الدرس 4-5: التمثيل البياني للدوال المثلثية

4-5-1 منحنى دالة الجيب y = sin x

دالة الجيب مجالها ℝ ومداها [−1 ، 1] وهي دورية دورتها 2π.

• جدول قيم أساسي: x = 0 و \(\dfrac{\pi}{2}\) و π و \(\dfrac{3\pi}{2}\) و 2π تعطي y = 0 و 1 و 0 و −1 و 0.
• القيمة العظمى 1 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\) والصغرى −1 عند \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).
• أصفار الدالة: x = nπ.
• الدالة فردية: \[\begin{gathered}\sin (-x) = -\sin x\end{gathered}\] فالمنحنى متماثل حول نقطة الأصل.
• يتكرر المنحنى كل 2π.

لاحظ: رسم منحنى الجيب على الفترة [0 ، 2π] يكفي، ثم نكرره في الاتجاهين.

العظمى = 1 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\)

الصغرى = −1 عند \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)

الأصفار عند x = 0 و π و 2π

يقطعه (أو يمسه عند الطرفين) في 3 نقاط.

تذكر: الأخطاء الشائعة: رسم المنحنى بقيم تتجاوز 1؛ نسيان أن المنحنى يبدأ من نقطة الأصل صاعدًا.

4-5-2 منحنى دالة جيب التمام y = cos x

دالة جيب التمام مجالها ℝ ومداها [−1 ، 1] ودورتها 2π وهي زوجية.

• جدول القيم: x = 0 و \(\dfrac{\pi}{2}\) و π و \(\dfrac{3\pi}{2}\) و 2π تعطي y = 1 و 0 و −1 و 0 و 1.
• القيمة العظمى 1 عند x = 0 و 2π والصغرى −1 عند x = π.
• المنحنى متماثل حول محور الصادات لأن \[\begin{gathered}\cos (-x) = \cos x\end{gathered}\].
• منحنى cos x هو منحنى sin x بعد انسحابه \(\dfrac{\pi}{2}\) إلى اليسار.

لاحظ: \[\begin{gathered}\cos x = \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\end{gathered}\] وهذا يفسر التشابه بين الشكلين.

cos x = 0 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\) و \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)

الدالة متناقصة على الفترة [0 ، π].

0.5 < 1 فإن cos 0.5 > cos 1.

تذكر: الأخطاء الشائعة: بدء منحنى cos من الصفر؛ الخلط بين منحنيي sin و cos.

4-5-3 منحنى دالة الظل y = tan x

دالة الظل مجالها ℝ \(- {\dfrac{\pi}{2} + n\pi }\) ومداها ℝ ودورتها π، وهي فردية.

• أصفارها: x = nπ.
• خطوط التقارب الرأسية: \[\begin{gathered}x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \end{gathered}\].
• متزايدة على كل فترة من فتراتها.
• \[\begin{gathered}\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1\end{gathered}\].

علّل:

• لماذا لا تعرّف tan عند \(\dfrac{\pi}{2}\)؟
• لأن \[\begin{gathered}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\end{gathered}\] ولا يجوز القسمة على صفر.

الخطوط \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) و \(x = \dfrac{\pi}{2}\)

دورة tan(bx) هي π ÷ |b|

\(\pi \div 2 = \dfrac{\pi}{2}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن دورة tan هي 2π؛ نسيان خطوط التقارب.

4-5-4 السعة والدورة: \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}y = a \cos \,\text{bx}\end{gathered}\]

للدالة \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx}\end{gathered}\] (أو a cos bx): السعة |a| والدورة 2π ÷ |b| والمدى [−|a| ، |a|].

السعة = |a|

الدورة = 2π ÷ |b|

• |a| نصف المسافة بين القيمة العظمى والصغرى.
• b يضغط المنحنى أفقيًا أو يمدّه.
• الإضافة c في \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx} + c\end{gathered}\] تنقل المنحنى رأسيًا فيصبح المدى [c − |a| ، c + |a|].
• إذا كان a سالبًا انعكس المنحنى حول محور السينات.

