الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل

إيجاد عزم قوة بالنسبة لنقطة، واستخدام نظرية فارينيون والنظرية العامة للعزوم.
محصلة القوى المتوازية المستوية، وشرطا الاتزان العام لجسم متماسك تحت تأثير قوى مستوية.
مفهوم الازدواج وعزمه وتكافؤ الازدواجات واتزانها، والازدواج المحصل، ثم مركز الثقل.

🌳 شجرة المفاهيم

الدرس الثاني: العزوم والاتزان العام والازدواج ومركز الثقل
├── 1-1 عزم قوة بالنسبة لنقطة
│   ├── مفهوم العزم
│   ├── عزم قوة بالنسبة لنقطة
│   └── القياس الجبري للعزم
├── 1-1 مبدأ العزوم (نظرية فارينيون)
│   └── النص
├── 1-1 مجموع عزوم القوى المتلاقية والنظرية العامة للعزوم
│   ├── مجموع عزوم القوى المستوية المتلاقية في نقطة
│   ├── النظرية العامة للعزوم
│   └── تعميم: نقطتان على خط عمل المحصلة
├── 2-1 محصلة القوى المتوازية المستوية
│   ├── قوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه
│   ├── قوتان متوازيتان ومتضادتان في الاتجاه (غير متساويتين)
│   ├── نظرية العزوم للقوى المتوازية
│   ├── محصلة عدة قوى متوازية
│   └── إيجاد محصلة قوتين متوازيتين بالمتجهات
├── 2-2 اتزان مجموعة من القوى المستوية
│   ├── شرطا الاتزان
│   ├── اتزان جسم تحت تأثير قوى متوازية مستوية
│   ├── اتزان ساق على مستوى أفقي خشن ووتد أملس
│   └── اتزان سلم على مستويين متعامدين أحدهما خشن
├── 3-1 الازدواج
│   ├── مفهوم الازدواج
│   ├── عزم الازدواج
│   ├── نظرية: عزم الازدواج ثابت
│   └── اتزان جسم متماسك تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر
├── 3-1 تكافؤ ازدواجين
│   └── التعريف
├── 3-2 الازدواج المحصل
│   ├── نظام القوى المستوية الذي يكافئ ازدواجًا
│   ├── ثلاث قوى مأخوذة في ترتيب دوري على أضلاع مثلث
│   ├── تعميم على مضلع مقفل
│   ├── قاعدة: عزوم حول ثلاث نقط
│   └── الازدواج المحصل
└── مركز الثقل
    ├── تعريف
    ├── الحساب لمجموعة أجسام (أو أجزاء)
    └── جسم مركب

01 1-1 عزم قوة بالنسبة لنقطة

مفهوم العزم

القوة قد تحدث تأثيرًا حركيًّا انتقاليًّا في الجسم، وقد تحدث تأثيرًا دورانيًّا حول نقطة، وهنا نقول إن القوة قادرة على إحداث دوران حول نقطة.
يعتمد التأثير الدوراني على مقدار القوة وعلى بعد خط عمل القوة عن هذه النقطة، ويقاس بـ عزم القوة.
مركز العزم هي النقطة التي يُحسب العزم حولها، و محور العزم هو المستقيم المار بها والعمودي على المستوى الذي يحوي القوة.
ذراع العزم هو طول العمود الساقط من مركز العزم على خط عمل القوة.

عزم قوة بالنسبة لنقطة

إذا أثرت القوة $\vec{F}$ في نقطة $A$ وكان $\vec{r}$ متجه موضع $A$ بالنسبة لمركز العزم $O$ فإن:

${\vec{M}}_{O} = \vec{r} \times \vec{F}$

معيار العزم: $∥ {\vec{M}}_{O} ∥ = ∥ \vec{r} ∥ ∥ \vec{F} ∥ \sin θ = F \times L$ حيث $θ$ الزاوية بين $\vec{r}$ و $\vec{F}$ و $L$ ذراع العزم.
اتجاه متجه العزم عمودي على مستوى القوة والنقطة، ويُعين بقاعدة اليد اليمنى.
في المستوى الإحداثي إذا كانت $\vec{r} = (x, y)$ و $\vec{F} = (F_{x}, F_{y})$ فإن العزم لا يكون إلا في اتجاه $\hat{k}$ :

$M = x F_{y} - y F_{x}$

القياس الجبري للعزم

إذا كانت القوة تعمل على الدوران حول $O$ في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة كان القياس الجبري للعزم موجبًا (متجه العزم في اتجاه $+ \hat{k}$ ).
إذا كانت تعمل على الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة كان القياس الجبري سالبًا.
عزم قوة حول نقطة تقع على خط عملها يساوي صفرًا لأن الذراع صفر.
وحدة قياس العزم = وحدة القوة × وحدة الطول، مثل نيوتن. متر، ث كجم. متر، داين. سم.
إذا تلاشى عزم قوة حول نقطة فإن خط عملها يمر بهذه النقطة (أو أن القوة معدومة).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1: إذا كانت $\hat{i}, \hat{j}$ متجهي وحدة متعامدين وأثرت القوة $\vec{F} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ في النقطة $A (- 1, 3)$ .
أوجد: (أ) عزم القوة بالنسبة لنقطة الأصل (ب) طول العمود الساقط من النقطة $O$ على خط عمل القوة.
الحل:

(أ) $\vec{r} = \vec{O A} = (- 1, 3)$
$M = x F_{y} - y F_{x} = (- 1) (4) - (3) (3) = - 4 - 9 = - 13$
القياس الجبري للعزم $= - 13$ وحدة عزم، ومعيار العزم 13، والقوة تعمل على الدوران في اتجاه دوران عقارب الساعة.
(ب) $∥ \vec{F} ∥ = \sqrt{9 + 16} = 5$
$L = \frac{∥ \vec{M} ∥}{F} = \frac{13}{5} = 2.6$ وحدة طول

02 1-1 مبدأ العزوم (نظرية فارينيون)

النص

عزم قوة بالنسبة لنقطة يساوي مجموع عزوم مركبات هذه القوة بالنسبة لنفس النقطة.
إذا كانت $\vec{F} = F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j}$ تؤثر في نقطة متجه موضعها $(x, y)$ فإن عزمها $= x F_{y} - y F_{x}$ ، أي عزم المركبة $F_{y}$ حول $O$ مضافًا إليه عزم المركبة $F_{x}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3: قوة مقدارها 200 نيوتن تؤثر في الطرف $A$ لقضيب أفقي طوله 1 متر، وتميل على القضيب بزاوية $3 0^{\circ}$ إلى أسفل.
أوجد عزم القوة حول طرف القضيب الآخر $O$ .
الحل:

نحلل القوة إلى مركبتين: $200 \cos 3 0^{\circ} = 100 \sqrt{3}$ نيوتن (توازي القضيب) و $200 \sin 3 0^{\circ} = 100$ نيوتن (عمودية على القضيب)
المركبة الموازية للقضيب خط عملها يمر بـ $O$ فعزمها صفر
عزم المركبة العمودية $= 100 \times 1 = 100$ نيوتن. متر
إذا كانت المركبة تعمل في اتجاه دوران عقارب الساعة فالقياس الجبري $= - 100$ نيوتن. متر
الحل بالطريقة الأخرى: ذراع القوة $L = 1 \times \sin 3 0^{\circ} = 0.5$ م و $M = 200 \times 0.5 = 100$ وهي نفس النتيجة.

03 1-1 مجموع عزوم القوى المتلاقية والنظرية العامة للعزوم

مجموع عزوم القوى المستوية المتلاقية في نقطة

نظرية: مجموع عزوم عدة قوى مستوية متلاقية في نقطة بالنسبة لأي نقطة في الفراغ يساوي عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها.
البرهان: إذا تلاقت القوى ${\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}, \dots, {\vec{F}}_{n}$ في النقطة $A$ ومحصلتها $\vec{R}$ ، فمجموع العزوم حول $O$ : $\vec{r} \times {\vec{F}}_{1} + \vec{r} \times {\vec{F}}_{2} + \dots + \vec{r} \times {\vec{F}}_{n} = \vec{r} \times \vec{R}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4: تؤثر القوى ${\vec{F}}_{1} = 3 \hat{i} + \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{2} = - 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{3} = \hat{i} - 5 \hat{j}$ في النقطة $A (1, - 2)$ . أوجد مجموع عزوم هذه القوى حول النقطة $B (2, 0)$ ، ثم أوجد عزم محصلتها حول $B$ . الحل:

$\vec{r} = \vec{B A} = (1 - 2, - 2 - 0) = (- 1, - 2)$
$M_{1} = (- 1) (1) - (- 2) (3) = - 1 + 6 = 5$
$M_{2} = (- 1) (4) - (- 2) (- 2) = - 4 - 4 = - 8$
$M_{3} = (- 1) (- 5) - (- 2) (1) = 5 + 2 = 7$
مجموع العزوم $= 5 - 8 + 7 = 4$
المحصلة $\vec{R} = (3 - 2 + 1, 1 + 4 - 5) = (2, 0)$
عزم المحصلة $= (- 1) (0) - (- 2) (2) = 4$
نلاحظ أن مجموع عزوم القوى يساوي عزم محصلتها.

النظرية العامة للعزوم

المجموع الجبري لعزوم مجموعة من القوى حول نقطة ما يساوي عزم المحصلة حول نفس النقطة.

تعميم: نقطتان على خط عمل المحصلة

إذا أثرت عدة قوى على جسم في مستوى وكانت $A$ و $B$ نقطتين في المستوى، فإن:
إذا كان مجموع عزوم القوى حول $A$ = مجموع عزوم القوى حول $B$ فإن خط عمل المحصلة يوازي $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ .
إذا كان مجموع عزوم القوى حول $A$ = − مجموع عزوم القوى حول $B$ فإن خط عمل المحصلة يمر بمنتصف $\overline{A B}$ .
إذا كان مجموع عزوم القوى حول نقطة ما يساوي صفرًا وكانت هذه القوى ليس لها محصلة صفرية فإن خط عمل المحصلة يمر بهذه النقطة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 5: تؤثر القوتان ${\vec{F}}_{1} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{2} = - \hat{i}$ في النقطة $A (1, 1)$ . أثبت باستخدام العزوم أن خط عمل المحصلة يوازي المستقيم المار بالنقطتين $B (2, 1)$ و $C (3, 2)$ . الحل:

المحصلة $\vec{R} = (2, 2)$
$\vec{B A} = (- 1, 0)$ فعزم المحصلة حول $B$ $= (- 1) (2) - (0) (2) = - 2$
$\vec{C A} = (- 2, - 1)$ فعزم المحصلة حول $C$ $= (- 2) (2) - (- 1) (2) = - 4 + 2 = - 2$
العزمان متساويان والمحصلة لا تساوي صفرًا، فخط عمل المحصلة يوازي $\overset{\leftrightarrow}{B C}$
وفعلًا $\vec{R} = (2, 2)$ يوازي $\vec{B C} = (1, 1)$ .

