathered}\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{\,\text{ab}}\end{gathered}\] لا تصح مع الأعداد السالبة؛
• ونسيان أن i² = −1 وليس 1.

1-1-2 القوى الصحيحة للعدد i

قوى i تتكرر كل أربع قوى: i⁴ = 1.

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

• بعد i⁴ تعود القيم من البداية: i⁵ = i و i⁶ = −1 وهكذا.
• لإيجاد iⁿ نقسم n على 4 ونأخذ الباقي r.
• إذا كان الباقي 0 فالناتج 1، وإذا كان 1 فالناتج i، وإذا كان 2 فالناتج −1، وإذا كان 3 فالناتج −i.
• للأسس السالبة نضيف مضاعفًا مناسبًا للعدد 4 حتى يصبح الأس موجبًا، أو نستخدم \(\dfrac{1}{i} = -i\).

لاحظ: مجموع أي أربع قوى متتالية لـ i يساوي صفرًا: \[\begin{gathered}i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0\end{gathered}\].

علّل: لماذا i⁴ⁿ = 1 لكل عدد صحيح n؟ لأن i⁴ = 1 و \[\begin{gathered}(i^{4})^{n} = 1^{n} = 1\end{gathered}\].

7 ÷ 4 يعطي خارج 1 وباقي 3.

i⁷ = i³

i⁷ = −i

\[\begin{gathered}2026 \div 4 = 506\end{gathered}\] والباقي 2.

i²⁰²⁶ = i²

i²⁰²⁶ = −1

نضيف 8 إلى الأس: −5 + 8 = 3.

\[\begin{gathered}i^{-5} = i^{3} = -i\end{gathered}\]

للتحقق: \[\begin{gathered}i^{-5} = 1 \div i^{5} = 1 \div i = -i\end{gathered}\]

المجموع = \[\begin{gathered}i - 1 - i = -1\end{gathered}\]

إذن \[\begin{gathered}1 \div i^{7} = -(-i) = i\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: استخدام خارج القسمة بدل الباقي؛ الخطأ في \(\dfrac{1}{i}\) (الصحيح أنها −i وليست i)؛ الخلط بين i³ = −i و i³ = i.

1-1-3 مفهوم العدد المركب

العدد المركب هو عدد يُكتب على الصورة z = a + bi حيث a و b عددان حقيقيان.

• a هو الجزء الحقيقي للعدد z ويُكتب Re(z).
• b هو الجزء التخيلي للعدد z ويُكتب Im(z).
• إذا كان b = 0 فالعدد حقيقي (مثل 7 = 7 + 0i).
• إذا كان a = 0 و b ≠ 0 فالعدد تخيلي بحت (مثل −5i).
• الأعداد الحقيقية جزء من الأعداد المركبة، وكذلك الأعداد التخيلية.
• الجزء التخيلي هو العدد b نفسه وليس bi.

لاحظ: مجموعة الأعداد الحقيقية ⊂ مجموعة الأعداد المركبة، لأن كل عدد حقيقي a يمكن كتابته a + 0i.

3 − 4i: الحقيقي 3 والتخيلي −4

7: الحقيقي 7 والتخيلي 0

−5i: الحقيقي 0 والتخيلي −5

العدد = 2 + 3i

الجزء الحقيقي 2 والتخيلي 3.

العدد = 5 + 5i

هو عدد مركب غير حقيقي وغير تخيلي بحت لأن جزأيه غير صفريين.

0: حقيقي (وهو أيضًا صفر)

4i: تخيلي بحت

6: حقيقي

1 − i: مركب غير حقيقي

تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن الجزء التخيلي للعدد 3 − 4i هو −4i (الصحيح −4)؛ نسيان أن العدد الحقيقي يُعد مركبًا جزؤه التخيلي صفر.

1-1-4 تساوي عددين مركبين

يتساوى العددان a + bi و c + di إذا وفقط إذا كان a = c و b = d.

• نساوي الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا.
• من المعادلة المركبة الواحدة نحصل على معادلتين حقيقيتين.
• إذا كان العدد المركب يساوي صفرًا فجزآه الحقيقي والتخيلي كلاهما صفر.

لاحظ: قبل المساواة نُبسّط كل طرف إلى الصورة a + bi، فنحوّل قوى i إلى 1 أو i أو −1 أو −i.

بمساواة الجزأين الحقيقيين: x = 3

بمساواة الجزأين التخيليين: y = −2

بطرح المعادلة الثانية من الأولى: 3y = 6

y = 2

\[\begin{gathered}x = 1 + y = 3\end{gathered}\]

2x − 1 = 5 ومنه x = 3

y + 3 = −2 ومنه y = −5

i⁶ = −1 فيكون 2i⁶ = −2

الطرف الأيمن = −2 + i

x = −2 و y = 1

3x − 6 = 0 ومنه x = 2

y + 4 = 0 ومنه y = −4

تذكر: الأخطاء الشائعة: مساواة الجزء الحقيقي بالجزء التخيلي؛ إدخال i في المعادلة الثانية (الجزء التخيلي هو معامل i فقط).

1-1-5 جمع الأعداد المركبة وطرحها

\[\begin{gathered}(a + \,\text{bi}) \pm (c + \,\text{di}) = (a \pm c) + (b \pm d)i\end{gathered}\].