لاحظ: عدد الدورات في الفترة [0 ، 2π] يساوي |b| للدالة a sin bx.

السعة = 3

الدورة = 2π ÷ 2 = π

المدى = [−3 ، 3]

السعة = |−2| = 2

الدورة = \[\begin{gathered}2\pi \div \left(\dfrac{1}{2}\right) = 4\pi \end{gathered}\]

المدى = [−2 ، 2]

السعة = 1

الدورة = \(\dfrac{2\pi}{3}\)

المدى = [0 ، 2]

العظمى = \[\begin{gathered}2 \times 1 - 1 = 1\end{gathered}\]

الصغرى = \[\begin{gathered}2 \times (-1) - 1 = -3\end{gathered}\]

المدى = [−3 ، 1]

تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة الدورة π ÷ b للجيب (الصحيح 2π ÷ b)؛ نسيان القيمة المطلقة للسعة؛ التعويض بالراديان وبالدرجات معًا.

4-5-5 قراءة المنحنيات وحل معادلات بسيطة بيانيًا

تتقاطع الدالة المثلثية مع مستقيم أفقي في نقاط تمثل حلول المعادلة المناظرة.

• حلول sin x = k على [0 ، 2π]: نقطتان إذا |k| < 1، ونقطة واحدة إذا k = ±1، ولا حل إذا |k| > 1.
• نرسم الخط y = k ونعدّ نقاط التقاطع.
• نحصل على القيم بالزاوية المرجعية ثم نستعمل التماثل في المنحنى.

لاحظ: منحنى الجيب متماثل حول الخط \(x = \dfrac{\pi}{2}\) على الفترة [0 ، π] فيكون الحلان x و π − x.

الخط \(y = \dfrac{1}{2}\) يقطع المنحنى في نقطتين.

الزاوية المرجعية \(\dfrac{\pi}{6}\).

\(x = \dfrac{\pi}{6}\) أو \[\begin{gathered}x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\end{gathered}\]

الخط \(y = \dfrac{1}{2}\) يقطع المنحنى في نقطتين.

\(x = \dfrac{\pi}{3}\) أو \[\begin{gathered}x = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}\end{gathered}\]

المدى [−1 ، 1].

2 خارج المدى فلا يوجد حل.

تذكر: الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بحل واحد؛ نسيان أن المدى [−1 ، 1] يحدد وجود الحل.

4-5-6 تطبيقات على الدوال المثلثية

تُنمذج الظواهر الدورية (المد والجزر، عجلة دوارة، موجات) بدوال الجيب وجيب التمام.

• نحدد السعة والدورة ومتوسط القيمة.
• نعوّض الزمن ونحل معادلة أو متباينة مثلثية.
• نحول الإجابة إلى المعنى العملي (ساعات، أمتار).

لاحظ: القيمة المتوسطة = c والسعة = |a| في الصيغة \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx} + c\end{gathered}\].

السعة = 3 والمتوسط 5.

أقصى عمق = 5 + 3 = 8 م

أدنى عمق = 5 − 3 = 2 م

الدورة = \[\begin{gathered}2\pi \div \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 12\end{gathered}\] ساعة

\(5 + 3 \sin \left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge 6.5\)

\(\sin \left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge 0.5\)

\(\dfrac{\dfrac{\dfrac{\pi}{6} \le \pi t}{6} \le 5\pi}{6}\)

1 ≤ t ≤ 5

يكون العمق 6.5 م أو أكثر بين الساعة 1 والساعة 5.

السعة = نصف القطر = 10 م

الدورة = 8 دقائق

الارتفاع الكلي بين أعلى وأدنى نقطة = 20 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين السعة والمدى؛ تعويض الزمن بوحدة مختلفة عن وحدة الدورة.