إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

3/5 (وفق خاصية مجموع المقدمات إلى مجموع التوالي يساوي إحدى النسب)

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي

تعريف الضرب الاتجاهي وقاعدة اليد اليمنى وحسابه بالمحدد.
خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين.
المعنى الهندسي: مساحة متوازي الأضلاع والمثلث.
الضرب الثلاثي القياسي وحجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه.

🌳 شجرة المفاهيم

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي
├── 3-3-8 الضرب الاتجاهي لمتجهين
│   ├── التعريف
│   ├── قاعدة اليد اليمنى
│   └── ملاحظات هامة
├── 3-3-9 الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة الأساسية
│   ├── المجموعة اليمينية
│   └── طريقة التذكر
├── 3-3-10 الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية
│   ├── القانون
│   └── حالة خاصة (متجهان في المستوى xy)
├── 3-3-11 خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين
│   ├── الخواص
│   └── شرط التوازي
├── 3-3-12 المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي: المساحة
│   ├── مساحة متوازي الأضلاع
│   └── مساحة المثلث
├── 3-3-13 الضرب الثلاثي القياسي
│   ├── التعريف
│   └── خواصه
├── 3-3-14 حجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه
│   ├── حجم متوازي السطوح
│   └── حجم رباعي الوجوه (الهرم الثلاثي)
└── 3-3-15 ملخص: متى نستخدم أي نوع من الضرب
    ├── مقارنة بين الضربين
    └── كيف تختار

01 3-3-8 الضرب الاتجاهي لمتجهين

التعريف

إذا كان $\vec{A}$ و $\vec{B}$ متجهين في مستوى والزاوية بينهما $θ$ فإن الضرب الاتجاهي هو:

$\vec{A} \times \vec{B} = (∥ \vec{A} ∥ ∥ \vec{B} ∥ \sin θ) \hat{n}$

حيث $\hat{n}$ متجه وحدة عمودي على المستوى الذي يحوي $\vec{A}$ و $\vec{B}$ .
الناتج متجه (وليس عددًا كما في الضرب القياسي)، ومعياره $∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥ = ∥ \vec{A} ∥ ∥ \vec{B} ∥ \sin θ$ .

قاعدة اليد اليمنى

يتحدد اتجاه $\hat{n}$ (لأعلى أم لأسفل المستوى) بقاعدة اليد اليمنى.
نحني أصابع اليد اليمنى من المتجه الأول $\vec{A}$ نحو المتجه الثاني $\vec{B}$ فيشير الإبهام إلى اتجاه $\vec{A} \times \vec{B}$ .
لذلك فإن $\vec{B} \times \vec{A}$ يخالفه في الاتجاه.

ملاحظات هامة

إذا كان $\vec{A} \times \vec{B}$ في اتجاه $\hat{n}$ فإن $\vec{B} \times \vec{A}$ في اتجاه $- \hat{n}$ .
الناتج عمودي على كل من $\vec{A}$ و $\vec{B}$ معًا.
لأي متجه $\vec{A}$ فإن $\vec{A} \times \vec{A} = \vec{0}$ و $\vec{A} \times \vec{0} = \vec{0}$ (المتجه الصفري).
بين الضربين علاقة: $∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥^{2} + (\vec{A} \cdot \vec{B})^{2} = ∥ \vec{A} ∥^{2} ∥ \vec{B} ∥^{2}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: إذا كان $∥ \vec{A} ∥ = 4$ و $∥ \vec{B} ∥ = 5$ والزاوية بينهما $3 0^{\circ}$ فأوجد معيار $\vec{A} \times \vec{B}$ .

الحل:

$∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥ = 4 \times 5 \times \sin 3 0^{\circ}$
$∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥ = 20 \times \frac{1}{2} = 10$ .

02 3-3-9 الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة الأساسية

المجموعة اليمينية

بتطبيق قاعدة اليد اليمنى على المجموعة اليمينية $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ نحصل على:

$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}, \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}, \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$

وعند عكس الترتيب تتغير الإشارة: $\hat{j} \times \hat{i} = - \hat{k}$ و $\hat{k} \times \hat{j} = - \hat{i}$ و $\hat{i} \times \hat{k} = - \hat{j}$ .
وكل متجه وحدة مضروب في نفسه يعطي الصفر: $\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0}$ .

طريقة التذكر

نرتب الحروف دائريًّا $i \to j \to k \to i$ .
الضرب في اتجاه الدوران يعطي الحرف الثالث بإشارة موجبة، وعكس الدوران يعطي إشارة سالبة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: أوجد $(2 \hat{i}) \times (3 \hat{j})$ و $\hat{k} \times (- \hat{j})$ .

الحل:

$(2 \hat{i}) \times (3 \hat{j}) = 6 (\hat{i} \times \hat{j}) = 6 \hat{k}$ .
$\hat{k} \times (- \hat{j}) = - (\hat{k} \times \hat{j}) = - (- \hat{i}) = \hat{i}$ .

