الوحدة الرابعة: حساب المثلثات — الزاوية الموجهة والقياس الدائري والدوال المثلثية

4-1-1 تعريف الزاوية الموجهة

الزاوية الموجهة هي زاوية تتولد بدوران شعاع حول نقطة ثابتة من وضع ابتدائي إلى وضع نهائي.

• النقطة الثابتة هي رأس الزاوية.
• الشعاع في بدء الدوران هو الضلع الابتدائي، وفي نهايته هو الضلع النهائي.
• الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة يعطي زاوية موجبة.
• الدوران في اتجاه عقارب الساعة يعطي زاوية سالبة.
• قد يدور الشعاع أكثر من دورة كاملة فيتجاوز القياس 360°.

لاحظ: الزاوية الموجهة لها قياس مع إشارة، وقد تكون أكبر من 360° أو سالبة، بخلاف الزاوية الهندسية العادية التي لا تتجاوز 180°.

تذكر: الدورة الكاملة عكس عقارب الساعة = +360° وفي اتجاه عقارب الساعة = −360°.

الدوران في اتجاه عقارب الساعة فالزاوية سالبة.

ربع دورة = \[\begin{gathered}360{}^{\circ} \div 4 = 90{}^{\circ}\end{gathered}\]

القياس = −90°

دورة كاملة = 360°

نصف دورة = 180°

القياس = \[\begin{gathered}360{}^{\circ} + 180{}^{\circ} = 540{}^{\circ}\end{gathered}\] (موجبة)

الدوران مع عقارب الساعة فالقياس = −270°

تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار كل زاوية موجبة؛ الخلط بين اتجاه الدوران والإشارة؛ نسيان إضافة الدورات الكاملة.

4-1-2 الوضع القياسي وأرباع المحاور

تكون الزاوية الموجهة في الوضع القياسي إذا كان رأسها عند نقطة الأصل وضلعها الابتدائي ينطبق على الاتجاه الموجب لمحور السينات.

• ربع المحاور الأول: الزوايا بين 0° و 90°.
• الربع الثاني: بين 90° و 180°.
• الربع الثالث: بين 180° و 270°.
• الربع الرابع: بين 270° و 360°.
• إذا وقع الضلع النهائي على أحد المحورين فالزاوية ربعية: 0° و 90° و 180° و 270° و 360°.
• نعيّن الربع بإيجاد الزاوية المكافئة بين 0° و 360° أولًا.

لاحظ: الزاوية الربعية لا تنتمي إلى أي ربع.

130° بين 90° و 180° فهي في الربع الثاني.

250° بين 180° و 270° فهي في الربع الثالث.

310° بين 270° و 360° فهي في الربع الرابع.

310° في الربع الرابع.

إذن الزاوية −50° تقع في الربع الرابع.

40° في الربع الأول.

الضلع النهائي ينطبق على الاتجاه السالب لمحور السينات.

نعم، هي زاوية ربعية (مكافئة للزاوية 180°).

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع الزاوية 90° في الربع الأول؛ نسيان تحويل الزاوية السالبة أو الكبيرة قبل تعيين الربع.

4-1-3 الزوايا المتكافئة

تكون زاويتان موجهتان في الوضع القياسي متكافئتين إذا انطبق ضلعاهما النهائيان، والقياسات المكافئة للزاوية θ هي θ + 360° × n حيث n عدد صحيح.

θ + 360° n

• نضيف 360° أو نطرحها لنحصل على قياسات مكافئة.
• الفرق بين قياسي زاويتين متكافئتين مضاعف للعدد 360°.
• أصغر قياس موجب للزاوية: نضيف أو نطرح 360° حتى نحصل على قياس بين 0° و 360°.
• قياس سالب مكافئ: نطرح 360° من القياس الموجب.

علّل: لماذا يوجد عدد لا نهائي من القياسات المكافئة؟ لأن كل دورة كاملة إضافية (أو ناقصة) تعيد الضلع النهائي إلى الوضع نفسه.

أو \[\begin{gathered}850{}^{\circ} - 720{}^{\circ} = 130{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}-400{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = -40{}^{\circ}\end{gathered}\] (ما زال سالبًا)

\[\begin{gathered}-40{}^{\circ} + 360{}^{\circ} = 320{}^{\circ}\end{gathered}\]

أو \[\begin{gathered}-400{}^{\circ} + 720{}^{\circ} = 320{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}75{}^{\circ} - (-285{}^{\circ}) = 360{}^{\circ}\end{gathered}\] وهو مضاعف للعدد 360° فالزاويتان متكافئتان.

\[\begin{gathered}200{}^{\circ} - 100{}^{\circ} = 100{}^{\circ}\end{gathered}\] ليس مضاعفًا لـ 360° فالزاويتان غير متكافئتين.

تذكر: الأخطاء الشائعة: إضافة 180° بدل 360°؛ التوقف عند قياس سالب عند طلب أصغر قياس موجب.

4-1-4 إيجاد قياس الزاوية الموجهة من الشكل ومن الدورات

نحدد قياس الزاوية من موضع الضلع النهائي بالنسبة للمحاور، أو من عدد الدورات والجزء الباقي.