• نجمع (أو نطرح) الأجزاء الحقيقية معًا والأجزاء التخيلية معًا.
• خاصيتا الإبدال والتجميع صحيحتان.
• العدد المعاكس للعدد a + bi هو −a − bi.
• عند الطرح نوزّع الإشارة السالبة على الجزأين.

لاحظ: العدد المركب مع معاكسه يعطي صفرًا، والصفر هو المحايد الجمعي.

الحقيقي: 3 + 5 = 8

التخيلي: 2 − 7 = −5

الناتج = 8 − 5i

الحقيقي: 4 − 2 = 2

التخيلي: −1 − 3 = −4

الناتج = 2 − 4i

الحقيقي: \[\begin{gathered}\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 2\end{gathered}\]

التخيلي: 3 − 1 = 2

الناتج = 2 + 2i

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: عدم توزيع الإشارة السالبة عند الطرح \[\begin{gathered}(-(2 + 3i) = -2 - 3i)\end{gathered}\]؛
• جمع جزء حقيقي مع جزء تخيلي.

1-1-6 ضرب الأعداد المركبة

\[\begin{gathered}(a + \,\text{bi})(c + \,\text{di}) = (\,\text{ac} - \,\text{bd}) + (\,\text{ad} + \,\text{bc})i\end{gathered}\].

• نضرب مثل ضرب المقدارين الجبريين ثم نستبدل i² بالقيمة −1.
• نجمع الحدود الحقيقية معًا والحدود التي فيها i معًا.
• حاصل ضرب العدد في مرافقه عدد حقيقي: \[\begin{gathered}(a + \,\text{bi})(a - \,\text{bi}) = a^{2} + b^{2}\end{gathered}\].
• المربع الكامل: \[\begin{gathered}(a + \,\text{bi})^{2} = a^{2} - b^{2} + 2\,\text{abi}\end{gathered}\].

لاحظ: \[\begin{gathered}(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i\end{gathered}\] ، وهي نتيجة مفيدة في رفع الأعداد إلى قوى أعلى.

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان الحد الأوسط في المربع (a + bi)² ؛ إبقاء i² دون استبدالها بـ −1.

1-1-7 المرافق وقسمة الأعداد المركبة

مرافق العدد a + bi هو العدد a − bi، ولقسمة عددين نضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

• مجموع العدد ومرافقه = 2a وهو حقيقي.
• حاصل ضرب العدد ومرافقه = a² + b² وهو حقيقي موجب.
• المعكوس الضربي للعدد z هو \(\dfrac{1}{z}\) ونحصل عليه بضرب البسط والمقام في المرافق.
• ناتج القسمة نكتبه بالصورة a + bi بعد فصل الجزأين.

علّل: لماذا نضرب في مرافق المقام؟ لأن المقام × مرافقه = عدد حقيقي، فيختفي i من المقام.

نضرب في مرافق المقام (1 − 2i):

\[\begin{gathered}(3 + 4i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 4i - 8i^{2} = 11 - 2i\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5\end{gathered}\]

الناتج = \(\dfrac{11}{5} - \left(\dfrac{2}{5}\right)i\)

المقام = 9 + 16 = 25

المعكوس = \(\dfrac{3}{25} + \left(\dfrac{4}{25}\right)i\)

نضرب البسط والمقام في (2 − i):

البسط: \[\begin{gathered}(2 - i)^{2} = 4 - 4i + i^{2} = 3 - 4i\end{gathered}\]

المقام: 4 + 1 = 5

الناتج = \(\dfrac{3}{5} - \left(\dfrac{4}{5}\right)i\)

نضرب في (1 + i):

البسط: \[\begin{gathered}2 + 2i + 4i + 4i^{2} = -2 + 6i\end{gathered}\]

المقام: 1 + 1 = 2

z = −1 + 3i

بالجمع: 2x = 4 ومنه x = 2

y = −1

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: ضرب البسط فقط في المرافق؛
• كتابة المرافق بتغيير إشارة الجزء الحقيقي بدل التخيلي؛
• نسيان أن المقام الجديد a² + b² دون إشارة سالبة.

1-2-1 حل المعادلة التربيعية بالقانون العام

جذرا المعادلة \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = 0\end{gathered}\] حيث a ≠ 0 هما: \[\begin{gathered}x = (-b \pm \sqrt{b^{2} - 4\,\text{ac}}) \div (2a)\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}x = (-b \pm \sqrt{\Delta}) \div (2a)\end{gathered}\]

• نحدد المعاملات a و b و c بإشاراتها.
• نحسب المقدار تحت الجذر \[\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\,\text{ac}\end{gathered}\].
• إذا كان Δ سالبًا نكتب √Δ بدلالة i فنحصل على جذرين مركبين.

تذكر: إذا كانت المعادلة ليست في الصورة القياسية فننقل كل الحدود إلى طرف واحد ونرتبها أولًا.

a = 1 و b = −5 و c = 6

\[\begin{gathered}\Delta = 25 - 24 = 1\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}x = (5 \pm 1) \div 2\end{gathered}\]

x = 3 أو x = 2

x = 1 أو \(x = -\dfrac{3}{2}\)

x = 1 + 2i أو x = 1 − 2i

x = −2 + 3i أو x = −2 − 3i

x = 3 + √2 أو x = 3 − √2

x ≈ 4.41 أو x ≈ 1.59

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: نسيان القسمة على 2a كاملة؛
• كتابة \[\begin{gathered}\Delta = b^{2} + 4\,\text{ac}\end{gathered}\]؛
• وضع b دون إشارتها (−b عندما b سالب تصبح موجبة).