03 3-3-10 الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية

القانون

إذا كان $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ و $\vec{B} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ فبتطبيق خاصية التوزيع وجداول الضرب نحصل على:

$\vec{A} \times \vec{B} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) \hat{i} - (a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1}) \hat{j} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \hat{k}$

ويُحسب بسهولة بنشر المحدد:

$\vec{A} \times \vec{B} = ∣ \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} ∣$

الصف الأول متجهات الوحدة، والثاني مركبات المتجه الأول، والثالث مركبات المتجه الثاني؛ وننتبه إلى أن إشارة حد $\hat{j}$ سالبة عند النشر.

حالة خاصة (متجهان في المستوى $x y$ )

إذا كان $\vec{A} = (a_{1}, a_{2}, 0)$ و $\vec{B} = (b_{1}, b_{2}, 0)$ فإن $\vec{A} \times \vec{B} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) \hat{k}$ .
الناتج في اتجاه محور $O z$ أي عمودي على المستوى $x y$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: أوجد $\vec{A} \times \vec{B}$ إذا كان $\vec{A} = (1, 2, 3)$ و $\vec{B} = (2, - 1, 1)$ .

الحل:

مركبة $\hat{i}$ : $(2) (1) - (3) (- 1) = 2 + 3 = 5$ .
مركبة $\hat{j}$ : $- [(1) (1) - (3) (2)] = - (1 - 6) = 5$ .
مركبة $\hat{k}$ : $(1) (- 1) - (2) (2) = - 1 - 4 = - 5$ .
إذن $\vec{A} \times \vec{B} = (5, 5, - 5)$ .
التحقق: $(5, 5, - 5) \cdot (1, 2, 3) = 5 + 10 - 15 = 0$ فالناتج عمودي على $\vec{A}$ .

04 3-3-11 خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين

الخواص

غير إبدالي: $\vec{A} \times \vec{B} = - (\vec{B} \times \vec{A})$ .
التوزيع: $\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$ .
الضرب في عدد: $(k \vec{A}) \times \vec{B} = k (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{A} \times (k \vec{B})$ .
المتجهان المتوازيان: $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$ لأن $\sin 0^{\circ} = \sin 18 0^{\circ} = 0$ .

شرط التوازي

المتجهان غير الصفريين $\vec{A}$ و $\vec{B}$ متوازيان إذا وفقط إذا كان $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$ .
وهذا يكافئ تناسب المركبات: $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}} = k$ .
إذا كانت $k > 0$ فالمتجهان في اتجاه واحد، وإذا كانت $k < 0$ فهما متضادان.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: المتجه $\vec{A} = (m, - 4, 6)$ يوازي المتجه $\vec{B} = (3, 2, n)$ ، أوجد $m$ و $n$ .

الحل:

شرط التوازي: $\frac{m}{3} = \frac{- 4}{2} = \frac{6}{n}$ .
$\frac{- 4}{2} = - 2$ فيكون $m = - 6$ .
$\frac{6}{n} = - 2$ ومنها $n = - 3$ .
النسبة سالبة فالمتجهان متوازيان في اتجاهين متضادين.

05 3-3-12 المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي: المساحة

مساحة متوازي الأضلاع

إذا كان $\vec{A}$ و $\vec{B}$ ضلعين متجاورين في متوازي أضلاع فمساحته $=$ القاعدة $\times$ الارتفاع $= ∥ \vec{A} ∥ \cdot ∥ \vec{B} ∥ \sin θ$ .
إذن:

$مساحة متوازي الأضلاع = ∥ \vec{A} \times \vec{B} ∥$

مساحة المثلث

المثلث الذي ضلعاه المتجاوران $\vec{A}$ و $\vec{B}$ مساحته نصف مساحة متوازي الأضلاع المناظر:

$مساحة المثلث A B C = \frac{1}{2} ∥ \vec{A B} \times \vec{A C} ∥$

لحساب مساحة مثلث معلوم رءوسه نكوّن المتجهين من أي رأس إلى الرأسين الآخرين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه $\vec{A} = (1, 2, 3)$ و $\vec{B} = (2, - 1, 1)$ ضلعان متجاوران.

الحل:

$\vec{A} \times \vec{B} = (5, 5, - 5)$ .
المساحة $= \sqrt{25 + 25 + 25} = 5 \sqrt{3}$ وحدة مربعة.

06 3-3-13 الضرب الثلاثي القياسي

التعريف

إذا كانت $\vec{A}$ و $\vec{B}$ و $\vec{C}$ ثلاثة متجهات فإن المقدار $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$ يسمى حاصل الضرب الثلاثي القياسي، وهو عدد حقيقي.
بدلالة المركبات يساوي قيمة المحدد:

$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = ∣ \begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array} ∣$

وقيمة المحدد $= a_{1} (b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2}) - a_{2} (b_{1} c_{3} - b_{3} c_{1}) + a_{3} (b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1})$ .