• الضلع النهائي على الاتجاه الموجب لمحور الصادات: 90°.
• على الاتجاه السالب لمحور السينات: 180°.
• على الاتجاه السالب لمحور الصادات: 270° (أو −90°).
• الزاوية المطلوبة قد تكون السالبة المكافئة لما نقرؤه عكس عقارب الساعة.

لاحظ: نقرأ القياس الموجب عكس العقارب، ثم نحدد القياس السالب بطرح 360° عند الحاجة.

القياس الموجب: 270°

القياس السالب: \[\begin{gathered}270{}^{\circ} - 360{}^{\circ} = -90{}^{\circ}\end{gathered}\]

القياس = \[\begin{gathered}2 \times 360{}^{\circ} + 90{}^{\circ} = 810{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}810{}^{\circ} - 720{}^{\circ} = 90{}^{\circ}\end{gathered}\]

الضلع النهائي ينطبق على الاتجاه الموجب لمحور الصادات.

340° في الربع الرابع.

تذكر: الأخطاء الشائعة: خلط الاتجاه الموجب لمحور الصادات (90°) مع السالب (270°)؛ نسيان إضافة الدورات الكاملة.

4-2-1 القياس الستيني: الدرجات والدقائق والثواني

في القياس الستيني تُقسم الدرجة الواحدة إلى 60 دقيقة والدقيقة إلى 60 ثانية.

1° = 60′

1′ = 60″

1° = 3600″

• ندوّن القياس على الصورة 37° 15′ 20″.
• لتحويل الدقائق والثواني إلى جزء من الدرجة نقسم الدقائق على 60 والثواني على 3600.
• لتحويل الكسر العشري للدرجة إلى دقائق نضرب في 60، والباقي العشري للدقائق إلى ثوان نضربه في 60.

تذكر: نقرأ ′ دقيقة و ″ ثانية، ولا نخلطها مع علامة الفاصلة العليا.

\[\begin{gathered}0.76 \times 60 = 45.6'\end{gathered}\] ومنه 45′

\[\begin{gathered}0.6 \times 60 = 36''\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}45.76{}^{\circ} = 45{}^{\circ} 45' 36''\end{gathered}\]

القياس = \[\begin{gathered}12 + 0.3333 + 0.00833 \approx 12.3417{}^{\circ}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: القسمة على 100 بدل 60؛ كتابة 0.5° على أنها 50′.

4-2-2 القياس الدائري والراديان

القياس الدائري لزاوية مركزية في دائرة هو النسبة بين طول القوس المقابل لها وطول نصف قطر الدائرة، وحدته الراديان.

θ = l ÷ r

• θ القياس الدائري بالراديان، l طول القوس، r نصف القطر.
• الراديان الواحد هو قياس الزاوية المركزية التي تقابل قوسًا طوله يساوي نصف القطر.
• هذه النسبة ثابتة في جميع الدوائر لزاوية مركزية معينة.
• الدورة الكاملة: l = 2πr فالقياس = 2π راديان.
• الراديان قياس عددي بلا وحدة طول، ونكتب rad أو نتركها.

علّل:

• لماذا يكون القياس الدائري ثابتًا لزاوية واحدة مهما تغير نصف القطر؟
• لأن الدوائر متشابهة، فتتناسب أطوال الأقواس مع أنصاف الأقطار فتبقى النسبة l ÷ r ثابتة.

θ = 2.5 راديان

طول نصف الدائرة l = πr

\[\begin{gathered}\theta = \pi r \div r = \pi \end{gathered}\] راديان

l = 10 سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: استعمال θ بالدرجات في l = rθ؛ نسيان أن π راديان تساوي 180°.

4-2-3 التحويل بين الدرجات والراديان

π راديان = 180°، ومنه: \[\begin{gathered}1{}^{\circ} = \pi \div 180\end{gathered}\] راديان و 1 راديان = \[\begin{gathered}180{}^{\circ} \div \pi \approx 57.3{}^{\circ}\end{gathered}\].

الراديان = الدرجات × π ÷ 180

الدرجات = الراديان × 180 ÷ π

• لتحويل الدرجات إلى راديان نضرب في π ÷ 180.
• لتحويل الراديان إلى درجات نضرب في 180 ÷ π.
• نترك π في الجواب إن أمكن، أو نعوّض π ≈ 3.14 عند طلب تقريب.

لاحظ:

• القيم المهمة: \(30{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{6}\) و \(45{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\) و \(60{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\) و \(90{}^{\circ} = \dfrac{\pi}{2}\) و 180° = π و \(270{}^{\circ} = \dfrac{3\pi}{2}\) و 360° = 2π.

2 × 180° ÷ π

= 360° ÷ 3.14159...

≈ 114.59°

37.5 × π ÷ 180

= 5π ÷ 24

≈ 0.6545 راديان

تذكر: الأخطاء الشائعة: الضرب في π ÷ 180 عند التحويل من الراديان؛ استعمال π = 180 مباشرة داخل العمليات الأخرى.