1-2-2 المميز Δ ونوع الجذرين

المميز \[\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\,\text{ac}\end{gathered}\] يحدد نوع جذري المعادلة \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = 0\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\,\text{ac}\end{gathered}\]

• إذا كان Δ > 0 فللمعادلة جذران حقيقيان مختلفان.
• إذا كان Δ = 0 فللمعادلة جذران حقيقيان متساويان، قيمة كل منهما −b ÷ 2a.
• إذا كان Δ < 0 فللمعادلة جذران غير حقيقيين (مركبان) كل منهما مرافق للآخر.

لاحظ:

• عندما Δ < 0 يكون المنحنى \[\begin{gathered}y = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] بلا نقاط تقاطع مع محور السينات؛
• وعندما Δ = 0 يمس المحور؛
• وعندما Δ > 0 يقطعه في نقطتين.

علّل: لماذا يكون الجذران المركبان مترافقين؟ لأن √Δ يظهر بإشارتين ± في القانون، فيصبح الجذران p + qi و p − qi.

الجذران حقيقيان متساويان، قيمتهما 4 ÷ 2 = 2.

Δ > 0 فالجذران حقيقيان مختلفان.

(الجذران 5 و −2).

Δ < 0 فالجذران غير حقيقيين.

الجذران حقيقيان مختلفان.

\[\begin{gathered}x = (2 \pm 4) \div 6\end{gathered}\]

x = 1 أو \(x = -\dfrac{1}{3}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة: حساب Δ دون ترتيب المعادلة أولًا؛ القول بأن Δ = 0 يعني عدم وجود جذور؛ الخطأ في إشارة −4ac عندما c سالب.

1-2-3 الجذران النسبيان والجذران غير النسبيين

إذا كانت معاملات المعادلة أعدادًا نسبية وكان Δ مربعًا كاملًا فالجذران نسبيان، وإذا كان Δ موجبًا وليس مربعًا كاملًا فالجذران غير نسبيين.

• المربعات الكاملة: 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، 64 ، 81 ، 100 ...
• الجذران غير النسبيين على الصورة p + √q و p − √q (مترافقان أيضًا).
• هذا الاختبار يصح فقط عندما تكون المعاملات a و b و c نسبية.

لاحظ: الجذران النسبيان يعنيان أن المقدار ax² + bx + c يمكن تحليله إلى عاملين من الدرجة الأولى بمعاملات نسبية.

Δ مربع كامل.

الجذران حقيقيان مختلفان ونسبيان (\(\dfrac{2}{3}\) و \(-\dfrac{1}{2}\)).

32 ليس مربعًا كاملًا.

الجذران حقيقيان مختلفان وغير نسبيين.

x = 1 ± 2√2

24 ليس مربعًا كاملًا.

الجذران حقيقيان مختلفان وغير نسبيين.

الجذران حقيقيان متساويان ونسبيان (\(\dfrac{3}{2}\) لكل منهما).

تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار أي Δ موجب دليلًا على جذور نسبية؛ تطبيق الاختبار مع معاملات غير نسبية مثل √2.

1-2-4 إيجاد قيم المجهول بشرط على نوع الجذرين

نضع شرط Δ المناسب لنوع الجذور ثم نحل المعادلة أو المتباينة الناتجة في المجهول.

• جذران متساويان: Δ = 0.
• جذران حقيقيان: Δ ≥ 0.
• جذران مختلفان حقيقيان: Δ > 0.
• جذران غير حقيقيين: Δ < 0.

تذكر: الشرط a ≠ 0 يجب مراعاته إذا كان a يحتوي على المجهول.

k = 6 أو k = −6

k = 8 أو k = −8

k = 3 أو k = −2

16 > 4k

k < 4

تذكر: الأخطاء الشائعة: عكس اتجاه المتباينة عند القسمة على عدد سالب؛ نسيان أن مساواة Δ بصفر تعطي قيمتين محتملتين للمجهول.

1-2-5 إثبات نوع الجذرين لكل قيم المجهول

نُبسّط Δ ونكتبه كمربع كامل أو مجموع مربعات لنحدد إشارته لكل قيم المجهول.

• Δ = (مقدار)² يعني Δ ≥ 0 فالجذران حقيقيان دائمًا.
• Δ = (مقدار)² + عدد موجب يعني Δ > 0 فالجذران حقيقيان مختلفان دائمًا.
• Δ = −(مقدار)² − عدد موجب يعني Δ < 0 فالجذران غير حقيقيين.
• إذا كان a و c مختلفين في الإشارة فإن ac < 0 و Δ > 0 دائمًا.

لاحظ: المربع الكامل لا يكون سالبًا لأي عدد حقيقي، وهذه هي أساس معظم البراهين هنا.

الجذران حقيقيان لكل k.

k² ≥ 0 فإن k² + 4 ≥ 4 > 0

الجذران حقيقيان مختلفان لكل k.

Δ < 0 دائمًا.

