إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

3/5 (وفق خاصية مجموع المقدمات إلى مجموع التوالي يساوي إحدى النسب)

2-2 اتزان مجموعة من القوى المستوية — الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل

يكون الجسم المتماسك الواقع تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية في حالة اتزان استاتيكي إذا تحقق الشرطان:
انعدام متجه محصلة القوى للمجموعة $\vec{R} = \vec{0}$ (لا توجد حركة انتقالية).
انعدام عزوم القوى بالنسبة لنقطة $\vec{M} = \vec{0}$ (لا توجد حركة دورانية).
هذان هما الشرطان الكافيان واللازمان لاتزان مجموعة القوى المستوية.
بتحليل القوى في المستوى $(x, y)$ يكون: $\sum F_{x} = 0$ و $\sum F_{y} = 0$ و $\sum M = 0$ .
نختار نقطة العزوم بحيث تمر بها أكبر عدد من خطوط عمل القوى المجهولة، فيقل عدد المجاهيل في معادلة العزوم.

عندما تكون القوى كلها رأسية يكفي: مجموع القياسات الجبرية للقوى في الاتجاه الرأسي $= 0$ ، ومجموع القياسات الجبرية لعزومها حول نقطة $= 0$ .
في القضيب المنتظم يؤثر الوزن في منتصفه.
رد الفعل عند كل حامل يساوي الضغط الواقع عليه.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 12: لوح خشبي منتظم كتلته 30 كجم وطوله 6 م يرتكز في وضع أفقي على حاملين عند طرفيه $A$ و $B$ ويحمل صندوقًا كتلته 240 كجم على بعد 2 م من $A$ .
أوجد الضغط الواقع على كل حامل.
الحل:

في مسألة الساق التي ترتكز بطرفها $A$ على أرض أفقية خشنة وتستند عند نقطة $C$ على وتد أملس تكون القوى:
وزن الساق $W$ رأسيًّا لأسفل في منتصفها.
رد فعل الوتد $R_{1}$ عمودي على الساق عند نقطة التماس.
رد الفعل عند الطرف $A$ بمركبتيه: $F$ أفقية (احتكاك) و $R_{2}$ رأسية.
بتطبيق: $\sum F_{x} = 0$ ، $\sum F_{y} = 0$ ، $\sum M = 0$ حول $A$ .
عندما تكون الساق على وشك الانزلاق يكون $F = μ R_{2}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 15: ساق منتظمة وزنها 5 ث كجم وطولها 30 سم، ترتكز بطرفها $A$ على أرض أفقية خشنة وبنقطة $C$ على وتد أملس يبعد $A C = 25$ سم وارتفاعه 12.5 سم، وكانت الساق تميل على الأفقي بزاوية $3 0^{\circ}$ وعلى وشك الانزلاق.
أوجد رد فعل الوتد ومعامل الاحتكاك.
الحل:

رد فعل الوتد $R_{1}$ عمودي على الساق، فيصنع مع الرأسي زاوية $3 0^{\circ}$
بأخذ العزوم حول $A$ : $R_{1} \times 25 = 5 \times 15 \cos 3 0^{\circ}$
$R_{1} = \frac{75 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{25} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2.6$ ث كجم
نحلل رد فعل الوتد: المركبة الأفقية $R_{1} \sin 3 0^{\circ}$ والمركبة الرأسية $R_{1} \cos 3 0^{\circ}$
$F = R_{1} \sin 3 0^{\circ} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ و $R_{2} = 5 - R_{1} \cos 3 0^{\circ} = 5 - \frac{9}{4} = \frac{11}{4}$
$μ = \frac{F}{R_{2}} = \frac{3 \sqrt{3} / 4}{11 / 4} = \frac{3 \sqrt{3}}{11} \approx 0.47$

السلم المنتظم الذي يرتكز بطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة وبطرفه العلوي على حائط رأسي أملس تعمل عليه القوى:
وزن السلم $W$ في منتصفه، ووزن الشخص الصاعد $w$ حيث هو.
رد فعل الحائط الأملس $S$ أفقيًّا (عمودي على الحائط).
رد فعل الأرض الخشنة: $R$ رأسيًّا و $F$ أفقيًّا.
الشروط: $F = S$ و $R = W + w$ والعزوم حول الطرف السفلي تساوي صفرًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 16: سلم منتظم وزنه 20 ث كجم يرتكز بطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة وبطرفه العلوي على حائط رأسي أملس، ويميل على الأفقي بزاوية $6 0^{\circ}$ ، ومعامل الاحتكاك بين السلم والأرض $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ .
أثبت أن أقصى مسافة تستطيع فتاة وزنها 60 ث كجم أن تصعدها على السلم تساوي نصف طول السلم.
الحل:

القوى: وزن السلم 20 في منتصفه، وزن الفتاة 60 على بعد $s$ من القاعدة، رد فعل الحائط $S$ أفقي، رد فعل الأرض $R$ و $F$
$R = 20 + 60 = 80$ ث كجم
عند أقصى مسافة يكون السلم على وشك الانزلاق: $F = μ R = \frac{80}{2 \sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}}$ وهذا يساوي $S$ (من $\sum F_{x} = 0$ )
بأخذ العزوم حول الطرف السفلي: $20 \times \frac{L}{2} \cos 6 0^{\circ} + 60 \times s \cos 6 0^{\circ} = S \times L \sin 6 0^{\circ}$
$5 L + 30 s = \frac{40}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} L = 20 L$
$30 s = 15 L$ ومنها $s = \frac{L}{2}$
أقصى مسافة تصعدها الفتاة تساوي نصف طول السلم.