4-2-4 طول القوس في الدائرة

طول القوس l المقابل لزاوية مركزية θ (بالراديان) في دائرة نصف قطرها r هو: l = r × θ.

l = rθ

• إذا كانت الزاوية بالدرجات نحولها أولًا إلى راديان.
• الصيغة بالدرجات: \[\begin{gathered}l = (\theta {}^{\circ} \div 360{}^{\circ}) \times 2\pi r\end{gathered}\].
• يمكن إيجاد θ = l ÷ r أو r = l ÷ θ.

تذكر: يجب أن يكون l و r بوحدة الطول نفسها.

\[\begin{gathered}l = 2\pi \approx 6.28\end{gathered}\] سم

\[\begin{gathered}l = 10\pi \approx 31.42\end{gathered}\] سم

20 دقيقة = \(\dfrac{1}{3}\) ساعة = \(120{}^{\circ} = \dfrac{2\pi}{3}\) راديان

\[\begin{gathered}l = \dfrac{14 \times 2\pi}{3}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}l = \dfrac{28\pi}{3} \approx 29.32\end{gathered}\] سم

دورة واحدة = 2πr = 70π سم

أربع دورات = \[\begin{gathered}4 \times 70\pi = 280\pi \end{gathered}\]

≈ 879.6 سم

r = 4 سم

تذكر: الأخطاء الشائعة: ترك الزاوية بالدرجات في l = rθ؛ خلط محيط الدائرة مع طول القوس.

4-3-1 الدوال المثلثية لأي زاوية

إذا كانت P(x ، y) نقطة على الضلع النهائي لزاوية θ في الوضع القياسي و \[\begin{gathered}r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\end{gathered}\] فإن:

\[\begin{gathered}\sin \theta = y \div r\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos \theta = x \div r\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = y \div x\end{gathered}\] حيث x ≠ 0

• r هي بعد النقطة P عن نقطة الأصل وهي دائمًا موجبة.
• القيم لا تعتمد على اختيار النقطة P على الضلع النهائي.
• المقلوبات: \[\begin{gathered}\csc \theta = r \div y\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\sec \theta = r \div x\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cot \theta = x \div y\end{gathered}\].

لاحظ:

• عندما تكون θ حادة تتفق هذه التعريفات مع نسب المثلث القائم: الجيب = المقابل ÷ الوتر، جيب التمام = المجاور ÷ الوتر، الظل = المقابل ÷ المجاور.

تذكر: الأخطاء الشائعة: وضع r سالبة؛ عكس x و y في النسب؛ نسيان الجذر عند حساب r.

4-3-2 إشارات الدوال المثلثية في الأرباع

إشارة الدالة تتبع إشارتي x و y في الربع: في الأول كل الدوال موجبة، وفي الثاني sin فقط، وفي الثالث tan فقط، وفي الرابع cos فقط.

• الربع الأول: x > 0 و y > 0 فكل الدوال موجبة.
• الربع الثاني: x < 0 و y > 0 فـ sin موجبة و cos و tan سالبتان.
• الربع الثالث: x < 0 و y < 0 فـ tan موجبة و sin و cos سالبتان.
• الربع الرابع: x > 0 و y < 0 فـ cos موجبة و sin و tan سالبتان.
• المقلوبات تحمل إشارة الدالة الأصلية.

تذكر:

• للحفظ نقول: الأول «الكل» والثاني «sin» والثالث «tan» والرابع «cos» (All – Sin – Tan – Cos) أي الدالة المذكورة هي الموجبة في ذلك الربع.

200° في الربع الثالث.

sin 200° سالبة

cos 200° سالبة

tan 200° موجبة

sin موجبة في الربعين الأول والثاني.

cos سالبة في الربعين الثاني والثالث.

θ في الربع الثاني.

cos موجبة في الربعين الأول والرابع.

tan سالبة في الربعين الثاني والرابع.

θ في الربع الرابع.

130° في الربع الثاني.

sin موجبة و cos سالبة و tan سالبة.

(+) × (−) × (−) = موجبة

تذكر: الأخطاء الشائعة: اعتبار tan موجبة في الربع الثاني؛ نسيان تحويل الزاوية الكبيرة أو السالبة قبل تعيين الربع.

4-3-3 الدوال المثلثية للزوايا الربعية والخاصة

للزوايا الربعية نأخذ نقطة على المحور، وللزوايا 30° و 45° و 60° نستخدم قيمًا معروفة.

القيم الربعية:

sin 0° = 0 و cos 0° = 1 و tan 0° = 0

sin 90° = 1 و cos 90° = 0 و tan 90° غير معرفة

\[\begin{gathered}\sin 180{}^{\circ} = 0\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 180{}^{\circ} = -1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 180{}^{\circ} = 0\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin 270{}^{\circ} = -1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 270{}^{\circ} = 0\end{gathered}\] و tan 270° غير معرفة

\[\begin{gathered}\sin 360{}^{\circ} = 0\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 360{}^{\circ} = 1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 360{}^{\circ} = 0\end{gathered}\]

القيم الخاصة:

\[\begin{gathered}\sin 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 30{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin 45{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 45{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{gathered}\] و tan 45° = 1

\[\begin{gathered}\sin 60{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 60{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan 60{}^{\circ} = \sqrt{3}\end{gathered}\]

• tan غير معرفة عندما x = 0 أي عند 90° و 270°.
• قيم sin و cos لا تخرج من الفترة [−1 ، 1].