الجذران غير حقيقيين (x = k ± i).

a = 3 و \[\begin{gathered}c = -2k^{2} - 1\end{gathered}\] < 0

ac < 0 فإن −4ac > 0

\[\begin{gathered}\Delta = 25 - 4\,\text{ac}\end{gathered}\] > 0

الجذران حقيقيان مختلفان.

تذكر: الأخطاء الشائعة: إهمال تربيع إشارة السالب في (k + 2)²؛ القول بأن (k − 2)² موجب دائمًا (هو غير سالب، وقد يساوي صفرًا عند k = 2).

1-3-1 مجموع الجذرين وحاصل ضربهما

إذا كان α و β جذري \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = 0\end{gathered}\] فإن: \[\begin{gathered}\alpha + \beta = -b \div a\end{gathered}\] و αβ = c ÷ a.

\[\begin{gathered}\alpha + \beta = -b \div a\end{gathered}\]

αβ = c ÷ a

• البرهان: \[\begin{gathered}\alpha = (-b + \sqrt{\Delta}) \div 2a\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\beta = (-b - \sqrt{\Delta}) \div 2a\end{gathered}\].
• بالجمع تلغي ±√Δ بعضها فيبقى \[\begin{gathered}-2b \div 2a = -b \div a\end{gathered}\].
• بالضرب: \[\begin{gathered}(b^{2} - \Delta ) \div 4a^{2} = 4\,\text{ac} \div 4a^{2} = c \div a\end{gathered}\].
• القاعدة تصح للجذور الحقيقية والمركبة.

لاحظ: عند استخدام القاعدتين يجب أن تكون المعادلة في الصورة القياسية \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = 0\end{gathered}\] أولًا.

a = 2 و b = −6 و c = 3

المجموع = 6 ÷ 2 = 3

حاصل الضرب = \(\dfrac{3}{2}\)

\[\begin{gathered}(x + 7)(x - 2) = 0\end{gathered}\] فالجذران −7 و 2.

مجموعهما = −5 وهو −b ÷ a.

حاصل ضربهما = −14 وهو c ÷ a.

المجموع = \(\dfrac{1}{3}\)

حاصل الضرب = \(\dfrac{4}{3}\)

(الجذران مركبان لأن Δ = 1 − 48 < 0، والقاعدة تصح).

نرتبها: \[\begin{gathered}x^{2} - 5x + 2 = 0\end{gathered}\]

المجموع = 5

حاصل الضرب = 2

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان الإشارة السالبة في −b ÷ a؛ عدم القسمة على a؛ عدم ترتيب المعادلة قبل التطبيق.

1-3-2 قيمة المقادير المتماثلة في الجذرين

نكتب المقدار المطلوب بدلالة α + β و αβ ثم نعوّض.

\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 2\alpha \beta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 4\alpha \beta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= (\alpha + \beta ) \div \alpha \beta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\dfrac{\alpha}{\beta}+ \dfrac{\beta}{\alpha}= (\alpha ^{2} + \beta ^{2}) \div \alpha \beta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\alpha ^{3} + \beta ^{3} = (\alpha + \beta )^{3} - 3\alpha \beta (\alpha + \beta )\end{gathered}\]

• المقدار المتماثل لا يتغير عند تبديل α و β.
• لا نحتاج حل المعادلة لإيجاد قيمته.

علّل: لماذا لا نحل المعادلة ثم نعوّض؟ لأن الجذور قد تكون غير نسبية أو مركبة، والقاعدة تعطي الناتج مباشرة وبدقة.

α + β = 5 و αβ = 3

\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 25 - 6 = 19\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= \dfrac{5}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = 25 - 12 = 13\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\alpha + \beta = -\dfrac{3}{2}\end{gathered}\] و αβ = −2

\[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = \dfrac{9}{4} + 4 = \dfrac{25}{4}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\dfrac{\alpha}{\beta}+ \dfrac{\beta}{\alpha}= \left(\dfrac{25}{4}\right) \div (-2) = -\dfrac{25}{8}\end{gathered}\]

α + β = 6 و αβ = 4

\[\begin{gathered}\alpha ^{3} + \beta ^{3} = 6^{3} - 3 \times 4 \times 6\end{gathered}\]

= 216 − 72

= 144

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\alpha ^{2} + \beta ^{2} = (\alpha + \beta )^{2}\end{gathered}\] دون طرح 2αβ؛
• كتابة \[\begin{gathered}\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}= \dfrac{1}{\alpha + \beta }\end{gathered}\] وهذا خطأ.

1-3-3 إيجاد معامل مجهول بمعلومية أحد الجذرين

الجذر يحقق المعادلة، فنعوّضه في المعادلة أو نستخدم المجموع وحاصل الضرب.

• إذا كان r جذرًا للمعادلة فإن \[\begin{gathered}\,\text{ar}^{2} + \,\text{br} + c = 0\end{gathered}\].
• بمعرفة جذر والمعاملات نستطيع إيجاد الجذر الآخر من المجموع أو من الضرب.
• في المعادلات ذات المعاملات الحقيقية، إذا كان p + qi جذرًا فمرافقه p − qi جذر آخر.

لاحظ: قد نحتاج معادلتين إذا كان المجهول معاملين، وتأتي من المجموع وحاصل الضرب.