04 2-1 محصلة القوى المتوازية المستوية

قوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه

إذا أثرت قوتان متوازيتان في نفس الاتجاه مقدارهما $P_{1}$ و $P_{2}$ في نقطتين $A$ و $B$ من جسم متماسك فإن محصلتهما $R$ قوة تؤثر في نقطة $C$ على القطعة $\overline{A B}$ بحيث:

$R = P_{1} + P_{2}, P_{1} \times A C = P_{2} \times C B$

محصلة قوتين متوازيتين ومتحدتي الاتجاه هي قوة تعمل في اتجاههما، ويساوي معيارها مجموع معياريهما، وتقسم خط عمليهما من الداخل بنسبة عكسية لمعياريهما.
نقطة تأثير المحصلة أقرب إلى القوة الأكبر.
إذا كانت القوتان متساويتين فنقطة التأثير هي منتصف $\overline{A B}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 6: قوتان متوازيتان في نفس الاتجاه مقدارهما 5 و 7 نيوتن تؤثران في نقطتين $A$ و $B$ حيث $A B = 36$ سم. أوجد محصلتهما ونقطة تأثيرها. الحل:

$R = 5 + 7 = 12$ نيوتن في اتجاه القوتين
نفرض نقطة التأثير $C \in \overline{A B}$ : $5 \times A C = 7 \times C B = 7 (36 - A C)$
$12 A C = 252$ ومنها $A C = 21$ سم
المحصلة 12 نيوتن وتؤثر في نقطة تبعد 21 سم عن $A$

قوتان متوازيتان ومتضادتان في الاتجاه (غير متساويتين)

إذا كانت $P_{1} > P_{2}$ وأثرت القوتان المتضادتان في $A$ و $B$ فإن محصلتهما:

$R = P_{1} - P_{2}, P_{1} \times A C = P_{2} \times B C$

المحصلة تعمل في اتجاه القوة الأكبر، ويساوي معيارها الفرق بين معياريهما، وتقع نقطة تأثيرها خارج $\overline{A B}$ من ناحية القوة الأكبر.
يقسم خط عمل المحصلة المسافة بين خطي عمل القوتين من الخارج بنسبة عكسية لمعياريهما.
إذا كانت القوتان متساويتين ومتضادتين فلا توجد لهما محصلة وتكونان ازدواجًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 7: قوتان متوازيتان ومتضادتان في الاتجاه مقدارهما 40 و 100 نيوتن والمسافة بين خطي عمليهما 240 سم. أوجد محصلتهما. الحل:

$R = 100 - 40 = 60$ نيوتن في اتجاه القوة 100 نيوتن
نفرض أن نقطة التأثير $C$ تبعد $x$ عن خط عمل القوة 100: $100 x = 40 (x + 240)$
$60 x = 9600$ ومنها $x = 160$ سم
المحصلة 60 نيوتن في اتجاه القوة الكبرى وتؤثر في نقطة خارج القطعة الواصلة بين القوتين على بعد 160 سم من خط عمل القوة 100 نيوتن.

نظرية العزوم للقوى المتوازية

مجموع عزوم أي عدد محدود من القوى المتوازية المستوية بالنسبة لنقطة يساوي عزم محصلة هذه القوى بالنسبة لنفس النقطة.
نبرهن أولًا عندما تكون المجموعة قوتين فقط (متحدتي الاتجاه أو متضادتين)، ثم نعمم للمجموعة الأكبر بتحصيل أي قوتين على التوالي.

محصلة عدة قوى متوازية

لتعيين محصلة عدة قوى متوازية في مستوى: نختار اتجاهًا موجبًا لمتجه الوحدة $\hat{e}$ على امتداد القوى.
المحصلة $R = \sum P_{i}$ (جبريًّا).
لتعيين موضعها نفرض أن المحصلة تؤثر على بعد $x$ من نقطة معينة $A$ ، ثم نساوي مجموع عزوم القوى حول $A$ بعزم المحصلة حول $A$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 8: أربع قوى متوازية في الاتجاه الرأسي تؤثر على قضيب عند نقاط $A, B, C, D$ حيث $A B = 2$ سم و $B C = 3$ سم و $C D = 4$ سم: 10 نيوتن لأعلى عند $A$ ، 30 نيوتن لأسفل عند $B$ ، 20 نيوتن لأعلى عند $C$ ، 40 نيوتن لأعلى عند $D$ .
أوجد مقدار واتجاه المحصلة ونقطة تأثيرها.
الحل:

$R = 10 - 30 + 20 + 40 = 40$ نيوتن لأعلى
نأخذ العزوم حول $A$ (القوة لأعلى يمين $A$ عزمها موجب): $- 30 \times 2 + 20 \times 5 + 40 \times 9 = - 60 + 100 + 360 = 400$
$40 \times x = 400$ ومنها $x = 10$ سم من $A$
المحصلة 40 نيوتن لأعلى وتؤثر في نقطة على امتداد القضيب على بعد 10 سم من $A$ (خارج $D$ بمقدار 1 سم).