علّل: لماذا |sin θ| ≤ 1؟ لأن |y| ≤ r فالنسبة y ÷ r لا تتجاوز 1 في القيمة المطلقة.

المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}\end{gathered}\]

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: القول إن tan 90° = 0 (غير معرفة)؛
• قلب قيمتي sin و cos عند 30° و 60°؛
• كتابة \[\begin{gathered}\sin ^{2} 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] بدل \(\dfrac{1}{4}\).

4-3-4 المقلوبات والمتطابقات الأساسية

المقلوبات: \[\begin{gathered}\csc \theta = \dfrac{1}{\sin } \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\sec \theta = \dfrac{1}{\cos } \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cot \theta = \dfrac{1}{\tan } \theta \end{gathered}\]، والمتطابقات: \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1\end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = \sin \theta \div \cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}1 + \tan ^{2} \theta = \sec ^{2} \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}1 + \cot ^{2} \theta = \csc ^{2} \theta \end{gathered}\]

• sin² θ تعني (sin θ)².
• المتطابقة الأولى تأتي من \[\begin{gathered}x^{2} + y^{2} = r^{2}\end{gathered}\] بالقسمة على r².
• الثانية والثالثة تأتيان من القسمة على cos² θ أو sin² θ.

لاحظ: المتطابقة تتحقق لكل قيمة مسموحة لـ θ، أما المعادلة فتتحقق لقيم محددة فقط.

الطرف الأيمن = 1 − cos² θ

= sin² θ

وهو الطرف الأيسر.

تذكر:

• الأخطاء الشائعة: كتابة \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 2\end{gathered}\]؛
• كتابة \[\begin{gathered}(\sin \theta + \cos \theta )^{2} = 1\end{gathered}\]؛
• استعمال المقلوب مكان الدالة العكسية.

4-3-5 إيجاد باقي الدوال من دالة معلومة

نستعمل المتطابقة \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1\end{gathered}\] أو المثلث القائم ونحدد الإشارة من الربع.

• نحدد الربع ومن ثم إشارات الدوال.
• نبني مثلثًا قائمًا بالقيمة المطلقة للنسبة المعلومة.
• نوجد الضلع الثالث بفيثاغورث ونكتب باقي النسب مع الإشارة.

لاحظ: إذا لم يُعطَ الربع قد يوجد حلان.

في الربع الثاني cos سالبة: \[\begin{gathered}\cos \theta = -\dfrac{4}{5}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = \left(\dfrac{3}{5}\right) \div \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{3}{4}\end{gathered}\]

في الربع الثالث sin سالبة: \[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{12}{13}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan \theta = \left(-\dfrac{12}{13}\right) \div \left(-\dfrac{5}{13}\right) = \dfrac{12}{5}\end{gathered}\]

نرسم مثلثًا ضلعاه 2 و 1 ووتره √5.

في الربع الرابع x > 0 و y < 0.

\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{2}{\sqrt{5}} = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\end{gathered}\]

(sin سالبة في الربعين الثالث والرابع: cos سالبة في الثالث وموجبة في الرابع).

تذكر: الأخطاء الشائعة: إهمال إشارة الدالة في الربع؛ استعمال القيمة الموجبة دائمًا؛ نسيان وجود حلين عند غياب الربع.

4-4-1 الزاوية المرجعية

الزاوية المرجعية لزاوية θ في الوضع القياسي هي الزاوية الحادة بين ضلعها النهائي ومحور السينات.

• الربع الأول: المرجعية = θ.
• الربع الثاني: المرجعية = 180° − θ.
• الربع الثالث: المرجعية = θ − 180°.
• الربع الرابع: المرجعية = 360° − θ.
• قيمة الدالة المثلثية للزاوية = ± قيمتها للزاوية المرجعية، والإشارة بحسب الربع.

تذكر: الزاوية المرجعية دائمًا حادة (بين 0° و 90°).

150° في الربع الثاني.

المرجعية = \[\begin{gathered}180{}^{\circ} - 150{}^{\circ} = 30{}^{\circ}\end{gathered}\]

الربع الثالث.

المرجعية = \[\begin{gathered}225{}^{\circ} - 180{}^{\circ} = 45{}^{\circ}\end{gathered}\]

الربع الرابع.

المرجعية = \[\begin{gathered}360{}^{\circ} - 300{}^{\circ} = 60{}^{\circ}\end{gathered}\]

المرجعية 30° والربع الثاني (sin موجبة).

\[\begin{gathered}\sin 150{}^{\circ} = \sin 30{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: أخذ المرجعية من محور الصادات؛ نسيان إشارة الدالة في الربع.