نعوّض x = 2:

\[\begin{gathered}4 - 10 + k = 0\end{gathered}\]

k = 6

الجذر الآخر = 5 − 2 = 3

حاصل الضرب = 12 فالجذر الآخر = 12 ÷ 3 = 4

المجموع = −1 = −a فإن a = 1

الضرب = −6 = b

الجذر الآخر هو المرافق 3 − 2i.

المجموع = 6 = −p فإن p = −6

الضرب = \[\begin{gathered}9 + 4 = 13 = q\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن المجموع = −b ÷ a وليس b ÷ a؛ التعويض في الصورة غير المرتبة؛ إهمال شرط حقيقية المعاملات عند استخدام المرافق.

1-3-4 علاقات خاصة بين الجذرين

نترجم العلاقة بين الجذرين إلى معادلة، ونحلها مع المجموع أو حاصل الضرب.

• أحد الجذرين ضعف الآخر: الجذران α و 2α.
• الجذران متعاكسان جمعيًا (أحدهما سالب الآخر): المجموع = 0 أي b = 0.
• الجذران متعاكسان ضربيًا (مقلوبان): حاصل الضرب = 1 أي c = a.
• الجذران متساويان: Δ = 0.
• الفرق بين الجذرين معلوم: نستخدم \[\begin{gathered}(\alpha - \beta )^{2} = (\alpha + \beta )^{2} - 4\alpha \beta \end{gathered}\].

لاحظ: يجب التحقق في النهاية أن الجذور تحقق شروط المسألة، مثل أن تكون حقيقية إن طُلب ذلك.

الجذران α و 2α.

المجموع: 3α = 9 ومنه α = 3

الضرب: 2α² = k

\[\begin{gathered}k = 2 \times 9 = 18\end{gathered}\]

الجذران 3 و 6.

المجموع = \[\begin{gathered}-(k - 4) = 0\end{gathered}\]

k = 4

المعادلة x² − 9 = 0 وجذراها ±3.

حاصل الضرب = \[\begin{gathered}(k + 1) \div 3 = 1\end{gathered}\]

k + 1 = 3

k = 2

الجذران 4 و 2.

α + β = 3 و α − β = 5

α = 4 و β = −1

k = αβ = −4

تذكر: الأخطاء الشائعة: نسيان أن α − β قد تكون سالبة أو موجبة (نستخدم مربعها); التعويض بالعلاقة في المجموع فقط وإهمال حاصل الضرب.

1-3-5 تكوين المعادلة التربيعية بمعلومية جذريها

المعادلة التي جذراها α و β هي: \[\begin{gathered}x^{2} - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta = 0\end{gathered}\].

x² − (مجموع الجذرين)x + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

• نحسب المجموع ثم الضرب ثم نكتب القاعدة.
• لإزالة الكسور نضرب المعادلة في المقام المشترك.
• إذا كانت المعاملات حقيقية فالجذور المركبة تأتي أزواجًا مترافقة.

تذكر: المعادلة تحدد بالجذرين حتى ضرب مضاعف؛ نستخدم عادةً الصورة التي معامل x² فيها 1 أو أعداد صحيحة.

المجموع = −2 والضرب = −15

\[\begin{gathered}x^{2} + 2x - 15 = 0\end{gathered}\]

المجموع = 4

الضرب = 4 − 3 = 1

\[\begin{gathered}x^{2} - 4x + 1 = 0\end{gathered}\]

المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{6}\end{gathered}\]

الضرب = \(\dfrac{1}{3}\)

\[\begin{gathered}x^{2} - \left(\dfrac{7}{6}\right)x + \dfrac{1}{3} = 0\end{gathered}\]

بالضرب في 6:

\[\begin{gathered}6x^{2} - 7x + 2 = 0\end{gathered}\]

المجموع = 6

الضرب = 9 + 4 = 13

\[\begin{gathered}x^{2} - 6x + 13 = 0\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة +(المجموع) بدل −(المجموع)؛ وضع إشارة الضرب بشكل خاطئ؛ نسيان إزالة الكسور.

1-3-6 تكوين معادلة جذراها مرتبطان بجذري معادلة أخرى

نحسب α + β و αβ من المعادلة المعطاة، ثم نحسب مجموع وضرب الجذرين الجديدين بدلالتهما.

• الجذران الجديدان 2α و 2β: المجموع الجديد 2(α + β) والضرب 4αβ.
• الجذران \(\dfrac{1}{\alpha}\) و \(\dfrac{1}{\beta}\): المجموع (α + β) ÷ αβ والضرب 1 ÷ αβ.
• الجذران α + 1 و β + 1: المجموع (α + β) + 2 والضرب αβ + (α + β) + 1.
• الجذران α² و β²: المجموع (α + β)² − 2αβ والضرب (αβ)².

لاحظ: بعد التكوين يمكن اختبار الجواب بحل المعادلتين الأصلية والجديدة في حالة الجذور البسيطة.