إيجاد محصلة قوتين متوازيتين بالمتجهات

إذا كانت القوتان ${\vec{F}}_{1}$ و ${\vec{F}}_{2}$ متوازيتين وتؤثران في النقطتين $A (x_{1}, y_{1})$ و $B (x_{2}, y_{2})$ ومعيارهما $m_{1}, m_{2}$ فإن نقطة تأثير المحصلة $C$ تقسم $\overline{A B}$ من الداخل بنسبة $A C : C B = m_{2} : m_{1}$ (متحدتا الاتجاه):

$C = (\frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1} y_{1} + m_{2} y_{2}}{m_{1} + m_{2}})$

✍️ أمثلة محلولة

مثال 11: أثرت القوتان ${\vec{F}}_{1} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{2} = 4 \hat{i} - 6 \hat{j}$ في النقطتين $A (3, 1)$ و $B (9, 4)$ على الترتيب. أوجد محصلتهما ونقطة تأثيرها. الحل:

$\vec{R} = {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} = 6 \hat{i} - 9 \hat{j}$
القوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه ( ${\vec{F}}_{2} = 2 {\vec{F}}_{1}$ )، فتقسم النقطة $C$ القطعة $\overline{A B}$ بنسبة $A C : C B = 2 : 1$
$C = (\frac{1 \times 3 + 2 \times 9}{3}, \frac{1 \times 1 + 2 \times 4}{3}) = (7, 3)$

05 2-2 اتزان مجموعة من القوى المستوية

شرطا الاتزان

يكون الجسم المتماسك الواقع تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية في حالة اتزان استاتيكي إذا تحقق الشرطان:
انعدام متجه محصلة القوى للمجموعة $\vec{R} = \vec{0}$ (لا توجد حركة انتقالية).
انعدام عزوم القوى بالنسبة لنقطة $\vec{M} = \vec{0}$ (لا توجد حركة دورانية).
هذان هما الشرطان الكافيان واللازمان لاتزان مجموعة القوى المستوية.
بتحليل القوى في المستوى $(x, y)$ يكون: $\sum F_{x} = 0$ و $\sum F_{y} = 0$ و $\sum M = 0$ .
نختار نقطة العزوم بحيث تمر بها أكبر عدد من خطوط عمل القوى المجهولة، فيقل عدد المجاهيل في معادلة العزوم.

اتزان جسم تحت تأثير قوى متوازية مستوية

عندما تكون القوى كلها رأسية يكفي: مجموع القياسات الجبرية للقوى في الاتجاه الرأسي $= 0$ ، ومجموع القياسات الجبرية لعزومها حول نقطة $= 0$ .
في القضيب المنتظم يؤثر الوزن في منتصفه.
رد الفعل عند كل حامل يساوي الضغط الواقع عليه.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 12: لوح خشبي منتظم كتلته 30 كجم وطوله 6 م يرتكز في وضع أفقي على حاملين عند طرفيه $A$ و $B$ ويحمل صندوقًا كتلته 240 كجم على بعد 2 م من $A$ .
أوجد الضغط الواقع على كل حامل.
الحل:

كتلة اللوح 30 كجم فوزنه 30 ث كجم ويؤثر في منتصفه (على بعد 3 م من كل طرف)
نفرض أن رد الفعل عند $A$ هو $R_{A}$ وعند $B$ هو $R_{B}$
$R_{A} + R_{B} = 30 + 240 = 270$ ... (1)
بأخذ العزوم حول $B$ : $R_{A} \times 6 = 30 \times 3 + 240 \times 4$
$6 R_{A} = 90 + 960 = 1050$ ومنها $R_{A} = 175$ ث كجم
من (1): $R_{B} = 95$ ث كجم
ملاحظة: كلما اقترب الصندوق من $A$ زاد رد فعل $A$ .

اتزان ساق على مستوى أفقي خشن ووتد أملس

في مسألة الساق التي ترتكز بطرفها $A$ على أرض أفقية خشنة وتستند عند نقطة $C$ على وتد أملس تكون القوى:
وزن الساق $W$ رأسيًّا لأسفل في منتصفها.
رد فعل الوتد $R_{1}$ عمودي على الساق عند نقطة التماس.
رد الفعل عند الطرف $A$ بمركبتيه: $F$ أفقية (احتكاك) و $R_{2}$ رأسية.
بتطبيق: $\sum F_{x} = 0$ ، $\sum F_{y} = 0$ ، $\sum M = 0$ حول $A$ .
عندما تكون الساق على وشك الانزلاق يكون $F = μ R_{2}$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 15: ساق منتظمة وزنها 5 ث كجم وطولها 30 سم، ترتكز بطرفها $A$ على أرض أفقية خشنة وبنقطة $C$ على وتد أملس يبعد $A C = 25$ سم وارتفاعه 12.5 سم، وكانت الساق تميل على الأفقي بزاوية $3 0^{\circ}$ وعلى وشك الانزلاق.
أوجد رد فعل الوتد ومعامل الاحتكاك.
الحل:

رد فعل الوتد $R_{1}$ عمودي على الساق، فيصنع مع الرأسي زاوية $3 0^{\circ}$
بأخذ العزوم حول $A$ : $R_{1} \times 25 = 5 \times 15 \cos 3 0^{\circ}$
$R_{1} = \frac{75 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{25} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \approx 2.6$ ث كجم
نحلل رد فعل الوتد: المركبة الأفقية $R_{1} \sin 3 0^{\circ}$ والمركبة الرأسية $R_{1} \cos 3 0^{\circ}$
$F = R_{1} \sin 3 0^{\circ} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ و $R_{2} = 5 - R_{1} \cos 3 0^{\circ} = 5 - \frac{9}{4} = \frac{11}{4}$
$μ = \frac{F}{R_{2}} = \frac{3 \sqrt{3} / 4}{11 / 4} = \frac{3 \sqrt{3}}{11} \approx 0.47$

اتزان سلم على مستويين متعامدين أحدهما خشن

السلم المنتظم الذي يرتكز بطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة وبطرفه العلوي على حائط رأسي أملس تعمل عليه القوى:
وزن السلم $W$ في منتصفه، ووزن الشخص الصاعد $w$ حيث هو.
رد فعل الحائط الأملس $S$ أفقيًّا (عمودي على الحائط).
رد فعل الأرض الخشنة: $R$ رأسيًّا و $F$ أفقيًّا.
الشروط: $F = S$ و $R = W + w$ والعزوم حول الطرف السفلي تساوي صفرًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 16: سلم منتظم وزنه 20 ث كجم يرتكز بطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة وبطرفه العلوي على حائط رأسي أملس، ويميل على الأفقي بزاوية $6 0^{\circ}$ ، ومعامل الاحتكاك بين السلم والأرض $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ .
أثبت أن أقصى مسافة تستطيع فتاة وزنها 60 ث كجم أن تصعدها على السلم تساوي نصف طول السلم.
الحل:

القوى: وزن السلم 20 في منتصفه، وزن الفتاة 60 على بعد $s$ من القاعدة، رد فعل الحائط $S$ أفقي، رد فعل الأرض $R$ و $F$
$R = 20 + 60 = 80$ ث كجم
عند أقصى مسافة يكون السلم على وشك الانزلاق: $F = μ R = \frac{80}{2 \sqrt{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}}$ وهذا يساوي $S$ (من $\sum F_{x} = 0$ )
بأخذ العزوم حول الطرف السفلي: $20 \times \frac{L}{2} \cos 6 0^{\circ} + 60 \times s \cos 6 0^{\circ} = S \times L \sin 6 0^{\circ}$
$5 L + 30 s = \frac{40}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} L = 20 L$
$30 s = 15 L$ ومنها $s = \frac{L}{2}$
أقصى مسافة تصعدها الفتاة تساوي نصف طول السلم.

06 3-1 الازدواج

مفهوم الازدواج

قد يظن البعض أن الجسم الذي محصلة القوى المؤثرة عليه صفر يظل ساكنًا، ولكن إذا أثرت عليه قوتان متساويتان ومتضادتان في الاتجاه (محصلتهما صفر) فإنه يتحرك حركة دورانية حول نقطة، وتعتمد سرعة الدوران على عدة أشياء.
الازدواج: نظام من القوى يتكون من قوتين متساويتين في المعيار ومتضادتين في الاتجاه ولا يجمعهما خط عمل واحد.
مثال: القوتان المؤثرتان على عجلة قيادة السيارة بيدي السائق.
مجموع عزمي القوتين حول أي نقطة في المستوى لا يساوي صفرًا.

عزم الازدواج

عزم الازدواج هو مجموع عزمي قوتي الازدواج حول أي نقطة في الفراغ، ومعياره يساوي حاصل ضرب معيار إحدى القوتين في البعد بينهما:

$∥ \vec{G} ∥ = F \times L$

$L$ هو ذراع الازدواج، أي البعد العمودي بين خطي عمل القوتين.
القياس الجبري للعزم موجب إذا كان الدوران عكس عقارب الساعة وسالب إذا كان في اتجاه عقارب الساعة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 17: أوجد القياس الجبري لعزم الازدواج المكوَّن من قوتين مقدار كل منهما 50 نيوتن، والبعد العمودي بينهما 20 سم، ويعملان على الدوران في اتجاه عقارب الساعة.
الحل:

$G = - F \times L = - 50 \times 20 = - 1000$ نيوتن. سم
(الإشارة السالبة لأن الدوران في اتجاه عقارب الساعة)

نظرية: عزم الازدواج ثابت

عزم الازدواج قيمة ثابتة لا تعتمد على النقطة التي نسب إليها عزما قوتيه.
البرهان: لتكن القوتان $\vec{F}$ عند $A$ و $- \vec{F}$ عند $B$ ولتكن $O$ نقطة عامة، فمجموع العزوم حول $O$ : $\vec{O A} \times \vec{F} + \vec{O B} \times (- \vec{F}) = (\vec{O A} - \vec{O B}) \times \vec{F} = \vec{B A} \times \vec{F}$ .
هذه الصورة الأخيرة لا تعتمد على موضع النقطة $O$ .
عزم الازدواج $= \vec{B A} \times \vec{F}$ أي عزم إحدى القوتين بالنسبة لنقطة على خط عمل الأخرى.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 18: إذا كانت القوتان ${\vec{F}}_{1} = 2 \hat{i} + b \hat{j}$ و ${\vec{F}}_{2} = a \hat{i} - 5 \hat{j}$ تكونان ازدواجًا وتؤثران في النقطتين $A (- 1, 3)$ و $B (2, 2)$ على الترتيب. أوجد قيمة كل من $a$ و $b$ ثم أوجد عزم الازدواج. الحل:

القوتان ازدواج فـ ${\vec{F}}_{1} = - {\vec{F}}_{2}$ : $2 = - a$ و $b = 5$ أي $a = - 2$ و $b = 5$
عزم الازدواج = عزم ${\vec{F}}_{1}$ حول $B$ $= \vec{B A} \times {\vec{F}}_{1}$ حيث $\vec{B A} = (- 3, 1)$
$G = (- 3) (5) - (1) (2) = - 15 - 2 = - 17$ وحدة عزم
أي أن عزم الازدواج 17 في اتجاه دوران عقارب الساعة.