4-4-2 الزاويتان 180° − θ و 180° + θ

• \[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} - \theta ) = -\tan \theta \end{gathered}\].
• وكذلك \[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} + \theta ) = \tan \theta \end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} - \theta ) = -\tan \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin (180{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (180{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (180{}^{\circ} + \theta ) = \tan \theta \end{gathered}\]

• نفرض θ حادة، فالزاوية 180° − θ في الربع الثاني والزاوية 180° + θ في الربع الثالث.
• نحتفظ باسم الدالة (لا تتحول) ونحدد الإشارة من الربع.

لاحظ: عند الأعداد 180° و 360° (مضاعفات 180°) لا يتغير اسم الدالة.

تذكر: الأخطاء الشائعة: قلب اسم الدالة هنا (لا يتغير عند 180°)؛ إهمال إشارة الربع.

4-4-3 الزاويتان 360° − θ و −θ

\[\begin{gathered}\sin (360{}^{\circ} - \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (360{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (360{}^{\circ} - \theta ) = -\tan \theta \end{gathered}\]، وهي نفسها لـ (−θ).

\[\begin{gathered}\sin (-\theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (-\theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (-\theta ) = -\tan \theta \end{gathered}\]

• الزاوية 360° − θ في الربع الرابع ويطابق ضلعها النهائي الزاوية −θ.
• sin و tan فرديتان و cos زوجية.

علّل:

• لماذا \[\begin{gathered}\cos (-\theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]؟
• لأن النقطة على ضلع (−θ) هي (x ، −y) فتبقى x ثابتة، و cos = x ÷ r.

المجموع = 0

الناتج = \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن \[\begin{gathered}\cos (-\theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]؛ الخلط بين الدالة الفردية والزوجية.

4-4-4 الزاويتان 90° − θ و 90° + θ

• \[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\].
• وكذلك \[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} + \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} - \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} - \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin (90{}^{\circ} + \theta ) = \cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (90{}^{\circ} + \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (90{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\]

• عند 90° و 270° (مضاعفات فردية لـ 90°) يتحول اسم الدالة إلى متممتها.
• نحدد الإشارة من الربع الذي تقع فيه الزاوية الكبيرة (بافتراض θ حادة).

لاحظ: الزاويتان θ و 90° − θ متتامتان، وهذا هو سر قولنا: جيب زاوية = جيب تمام متممتها.

الفرق = \[\begin{gathered}\cos 30{}^{\circ} - \cos 30{}^{\circ} = 0\end{gathered}\]

أو \[\begin{gathered}120{}^{\circ} = 180{}^{\circ} - 60{}^{\circ}\end{gathered}\] ومنه \[\begin{gathered}\tan 120{}^{\circ} = -\tan 60{}^{\circ} = -\sqrt{3}\end{gathered}\] (نفس القيمة).

تذكر: الأخطاء الشائعة: عدم تغيير اسم الدالة عند 90° و 270°؛ الخطأ في الإشارة لأن θ ليست في الربع الأول.

4-4-5 الزاويتان 270° − θ و 270° + θ

• \[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (270{}^{\circ} - \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\].
• وكذلك \[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos (270{}^{\circ} + \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\].

\[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} - \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (270{}^{\circ} - \theta ) = -\sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} + \theta ) = -\cos \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos (270{}^{\circ} + \theta ) = \sin \theta \end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} + \theta ) = -\cot \theta \end{gathered}\]

• الزاوية 270° − θ في الربع الثالث والزاوية 270° + θ في الربع الرابع.
• الاسم يتحول إلى المتمم لأن 270° مضاعف فردي للعدد 90°.

لاحظ: لا نحتاج لحفظها كلها: نكتب الزاوية بدلالة 90° أو 180° ونحدد الربع.

بالطريقة الأولى: \[\begin{gathered}\sin 240{}^{\circ} = -\sin 60{}^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]

بالطريقة الثانية: \[\begin{gathered}\sin (270{}^{\circ} - 30{}^{\circ}) = -\cos 30{}^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]

القيمتان متساويتان.

الزاوية 270° − θ في الربع الثالث حيث tan موجبة.

اسم الدالة يتحول إلى cot.

\[\begin{gathered}\tan (270{}^{\circ} - \theta ) = \cot \theta \end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: خلط 270° − θ مع 270° + θ؛ نسيان تحويل الاسم.

4-4-6 تبسيط المقادير وإثبات العلاقات باستخدام الزوايا المنتسبة

نحوّل كل زاوية إلى دالة للزاوية θ بالقواعد السابقة، ثم نبسط.

• الخطوة 1: نحدد الربع.
• الخطوة 2: هل الأساس \(\dfrac{90{}^{\circ}}{270}{}^{\circ}\) (يتغير الاسم) أم \(\dfrac{180{}^{\circ}}{360}{}^{\circ}\) (لا يتغير)؟
• الخطوة 3: نضع الإشارة المناسبة.
• الخطوة 4: نبسط المقدار.
• في المثلث ABC: \[\begin{gathered}A + B + C = 180{}^{\circ}\end{gathered}\] فتنفعنا العلاقات مثل \[\begin{gathered}\sin (B + C) = \sin A\end{gathered}\].