α + β = 3 و αβ = 1

مجموع المربعين = 9 − 2 = 7

ضرب المربعين = 1² = 1

\[\begin{gathered}x^{2} - 7x + 1 = 0\end{gathered}\]

\(\alpha + \beta = \dfrac{5}{2}\) و \(\alpha \beta = -\dfrac{3}{2}\)

المجموع الجديد = \[\begin{gathered}\left(\dfrac{5}{2}\right) \div \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{5}{3}\end{gathered}\]

الضرب الجديد = \[\begin{gathered}1 \div \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{2}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}x^{2} + \left(\dfrac{5}{3}\right)x - \dfrac{2}{3} = 0\end{gathered}\]

بالضرب في 3:

\[\begin{gathered}3x^{2} + 5x - 2 = 0\end{gathered}\]

المجموع الجديد = 3 + 2 = 5

الضرب الجديد = \[\begin{gathered}1 + 3 + 1 = 5\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}x^{2} - 5x + 5 = 0\end{gathered}\]

المجموع الجديد = 6

الضرب الجديد = 4 × 1 = 4

\[\begin{gathered}x^{2} - 6x + 4 = 0\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: استعمال مجموع الجذور الأصلية كأنه مجموع الجذور الجديدة؛
• خطأ مقام الكسر في \(\dfrac{1}{\alpha}+ \dfrac{1}{\beta}\)؛
• نسيان تربيع الضرب في حالة α² و β².

1-4-1 مفهوم إشارة الدالة

إشارة الدالة f عند x هي إشارة قيمتها f(x): موجبة أو سالبة أو صفر.

• f موجبة عند x إذا كان f(x) > 0.
• f سالبة عند x إذا كان f(x) < 0.
• أصفار الدالة هي قيم x التي يكون عندها f(x) = 0.
• نمثل إشارة الدالة على خط الأعداد، فتتغير الإشارة عادةً عند الأصفار.
• في التمثيل البياني: المنحنى فوق محور السينات تعني f موجبة، وتحته تعني f سالبة.

لاحظ: إشارة الدالة تعني بحث أي قيم x تجعل الدالة موجبة وأيها تجعلها سالبة، وليس إيجاد قيمة واحدة.

f(5) = 2 فالإشارة موجبة

f(3) = 0 فهو صفر للدالة

f(0) = −3 فالإشارة سالبة

x² ≥ 0 فإن x² + 1 ≥ 1 > 0

نعم، موجبة لكل عدد حقيقي x.

الأصفار: x = 1 و x = 3

تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين الصفر (f(x) = 0) والإشارة السالبة؛ فحص إشارة الدالة عند نقطة واحدة وتعميمها على كل المجال.

1-4-2 إشارة الدالة الخطية

للدالة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax} + b\end{gathered}\] صفر وحيد x = −b ÷ a، وإشارتها بعد الصفر هي إشارة a وقبله عكس إشارة a.

• إذا كان a > 0 فالدالة سالبة عن يسار الصفر وموجبة عن يمينه.
• إذا كان a < 0 فالدالة موجبة عن يسار الصفر وسالبة عن يمينه.
• نرسم خط الأعداد ونحدد الصفر ثم نكتب الإشارة على كل جهة.

علّل: لماذا تتغير الإشارة عند الصفر؟ لأن الدالة الخطية متصلة ومطردة، فتمر بالصفر مرة واحدة فتتبدل من سالبة إلى موجبة أو العكس.

الصفر: 3x = 6 ومنه x = 2

a = 3 > 0

f(x) < 0 عندما x < 2

f(x) > 0 عندما x > 2

الصفر: x = 2

a = −2 < 0

f(x) > 0 عندما x < 2

f(x) < 0 عندما x > 2

الصفر: x = −5

a = −1 < 0

f(x) > 0 عندما x < −5

f(x) < 0 عندما x > −5

تذكر: الأخطاء الشائعة: عكس الإشارة عند معامل x السالب؛ حساب الصفر بإشارة خاطئة \[\begin{gathered}(x = -b \div a)\end{gathered}\].

1-4-3 إشارة الدالة التربيعية ذات الصفرين الحقيقيين المختلفين

إذا كان Δ > 0 وصفرا الدالة α < β فإشارة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] هي إشارة a خارج الصفرين وعكس إشارة a بين الصفرين.

• نحلل أو نستخدم القانون لإيجاد الصفرين α و β.
• نرسم خط الأعداد ونكتب الصفرين.
• خارج الفترة [α ، β] الإشارة مثل إشارة a.
• داخل الفترة ]α ، β[ الإشارة عكس إشارة a.

لاحظ: يوافق ذلك رسم القطع المكافئ: إذا كان a > 0 فالفرعان لأعلى والمنحنى تحت المحور بين الصفرين وفوقه خارجهما.

\[\begin{gathered}(x - 2)(x - 3) = 0\end{gathered}\] فالصفران 2 و 3.

a = 1 > 0

f(x) > 0 عندما x < 2 أو x > 3

f(x) < 0 عندما 2 < x < 3

الصفران 1 و 3 و a = −1 < 0

f(x) < 0 عندما x < 1 أو x > 3

f(x) > 0 عندما 1 < x < 3

الصفران −1 و \(\dfrac{3}{2}\)

a = 2 > 0

f(x) > 0 عندما x < −1 أو x > \(\dfrac{3}{2}\)

f(x) < 0 عندما −1 < x < \(\dfrac{3}{2}\)

الصفران −3 و 3 و a > 0

f(x) > 0 عندما x < −3 أو x > 3

f(x) < 0 عندما −3 < x < 3

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: ترتيب الصفرين بشكل خاطئ على خط الأعداد؛
• نسيان مراعاة إشارة a عند استخراج عامل سالب؛
• تعميم إشارة واحدة على المجال كله.