اتزان جسم متماسك تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر

يقال لجسم متماسك إنه متزن تحت تأثير ازدواجين مستويين إذا كان مجموع عزميهما هو المتجه الصفري.
إذا كان ${\vec{G}}_{1}$ و ${\vec{G}}_{2}$ عزمي الازدواجين فإن شرط اتزان الجسم: ${\vec{G}}_{1} + {\vec{G}}_{2} = \vec{0}$ .
وبوجه عام: إذا أثر على الجسم عدة ازدواجات مستوية عزومها ${\vec{G}}_{1}, {\vec{G}}_{2}, \dots, {\vec{G}}_{n}$ فشرط توازن الجسم: ${\vec{G}}_{1} + {\vec{G}}_{2} + \dots + {\vec{G}}_{n} = \vec{0}$ .
نتيجة: يتزن الجسم تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر إذا انعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم الازدواجات.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 19: صفيحة مستطيلة $A B C D$ فيها $A B = 30$ سم و $B C = 40$ سم، أثرت عليها القوى: 12 نيوتن في اتجاه $\vec{A B}$ و 12 نيوتن في اتجاه $\vec{C D}$ ، و 16 نيوتن في اتجاه $\vec{C B}$ و 16 نيوتن في اتجاه $\vec{A D}$ .
أثبت أن الصفيحة متزنة.
الحل:

القوتان 12 و 12 متساويتان ومتضادتان وخطا عملهما $A B$ و $C D$ يبعدان 40 سم: ازدواج عزمه $+ 12 \times 40 = + 480$ نيوتن. سم (عكس عقارب الساعة)
القوتان 16 و 16 في اتجاهي $\vec{C B}$ و $\vec{A D}$ خطا عملهما $B C$ و $A D$ يبعدان 30 سم: ازدواج عزمه $- 16 \times 30 = - 480$ نيوتن. سم (في اتجاه عقارب الساعة)
مجموع عزمي الازدواجين $= 480 - 480 = 0$ فالصفيحة متزنة.

07 3-1 تكافؤ ازدواجين

التعريف

يقال لازدواجين مستويين إنهما متكافئان إذا تساوى القياسان الجبريان لمتجهي عزميهما.
الازدواجان المتكافئان لهما نفس التأثير الدوراني على الجسم المتماسك.
لا يتغير تأثير الازدواج على الجسم بـ: إزاحته إلى موضع آخر في مستواه، أو إلى مستوى آخر يوازي مستواه، أو بتدويره في نفس مستواه، أو بتغيير مقدار قوتيه وذراعه مع بقاء حاصل ضربهما ثابتًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 21: $A B C D$ مستطيل فيه $A B = 12$ سم و $B C = 16$ سم أثرت قوتان مقدار كل منهما 96 نيوتن في اتجاهي $\vec{A B}$ و $\vec{C D}$ .
أوجد مقدار كل من القوتين المتساويتين والمؤثرتين في $A$ و $C$ في اتجاه يوازي $\vec{B D}$ بحيث يتكافأ الازدواج المكوَّن منهما مع الازدواج الأول.
الحل:

عزم الازدواج الأول $= 96 \times 16 = 1536$ نيوتن. سم (القوتان على خطين متوازيين يبعدان $B C = 16$ سم)
القطر $A C = \sqrt{144 + 256} = 20$ سم
القوتان الجديدتان توازيان $B D$ وتؤثران في $A$ و $C$ ، وطول العمود بين خطي عملهما يساوي ضعف بعد $A$ عن $B D$
بعد $A$ عن $B D$ $= \frac{A B \times A D}{B D} = \frac{12 \times 16}{20} = 9.6$ سم
ذراع الازدواج الجديد $= 2 \times 9.6 = 19.2$ سم
لتكافؤ الازدواجين: $P \times 19.2 = 1536$ ومنها $P = 80$ نيوتن

08 3-2 الازدواج المحصل

نظام القوى المستوية الذي يكافئ ازدواجًا

يقال لعدة قوى مستوية إنها تكافئ ازدواجًا إذا تحقق الشرطان:
انعدام محصلة القوى (أو مجموع المركبات الجبرية للقوى في أي اتجاه $= 0$ ).
مجموع عزوم القوى حول أي نقطة لا ينعدم.
ملحوظة: تحقق أحد الشرطين فقط لا يكفي لإثبات أن القوى تكافئ ازدواجًا، فالقوى المتلاقية في نقطة إذا انعدمت محصلتها تكون متزنة ولا تكافئ ازدواجًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 22: قضيب خفيف $A B$ تؤثر عليه القوى 15 نيوتن لأعلى عند $A$ و 8 نيوتن لأسفل عند نقطة تبعد 5 سم من $A$ و 7 نيوتن لأسفل عند $B$ حيث $A B = 14$ سم (ثلاث قوى رأسية).
أثبت أن المجموعة تكافئ ازدواجًا وأوجد القياس الجبري لعزمه.
الحل:

نفرض أن اتجاه القوة 15 هو الموجب: $R = 15 - 8 - 7 = 0$ فمحصلة القوى معدومة
لا بد أن تكون المجموعة متزنة أو تكافئ ازدواجًا، ولذلك نوجد مجموع عزوم القوى حول $A$ : $- 8 \times 5 - 7 \times 14 = - 40 - 98 = - 138$ نيوتن. سم (غير صفرية)
المجموعة تكافئ ازدواجًا قياسه الجبري $- 138$ نيوتن. سم.