تذكر: نتحقق من النتيجة بتعويض قيمة بسيطة مثل θ = 30° عند الشك.

الناتج = sin θ × cos θ × tan θ

= sin θ × cos θ × (sin θ ÷ cos θ)

= sin² θ

المجموع = 0

الناتج = 1

\[\begin{gathered}\sin 120{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\cos 330{}^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\cos 120{}^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\sin 330{}^{\circ} = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\]

= \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\)

= 1

تذكر: الأخطاء الشائعة: تبسيط الإشارات بترتيب خاطئ؛ استخدام قاعدة 90° مكان 180°.

4-5-1 منحنى دالة الجيب y = sin x

دالة الجيب مجالها ℝ ومداها [−1 ، 1] وهي دورية دورتها 2π.

• جدول قيم أساسي: x = 0 و \(\dfrac{\pi}{2}\) و π و \(\dfrac{3\pi}{2}\) و 2π تعطي y = 0 و 1 و 0 و −1 و 0.
• القيمة العظمى 1 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\) والصغرى −1 عند \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).
• أصفار الدالة: x = nπ.
• الدالة فردية: \[\begin{gathered}\sin (-x) = -\sin x\end{gathered}\] فالمنحنى متماثل حول نقطة الأصل.
• يتكرر المنحنى كل 2π.

لاحظ: رسم منحنى الجيب على الفترة [0 ، 2π] يكفي، ثم نكرره في الاتجاهين.

العظمى = 1 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\)

الصغرى = −1 عند \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)

الأصفار عند x = 0 و π و 2π

يقطعه (أو يمسه عند الطرفين) في 3 نقاط.

تذكر: الأخطاء الشائعة: رسم المنحنى بقيم تتجاوز 1؛ نسيان أن المنحنى يبدأ من نقطة الأصل صاعدًا.

4-5-2 منحنى دالة جيب التمام y = cos x

دالة جيب التمام مجالها ℝ ومداها [−1 ، 1] ودورتها 2π وهي زوجية.

• جدول القيم: x = 0 و \(\dfrac{\pi}{2}\) و π و \(\dfrac{3\pi}{2}\) و 2π تعطي y = 1 و 0 و −1 و 0 و 1.
• القيمة العظمى 1 عند x = 0 و 2π والصغرى −1 عند x = π.
• المنحنى متماثل حول محور الصادات لأن \[\begin{gathered}\cos (-x) = \cos x\end{gathered}\].
• منحنى cos x هو منحنى sin x بعد انسحابه \(\dfrac{\pi}{2}\) إلى اليسار.

لاحظ: \[\begin{gathered}\cos x = \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\end{gathered}\] وهذا يفسر التشابه بين الشكلين.

cos x = 0 عند \(x = \dfrac{\pi}{2}\) و \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)

الدالة متناقصة على الفترة [0 ، π].

0.5 < 1 فإن cos 0.5 > cos 1.

تذكر: الأخطاء الشائعة: بدء منحنى cos من الصفر؛ الخلط بين منحنيي sin و cos.

4-5-3 منحنى دالة الظل y = tan x

دالة الظل مجالها ℝ \(- {\dfrac{\pi}{2} + n\pi }\) ومداها ℝ ودورتها π، وهي فردية.

• أصفارها: x = nπ.
• خطوط التقارب الرأسية: \[\begin{gathered}x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \end{gathered}\].
• متزايدة على كل فترة من فتراتها.
• \[\begin{gathered}\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1\end{gathered}\].

علّل:

• لماذا لا تعرّف tan عند \(\dfrac{\pi}{2}\)؟
• لأن \[\begin{gathered}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\end{gathered}\] ولا يجوز القسمة على صفر.

الخطوط \(x = -\dfrac{\pi}{2}\) و \(x = \dfrac{\pi}{2}\)

دورة tan(bx) هي π ÷ |b|

\(\pi \div 2 = \dfrac{\pi}{2}\)

تذكر: الأخطاء الشائعة: القول إن دورة tan هي 2π؛ نسيان خطوط التقارب.

4-5-4 السعة والدورة: \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}y = a \cos \,\text{bx}\end{gathered}\]

للدالة \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx}\end{gathered}\] (أو a cos bx): السعة |a| والدورة 2π ÷ |b| والمدى [−|a| ، |a|].

السعة = |a|

الدورة = 2π ÷ |b|

• |a| نصف المسافة بين القيمة العظمى والصغرى.
• b يضغط المنحنى أفقيًا أو يمدّه.
• الإضافة c في \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx} + c\end{gathered}\] تنقل المنحنى رأسيًا فيصبح المدى [c − |a| ، c + |a|].
• إذا كان a سالبًا انعكس المنحنى حول محور السينات.

لاحظ: عدد الدورات في الفترة [0 ، 2π] يساوي |b| للدالة a sin bx.

