3-1 تطبيقات التكامل غير المحدد

مثال 9: ميل المماس لمنحنى عند أي نقطة $(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>},\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>})$ عليه يساوي ${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}}$، أوجد معادلة المنحنى إذا علم أنه يمر بالنقطة $(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>},\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">5</span>})$. الحل:

• ${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}+{\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}}$ ومنها $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">ln</span>}\mathrm{\mid }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}\mathrm{\mid }+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}$
• بالتعويض بالنقطة $(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>},\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">5</span>})$: $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">5</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">ln</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}$
• $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}$
• معادلة المنحنى: $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">ln</span>}\mathrm{\mid }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}\mathrm{\mid }+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}$

• مثال 10: يتغير مساحة سطح صفيحة بمعدل ${\displaystyle \frac{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}}={\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}}^{-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">0.1</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}$ (بالسنتيمتر المربع لكل ثانية)، وكانت مساحة الصفيحة عند بداية التغير $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">80</span>}$ سم².
• أوجد مساحتها بعد $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">10</span>}$ ثوانٍ.
• الحل:

• $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}=\int {\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}}^{-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">0.1</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}=-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">10</span>}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}}^{-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">0.1</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}$
• عند $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">0</span>}$: $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">80</span>}=-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">10</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}$ ومنها $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">C</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">90</span>}$
• $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>})=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">90</span>}-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">10</span>}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}}^{-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">0.1</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">t</span>}}$
• بعد 10 ثوانٍ: $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">A</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">90</span>}-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">10</span>}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">e</span>}}^{-\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">1</span>}}\approx \mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">86.3</span>}$ سم²