ثلاث قوى مأخوذة في ترتيب دوري على أضلاع مثلث

قاعدة: إذا أثرت ثلاث قوى مستوية وغير متلاقية في جسم متماسك وتمثلها تمامًا أضلاع مثلث مأخوذة في ترتيب دوري واحد كانت هذه المجموعة تكافئ ازدواجًا معيار عزمه يساوي حاصل ضرب ضعف مساحة المثلث في مقدار القوة الممثل لوحدة الأطوال.
البرهان: القوى الثلاث ${\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}, {\vec{F}}_{3}$ تمثل $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{C A}$ تمثيلًا تامًّا بحيث $\frac{F_{1}}{A B} = \frac{F_{2}}{B C} = \frac{F_{3}}{C A} = m$ .
مجموع الأضلاع المتجهة $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ فمحصلة القوى تساوي صفرًا.
القوتان ${\vec{F}}_{1}$ و ${\vec{F}}_{2}$ المتلاقيتان في $B$ محصلتهما $- {\vec{F}}_{3}$ ، فالمجموعة تكافئ القوتين ${\vec{F}}_{3}$ عند $C$ و $- {\vec{F}}_{3}$ عند $B$ ، أي ازدواجًا ذراعه $B D$ (العمود من $B$ على $A C$ ).
معيار عزم الازدواج $= F_{3} \times B D = m \times C A \times B D = m \times 2 مساحة (△ A B C)$ .

✍️ أمثلة محلولة

مثال 23: $A B C$ مثلث قائم الزاوية في $B$ فيه $A B = 6$ سم و $B C = 8$ سم و $A C = 10$ سم، أثرت قوى مقاديرها 3 و 4 و 5 نيوتن في اتجاهات $\vec{A B}$ و $\vec{B C}$ و $\vec{C A}$ على الترتيب.
أثبت أن المجموعة تكافئ ازدواجًا وأوجد معيار عزمه.
الحل:

$\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = 0.5$ نيوتن لكل سم، فالقوى تمثلها أضلاع المثلث تمامًا في ترتيب دوري
المجموعة تكافئ ازدواجًا
مساحة المثلث $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ سم²
معيار عزم الازدواج $= 2 \times 24 \times 0.5 = 24$ نيوتن. سم

تعميم على مضلع مقفل

إذا أثرت عدة قوى مستوية في جسم متماسك ومثلتها تمامًا أضلاع مضلع مقفل مأخوذة في ترتيب دوري واحد، كانت هذه القوى تكافئ ازدواجًا معيار عزمه يساوي حاصل ضرب ضعف مساحة سطح المضلع في مقدار القوة الممثل لوحدة الأطوال.

قاعدة: عزوم حول ثلاث نقط

إذا كان مجموع القياسات الجبرية لعزوم مجموعة من القوى المستوية بالنسبة لثلاث نقط في مستواها ليست على استقامة واحدة مقدارًا ثابتًا لا يساوي الصفر، كانت هذه المجموعة تكافئ ازدواجًا القياس الجبري لعزمه يساوي هذا المقدار الثابت.
البرهان: أي مجموعة من القوى إما أن تؤول إلى قوة واحدة $R$ أو تؤول إلى ازدواج أو تكون متزنة. لو كانت تؤول إلى قوة واحدة $R$ لانعدم مجموع العزوم حول نقطة على خط عملها، ولكانت أبعاد النقاط الثلاث عن خط عمل $R$ كلها متساوية $L_{1} = L_{2} = L_{3}$ مما يعني أنها على مستقيم واحد يوازي $R$ ، وهذا يتنافى مع الفرض، فالمجموعة تكافئ ازدواجًا قياسه الجبري يساوي المقدار الثابت.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 25: نقاط $A, B, C$ ليست على استقامة واحدة، ومجموع عزوم قوى مستوية بالنسبة لكل منها يساوي $- 80$ نيوتن. سم.
بيّن أن هذه القوى تكافئ ازدواجًا وأوجد عزمه.
الحل:

مجموع العزوم حول النقاط الثلاث ثابت وغير صفري
بحسب القاعدة تكافئ المجموعة ازدواجًا قياسه الجبري $- 80$ نيوتن. سم (في اتجاه عقارب الساعة).