السعة = 3

الدورة = 2π ÷ 2 = π

المدى = [−3 ، 3]

السعة = |−2| = 2

الدورة = \[\begin{gathered}2\pi \div \left(\dfrac{1}{2}\right) = 4\pi \end{gathered}\]

المدى = [−2 ، 2]

السعة = 1

الدورة = \(\dfrac{2\pi}{3}\)

المدى = [0 ، 2]

العظمى = \[\begin{gathered}2 \times 1 - 1 = 1\end{gathered}\]

الصغرى = \[\begin{gathered}2 \times (-1) - 1 = -3\end{gathered}\]

المدى = [−3 ، 1]

تذكر: الأخطاء الشائعة: كتابة الدورة π ÷ b للجيب (الصحيح 2π ÷ b)؛ نسيان القيمة المطلقة للسعة؛ التعويض بالراديان وبالدرجات معًا.

4-5-5 قراءة المنحنيات وحل معادلات بسيطة بيانيًا

تتقاطع الدالة المثلثية مع مستقيم أفقي في نقاط تمثل حلول المعادلة المناظرة.

• حلول sin x = k على [0 ، 2π]: نقطتان إذا |k| < 1، ونقطة واحدة إذا k = ±1، ولا حل إذا |k| > 1.
• نرسم الخط y = k ونعدّ نقاط التقاطع.
• نحصل على القيم بالزاوية المرجعية ثم نستعمل التماثل في المنحنى.

لاحظ: منحنى الجيب متماثل حول الخط \(x = \dfrac{\pi}{2}\) على الفترة [0 ، π] فيكون الحلان x و π − x.

الخط \(y = \dfrac{1}{2}\) يقطع المنحنى في نقطتين.

الزاوية المرجعية \(\dfrac{\pi}{6}\).

\(x = \dfrac{\pi}{6}\) أو \[\begin{gathered}x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\end{gathered}\]

الخط \(y = \dfrac{1}{2}\) يقطع المنحنى في نقطتين.

\(x = \dfrac{\pi}{3}\) أو \[\begin{gathered}x = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}\end{gathered}\]

المدى [−1 ، 1].

2 خارج المدى فلا يوجد حل.

تذكر: الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بحل واحد؛ نسيان أن المدى [−1 ، 1] يحدد وجود الحل.

4-5-6 تطبيقات على الدوال المثلثية

تُنمذج الظواهر الدورية (المد والجزر، عجلة دوارة، موجات) بدوال الجيب وجيب التمام.

• نحدد السعة والدورة ومتوسط القيمة.
• نعوّض الزمن ونحل معادلة أو متباينة مثلثية.
• نحول الإجابة إلى المعنى العملي (ساعات، أمتار).

لاحظ: القيمة المتوسطة = c والسعة = |a| في الصيغة \[\begin{gathered}y = a \sin \,\text{bx} + c\end{gathered}\].

السعة = 3 والمتوسط 5.

أقصى عمق = 5 + 3 = 8 م

أدنى عمق = 5 − 3 = 2 م

الدورة = \[\begin{gathered}2\pi \div \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 12\end{gathered}\] ساعة

\(5 + 3 \sin \left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge 6.5\)

\(\sin \left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \ge 0.5\)

\(\dfrac{\dfrac{\dfrac{\pi}{6} \le \pi t}{6} \le 5\pi}{6}\)

1 ≤ t ≤ 5

يكون العمق 6.5 م أو أكثر بين الساعة 1 والساعة 5.

السعة = نصف القطر = 10 م

الدورة = 8 دقائق

الارتفاع الكلي بين أعلى وأدنى نقطة = 20 م

تذكر: الأخطاء الشائعة: الخلط بين السعة والمدى؛ تعويض الزمن بوحدة مختلفة عن وحدة الدورة.

4-6-1 إيجاد الزاوية الحادة من نسبة معلومة

إذا عُلمت نسبة مثلثية موجبة وتساوي قيمة معروفة نستخرج الزاوية الحادة من الجدول أو بالآلة الحاسبة بالدالة العكسية sin⁻¹ أو cos⁻¹ أو tan⁻¹.

• sin⁻¹ تعني الزاوية التي جيبها هذا العدد (وليست \(\dfrac{1}{\sin }\)).
• نضبط الآلة على النظام الصحيح: درجات (DEG) أو راديان (RAD).
• المدى المعتاد للنتيجة: sin⁻¹ و tan⁻¹ بين −90° و 90°، و cos⁻¹ بين 0° و 180°.

تذكر: تأكد من وضع الآلة على الدرجات إذا كان المطلوب بالدرجات.

تذكر: الأخطاء الشائعة: تشغيل الآلة على الراديان؛ الخلط بين sin⁻¹ و \(\dfrac{1}{\sin }\).

4-6-2 إيجاد الزاوية في الربع المطلوب (0° ≤ θ < 360°)

نوجد الزاوية المرجعية من القيمة المطلقة للنسبة، ثم نعيّن الأرباع حسب الإشارة، ونحسب الزاوية في كل ربع.