1-4-4 إشارة الدالة التربيعية عندما Δ ≤ 0

إذا كان Δ = 0 فالدالة لها صفر وحيد وإشارتها مثل إشارة a في كل مكان عدا الصفر، وإذا كان Δ < 0 فإشارتها إشارة a لكل قيم x.

• Δ = 0: \[\begin{gathered}\,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c = a(x - r)^{2}\end{gathered}\] حيث r = −b ÷ 2a.
• Δ < 0: لا أصفار حقيقية، والمنحنى لا يلمس المحور.
• المقدار a(x − r)² + q حيث q له إشارة a يكون ثابت الإشارة.

علّل: لماذا تكون x² + x + 1 موجبة دائمًا؟ لأن Δ = −3 < 0 و a = 1 > 0، فالمنحنى فوق المحور بالكامل.

f(x) = 0 عند x = 3

f(x) > 0 لكل x ≠ 3

f(x) = 0 عند x = 2

f(x) < 0 لكل x ≠ 2

الدالة موجبة لكل x.

الدالة سالبة لكل x.

تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار الدالة ذات Δ < 0 تغيّر إشارتها؛ نسيان أن الصفر موجود عندما Δ = 0.

1-4-5 إشارة الدالة من التمثيل البياني

نقرأ إشارة الدالة من موضع المنحنى بالنسبة لمحور السينات.

• نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات هي أصفار الدالة.
• أجزاء المنحنى فوق المحور تمثل مجالات الإشارة الموجبة.
• أجزاء المنحنى تحت المحور تمثل مجالات الإشارة السالبة.
• إذا مسّ المنحنى المحور فقط عند نقطة، فالصفر مكرر ولا تتغير الإشارة.

لاحظ: يمكن أيضًا استنتاج إشارة a من اتجاه فتحة القطع: لأعلى a > 0 ولأسفل a < 0.

الصفران −1 و 4.

الدالة موجبة عندما x < −1 أو x > 4.

الدالة سالبة عندما −1 < x < 4.

الدالة صفر عند x = 2.

المنحنى تحت المحور في بقية النقاط.

الدالة سالبة لكل x ≠ 2.

المنحنى فوق المحور بالكامل.

الدالة موجبة لكل x ∈ ℝ.

تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين الصفر والقيمة العظمى أو الصغرى؛ اعتبار نقطة المماس نقطة تغيّر إشارة.

1-5-1 حل متباينة الدرجة الثانية باستخدام إشارة الدالة

نحل ax² + bx + c > 0 (أو <، ≥، ≤) بأن ندرس إشارة الدالة \[\begin{gathered}f(x) = \,\text{ax}^{2} + \,\text{bx} + c\end{gathered}\] ونأخذ المجالات المطلوبة.

• الخطوة 1: ننقل كل الحدود إلى طرف ونترك صفرًا في الطرف الآخر.
• الخطوة 2: نوجد أصفار الدالة.
• الخطوة 3: ندرس الإشارة على خط الأعداد.
• الخطوة 4: نكتب مجموعة الحل بالفترات، فنُدخل نهايات الفترة مع ≥ و ≤ ولا نُدخلها مع > و <.
• نستخدم الرمز ∪ للاتحاد بين الفترتين.

لاحظ: مجموعة الحل في الفترات: ]a ، b[ مفتوحة، و [a ، b] مغلقة، و ]−∞ ، a[ يعني كل الأعداد أصغر من a.

الصفران 2 و 3.

الدالة موجبة خارج الصفرين.

مجموعة الحل = ]−∞ ، 2[ ∪ ]3 ، ∞[

الدالة سالبة أو صفر بين الصفرين وعندهما.

مجموعة الحل = [2 ، 3]

\[\begin{gathered}(2x + 3)(x - 1) = 0\end{gathered}\] فالصفران \(-\dfrac{3}{2}\) و 1.

الدالة سالبة بين الصفرين.

مجموعة الحل = ]\(-\dfrac{3}{2}\) ، 1[

الصفران −2 و 2.

الدالة موجبة أو صفر خارج الصفرين وعندهما.

مجموعة الحل = ]−∞ ، −2] ∪ [2 ، ∞[

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة الحل على صورة −2 ≥ x ≥ 2 للمتباينة x² − 4 ≥ 0 وهذا غير صحيح؛
• نسيان إدخال نهايات الفترة عندما تكون المتباينة ≤ أو ≥.

1-5-2 متباينات تحتاج إلى ترتيب قبل الحل

نحوّل المتباينة إلى الصورة f(x) > 0 أو f(x) < 0 بنقل الحدود وجعل معامل x² موجبًا إن أمكن.

• إذا ضربنا المتباينة أو قسمناها على عدد سالب انعكس اتجاه الإشارة.
• يمكن أن نقسم على عدد موجب لتبسيط المعاملات.
• نتجنب الضرب في مقدار يحتوي المجهول.

تذكر: عند ضرب طرفي المتباينة في −1 يتغير اتجاه الإشارة (> إلى <).

x² − 3x − 4 > 0

(x − 4)(x + 1) > 0

الصفران −1 و 4.

