3-3-14 حجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه

حجم متوازي السطوح

• إذا مثلت المتجهات $\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}}$ و$\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">B</span>}}$ و$\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}}$ ثلاثة أحرف متجاورة غير مستوية في متوازي سطوح فإن:

$$\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">V</span>}=\mid \overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">B</span>}}\times \overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}})\mid$$

• التفسير: $\mathrm{\parallel }\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">B</span>}}\times \overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}}\mathrm{\parallel }$ مساحة القاعدة، وارتفاع المجسم هو مركبة $\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}}$ في اتجاه العمودي على القاعدة.
• القيمة المطلقة تضمن أن الحجم موجب أيًّا كان ترتيب المتجهات.

حجم رباعي الوجوه (الهرم الثلاثي)

• رباعي الوجوه الذي أحرفه المتجاورة $\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}}$ و$\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">B</span>}}$ و$\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}}$ حجمه سدس حجم متوازي السطوح المناظر:

$$\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">V</span>}=\frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">1</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">6</span>}}\mid \overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">B</span>}}\times \overrightarrow{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}})\mid$$

• يمكن استخدام ذلك لإيجاد حجم هرم قاعدته مثلث بمعرفة إحداثيات رءوسه الأربعة (نأخذ المتجهات من أحد الرءوس).