خواصه

الترتيب الدوري: لا تتغير قيمته إذا بقيت المتجهات في ترتيب دوري واحد:

$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})$

تبديل موضع متجهين يغير الإشارة فقط (لأن الضرب الاتجاهي غير إبدالي).
إذا كانت المتجهات الثلاثة في مستوى واحد (متحدة المستوى) فإن حاصل الضرب الثلاثي القياسي يساوي صفرًا.
يساوي صفرًا أيضًا إذا تساوى متجهان أو توازيا.
لمجموعة يمينية: $\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: أوجد $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})$ إذا كان $\vec{A} = (1, 2, 0)$ و $\vec{B} = (0, 1, 3)$ و $\vec{C} = (2, 0, 1)$ .

الحل:

$\vec{B} \times \vec{C} = ((1) (1) - (3) (0), - [(0) (1) - (3) (2)], (0) (0) - (1) (2)) = (1, 6, - 2)$ .
$\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 1 + 12 + 0 = 13$ .
بالمحدد: $1 (1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) - 2 (0 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + 0 = 1 + 12 = 13$ .

07 3-3-14 حجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه

حجم متوازي السطوح

إذا مثلت المتجهات $\vec{A}$ و $\vec{B}$ و $\vec{C}$ ثلاثة أحرف متجاورة غير مستوية في متوازي سطوح فإن:

$V = ∣ \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) ∣$

التفسير: $∥ \vec{B} \times \vec{C} ∥$ مساحة القاعدة، وارتفاع المجسم هو مركبة $\vec{A}$ في اتجاه العمودي على القاعدة.
القيمة المطلقة تضمن أن الحجم موجب أيًّا كان ترتيب المتجهات.

حجم رباعي الوجوه (الهرم الثلاثي)

رباعي الوجوه الذي أحرفه المتجاورة $\vec{A}$ و $\vec{B}$ و $\vec{C}$ حجمه سدس حجم متوازي السطوح المناظر:

$V = \frac{1}{6} ∣ \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) ∣$

يمكن استخدام ذلك لإيجاد حجم هرم قاعدته مثلث بمعرفة إحداثيات رءوسه الأربعة (نأخذ المتجهات من أحد الرءوس).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: أوجد حجم متوازي السطوح الذي أحرفه المتجاورة $\vec{A} = (1, 2, 0)$ و $\vec{B} = (0, 1, 3)$ و $\vec{C} = (2, 0, 1)$ .

الحل:

من المثال السابق $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 13$ .
$V = ∣ 13 ∣ = 13$ وحدة حجم.

08 3-3-15 ملخص: متى نستخدم أي نوع من الضرب

مقارنة بين الضربين

وجه المقارنة	الضرب القياسي	الضرب الاتجاهي
الرمز	$\vec{A} \cdot \vec{B}$	$\vec{A} \times \vec{B}$
نوع الناتج	عدد حقيقي	متجه
القانون	$∥ \vec{A} ∥ ∥ \vec{B} ∥ \cos θ$	$∥ \vec{A} ∥ ∥ \vec{B} ∥ \sin θ \hat{n}$
الإبدال	إبدالي	غير إبدالي
يساوي صفرًا عند	التعامد	التوازي
أهم استخدام	الزاوية والمركبة والشغل	المساحة واتجاه العمودي على المستوى

كيف تختار

الزاوية بين متجهين أو التعامد أو المركبة: الضرب القياسي.
مساحة أو متجه عمودي على مستوى أو التوازي: الضرب الاتجاهي.
حجم متوازي سطوح أو رباعي وجوه أو وقوع ثلاثة متجهات في مستوى: الضرب الثلاثي القياسي.

الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي القياسي

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 3-3-8 الضرب الاتجاهي لمتجهين

التعريف

قاعدة اليد اليمنى

ملاحظات هامة

02 3-3-9 الضرب الاتجاهي لمتجهات الوحدة الأساسية

المجموعة اليمينية

طريقة التذكر

03 3-3-10 الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية

القانون

حالة خاصة (متجهان في المستوى xy)

04 3-3-11 خواص الضرب الاتجاهي وشرط توازي متجهين

الخواص

شرط التوازي

05 3-3-12 المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي: المساحة

مساحة متوازي الأضلاع

مساحة المثلث

06 3-3-13 الضرب الثلاثي القياسي

التعريف

خواصه

07 3-3-14 حجم متوازي السطوح ورباعي الوجوه

حجم متوازي السطوح

حجم رباعي الوجوه (الهرم الثلاثي)

08 3-3-15 ملخص: متى نستخدم أي نوع من الضرب

مقارنة بين الضربين

كيف تختار

حالة خاصة (متجهان في المستوى $x y$ )