مجموعة الحل = ]−∞ ، −1[ ∪ ]4 ، ∞[

x² − 2x − 8 ≤ 0

(x − 4)(x + 2) ≤ 0

مجموعة الحل = [−2 ، 4]

نضرب في −1 ونعكس الإشارة:

x² − x − 6 ≤ 0

(x − 3)(x + 2) ≤ 0

مجموعة الحل = [−2 ، 3]

x² ≥ 4

x² − 4 ≥ 0

مجموعة الحل = ]−∞ ، −2] ∪ [2 ، ∞[

x² + 2x + 1 − 9 < 0

x² + 2x − 8 < 0

(x + 4)(x − 2) < 0

مجموعة الحل = ]−4 ، 2[

تذكر: الأخطاء الشائعة: قسمة الطرفين على x (قد يكون سالبًا أو صفرًا)؛ نسيان عكس الإشارة عند الضرب في −1.

1-5-3 حالات خاصة: المميز سالب أو صفر

إذا كان Δ ≤ 0 فمجموعة الحل إما ℝ أو ℝ مطروحًا منها نقطة أو نقطة واحدة أو ∅ حسب إشارة a والمتباينة.

• Δ < 0 و a > 0: الدالة موجبة دائمًا؛ ">" و "≥" تعطي ℝ، و "<" و "≤" تعطي ∅.
• Δ < 0 و a < 0: الدالة سالبة دائمًا؛ "<" و "≤" تعطي ℝ، و ">" و "≥" تعطي ∅.
• Δ = 0 و a > 0: الدالة غير سالبة وتساوي صفرًا عند r فقط.
• Δ = 0 يعطي حل ">" هو ℝ − {r} وحل "≤" هو {r}.

علّل: لماذا حل x² + x + 3 < 0 هو ∅؟ لأن Δ = 1 − 12 < 0 و a > 0 فالمقدار موجب دائمًا.

(x − 2)² > 0

الحل: كل x ≠ 2

مجموعة الحل = ℝ − {2}

(x − 2)² ≤ 0

لا يتحقق إلا عند x = 2

مجموعة الحل = {2}

Δ = 1 − 12 < 0 و a > 0

مجموعة الحل = ℝ

المقدار موجب دائمًا.

مجموعة الحل = ∅

−(x − 1)² < 0

(x − 1)² > 0

مجموعة الحل = ℝ − {1}

تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن x² − 4x + 4 > 0 تتحقق لكل x (الصحيح x ≠ 2)؛ كتابة ∅ حيث ينبغي ℝ.

1-5-4 تطبيقات: مجال الجذر التربيعي وقيم المعامل

نستخدم حل المتباينة لتعيين مجال دالة جذرية أو لإيجاد قيم معامل يحقق شرطًا.

• مجال √f(x) هو مجموعة حل f(x) ≥ 0.
• شرط جذرين حقيقيين: Δ ≥ 0 فتنتج متباينة في المعامل.
• شرط مقدار موجب دائمًا: Δ < 0 مع a > 0.

لاحظ: كثيرًا ما تكون المتباينة الناتجة في المعامل هي متباينة من الدرجة الثانية، فنحلها بنفس الطريقة.

x² − 3x − 10 ≥ 0

(x − 5)(x + 2) ≥ 0

المجال = ]−∞ ، −2] ∪ [5 ، ∞[

6 − x − x² ≥ 0

x² + x − 6 ≤ 0

(x + 3)(x − 2) ≤ 0

المجال = [−3 ، 2]

a = 1 > 0 فنحتاج Δ < 0

k² − 16 < 0

(k − 4)(k + 4) < 0

−4 < k < 4

m² − 3m − 4 ≥ 0

(m − 4)(m + 1) ≥ 0

m ≤ −1 أو m ≥ 4

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: نسيان أن مجال الجذر التربيعي يتطلب ≥ 0 وليس > 0؛
• كتابة شرط Δ > 0 بدل Δ ≥ 0 عند طلب جذرين حقيقيين (يشمل المتساويين).

1-5-5 مسائل لفظية على المتباينات التربيعية

نترجم المسألة إلى متباينة في المجهول، ونحلها، ثم نأخذ الحلول التي تناسب السياق (مثل الأطوال الموجبة).

• نختار المجهول ونعبّر عن الكميات به.
• نكتب الشرط على صورة متباينة.
• نحل ونرفض القيم غير الممكنة (مثل الطول السالب).

لاحظ: لا نعلن الجواب قبل الرجوع إلى شروط الواقع في المسألة.

x(x + 3) < 40

x² + 3x − 40 < 0

(x + 8)(x − 5) < 0

−8 < x < 5

العرض موجب فنأخذ 0 < x < 5.

40t − 5t² > 60

5t² − 40t + 60 < 0

t² − 8t + 12 < 0

(t − 2)(t − 6) < 0

2 < t < 6

يزيد الارتفاع على 60 مترًا بين الثانيتين 2 و 6.

−x² + 60x − 500 > 0

x² − 60x + 500 < 0

(x − 10)(x − 50) < 0

10 < x < 50

الربح موجب بين 10 و 50 مئة وحدة.

تذكر: الأخطاء الشائعة: ترك الحلول السالبة للأطوال دون استبعاد؛ عكس الاتجاه الصحيح للمتباينة عند التحويل إلى الصورة القياسية.