• موجبة sin: الربعان الأول والثاني: θ = α أو 180° − α.
• موجبة cos: الأول والرابع: θ = α أو 360° − α.
• موجبة tan: الأول والثالث: θ = α أو 180° + α.
• سالبة sin: الثالث والرابع: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} + \alpha \end{gathered}\] أو 360° − α.
• سالبة cos: الثاني والثالث: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - \alpha \end{gathered}\] أو 180° + α.
• سالبة tan: الثاني والرابع: \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - \alpha \end{gathered}\] أو 360° − α.

لاحظ: α هي الزاوية المرجعية المحسوبة من القيمة المطلقة للنسبة.

المرجعية α = 30°

sin موجبة فالربعان الأول والثاني.

θ = 30° أو \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - 30{}^{\circ} = 150{}^{\circ}\end{gathered}\]

المرجعية 45°

cos سالبة فالربعان الثاني والثالث.

\[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - 45{}^{\circ} = 135{}^{\circ}\end{gathered}\] أو \[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} + 45{}^{\circ} = 225{}^{\circ}\end{gathered}\]

المرجعية 45°

tan سالبة فالربعان الثاني والرابع.

θ = 135° أو θ = 315°

θ ≈ 36.87° أو \[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} - 36.87{}^{\circ} = 143.13{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} - 75.52{}^{\circ} = 104.48{}^{\circ}\end{gathered}\] أو \[\begin{gathered}\theta \approx 180{}^{\circ} + 75.52{}^{\circ} = 255.52{}^{\circ}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: الاكتفاء بحل واحد؛ استعمال المرجعية دون تحويلها إلى الربع؛ إدخال الإشارة السالبة في المرجعية.

4-6-3 معادلات مثلثية بسيطة

نعزل الدالة المثلثية ثم نحل بالطريقة السابقة.

• نحول المعادلة إلى الصورة sin θ = k أو cos θ = k أو tan θ = k.
• إذا كانت المعادلة من الدرجة الثانية في الدالة المثلثية نحلل أو نستعمل القانون.
• نرفض القيم خارج المدى [−1 ، 1] لـ sin و cos.

لاحظ: نحل في الفترة المعطاة، وإذا لم تُحدد نكتب الحلول العامة (θ + 360° n).

المرجعية 60°

θ = 60° أو θ = 120°

tan موجبة فالأول والثالث.

θ ≈ 63.43° أو θ ≈ 243.43°

\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] أو sin θ = 1

sin θ = 1 فإن θ = 90°

\[\begin{gathered}\sin \theta = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] فالمرجعية 30° في الربعين الثالث والرابع: θ = 210° أو 330°

الحل: 90° أو 210° أو 330°

tan θ = √3: θ = 60° أو 240°

tan θ = −√3: θ = 120° أو 300°

الحل: 60° و 120° و 240° و 300°

\(-\dfrac{3}{2}\) < −1 فهي خارج مدى cos.

لا يوجد حل.

تذكر: الأخطاء الشائعة: القسمة على sin θ وفقدان جذور؛ نسيان رفض القيم خارج المدى.

4-6-4 الزوايا بالراديان وزاوية نقطة على الضلع النهائي

نطبق الطريقة نفسها بالراديان (π بدل 180°) أو ننطلق من نقطة معلومة على الضلع النهائي.

• بالراديان: الربع الثاني π − α والثالث π + α والرابع 2π − α.
• من نقطة P(x ، y): المرجعية \[\begin{gathered}\alpha = \tan ^{-1}(|y| \div |x|)\end{gathered}\] ثم نعيّن الربع من إشارتي x و y.

لاحظ: إذا كانت النقطة على محور فالزاوية ربعية مباشرة.

المرجعية \(\dfrac{\pi}{6}\)

الربعان الأول والثاني.

\(x = \dfrac{\pi}{6}\) أو \(x = \dfrac{5\pi}{6}\)

x < 0 و y > 0 فالنقطة في الربع الثاني.

\[\begin{gathered}\alpha = \tan ^{-1}(4 \div 3) \approx 53.13{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\theta = 180{}^{\circ} - 53.13{}^{\circ} = 126.87{}^{\circ}\end{gathered}\]

التحقق: \[\begin{gathered}\cos \theta = -\dfrac{3}{5} = -0.6\end{gathered}\] وهذا يوافق \[\begin{gathered}\cos 126.87{}^{\circ} \approx -0.6\end{gathered}\].

x > 0 و y < 0 فالربع الرابع.

\[\begin{gathered}\alpha = \tan ^{-1}\left(\dfrac{2}{2}\right) = 45{}^{\circ}\end{gathered}\]

\[\begin{gathered}\theta = 360{}^{\circ} - 45{}^{\circ} = 315{}^{\circ}\end{gathered}\]

المرجعية \(\dfrac{\pi}{3}\)

cos سالبة فالربعان الثاني والثالث.

\[\begin{gathered}x = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}\end{gathered}\] أو \[\begin{gathered}x = \pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}\end{gathered}\]

تذكر: الأخطاء الشائعة: خلط وحدات الراديان والدرجات في الإجابة؛ وضع الزاوية في الربع الخطأ بإهمال إشارتي الإحداثيين.