الازدواج المحصل

مجموع ازدواجين مستويين هو ازدواج عزمه يساوي مجموع عزمي الازدواجين $G = G_{1} + G_{2}$ ، ويسمى الازدواج المحصل.
وعمومًا الازدواج المحصل لعدة ازدواجات مستوية عزمه = المجموع الجبري لعزومها.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 26: $A B C D$ مربع طول ضلعه 20 سم، أثرت قوتان مقدار كل منهما 30 نيوتن في اتجاهي $\vec{A D}$ و $\vec{C B}$ ، وقوتان مقدار كل منهما 50 نيوتن في اتجاهي $\vec{A B}$ و $\vec{C D}$ .
أوجد القياس الجبري لعزم الازدواج المحصل.
الحل:

القوتان 30 و 30 تكوِّنان ازدواجًا قياسه الجبري $G_{1} = - 30 \times 20 = - 600$ نيوتن. سم (في اتجاه عقارب الساعة)
القوتان 50 و 50 تكوِّنان ازدواجًا قياسه الجبري $G_{2} = + 50 \times 20 = + 1000$ نيوتن. سم (عكس عقارب الساعة)
الازدواج المحصل $G = G_{1} + G_{2} = - 600 + 1000 = + 400$ نيوتن. سم

09 مركز الثقل

تعريف

مركز الثقل هو نقطة تأثير ثقل الجسم الكلي، وهي نقطة تأثير محصلة أوزان أجزاء الجسم (قوى متوازية في اتجاه رأسي).
يقع مركز ثقل القضيب المنتظم في منتصفه، ومركز ثقل الصفيحة المستطيلة عند تقاطع قطريها، ومركز ثقل الصفيحة المثلثة عند نقطة تقاطع متوسطاتها على بعد ثلث الارتفاع من القاعدة.

الحساب لمجموعة أجسام (أو أجزاء)

إذا كانت كتل $m_{1}, m_{2}, \dots$ في النقاط التي إحداثياتها $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots$ فإن إحداثيي مركز الثقل:

$\overset{ˉ}{x} = \frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}}, \overset{ˉ}{y} = \frac{\sum m_{i} y_{i}}{\sum m_{i}}$

نحصل على القانونين من نظرية العزوم للقوى المتوازية: عزم المحصلة (الوزن الكلي) = مجموع عزوم الأوزان.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 27: ثلاثة أثقال 2 و 3 و 5 نيوتن موضوعة على قضيب خفيف عند النقاط التي إحداثياتها (على امتداده) 1 و 4 و 6 م.
أوجد مركز ثقل المجموعة.
الحل:

$\overset{ˉ}{x} = \frac{2 (1) + 3 (4) + 5 (6)}{2 + 3 + 5} = \frac{2 + 12 + 30}{10} = 4.4$ م

جسم مركب

لحساب مركز ثقل جسم مركب نقسمه إلى أجزاء بسيطة، ونعتبر وزن كل جزء مؤثرًا في مركز ثقله، ثم نطبق القانونين السابقين.
عندما تحذف قطعة من جسم يمكن اعتبار وزن الجزء المحذوف سالبًا (طريقة الكتل السالبة).

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

أسئلة تفاعلية حصرية على نمط الاختبار الوزاري 2026/2027 مبنية على محتوى هذا الدرس فقط، مع التفسير العلمي وسبب صحة أو خطأ كل خيار.

سؤال وزاري تطبيقي

قوتان تكونان ازدواجاً مقدار إحداهما 20 نيوتن وطول ذراع الازدواج بينهما 15 cm، فإن عزم الازدواج بوحدة (نيوتن · متر) يساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كان a/b = c/d = 3/5، فإن قيمة المقدار (2a + 3c) / (2b + 3d) تساوي:

سؤال وزاري تطبيقي

العدد الذي إذا أُضيف إلى كل من الأعداد 3 ، 5 ، 8 ، 12 تصبح في تناسب متتالٍ هو:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كانت الكميات a, b, c, d في تناسب متسلسل، فإن a/d تساوي بدلالة ثابت التناسب m:

سؤال وزاري تطبيقي

إذا كانت ص تتغير طردياً مع س (y proportional to x)، وكانت ص = 14 عندما س = 42، فإن قيمة ص عندما س = 60 تساوي:

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

اختبر استيعابك الشامل مع المؤقت الزمني وحساب الدرجات والمراجعة التفصيلية لكل سؤال.

🚀 ابدأ بنك الأسئلة الشامل (300+ سؤال) الآن

🧭 نقاط الدرس — اختر نقطة وذاكرها مع بنك أسئلتها

🌳 شجرة المفاهيم

01 1-1 عزم قوة بالنسبة لنقطة

مفهوم العزم

عزم قوة بالنسبة لنقطة

القياس الجبري للعزم

02 1-1 مبدأ العزوم (نظرية فارينيون)

النص

03 1-1 مجموع عزوم القوى المتلاقية والنظرية العامة للعزوم

مجموع عزوم القوى المستوية المتلاقية في نقطة

النظرية العامة للعزوم

تعميم: نقطتان على خط عمل المحصلة

04 2-1 محصلة القوى المتوازية المستوية

قوتان متوازيتان ومتحدتا الاتجاه

قوتان متوازيتان ومتضادتان في الاتجاه (غير متساويتين)

نظرية العزوم للقوى المتوازية

محصلة عدة قوى متوازية

إيجاد محصلة قوتين متوازيتين بالمتجهات

05 2-2 اتزان مجموعة من القوى المستوية

شرطا الاتزان

اتزان جسم تحت تأثير قوى متوازية مستوية

اتزان ساق على مستوى أفقي خشن ووتد أملس

اتزان سلم على مستويين متعامدين أحدهما خشن

06 3-1 الازدواج

مفهوم الازدواج

عزم الازدواج

نظرية: عزم الازدواج ثابت

اتزان جسم متماسك تحت تأثير ازدواجين مستويين أو أكثر

07 3-1 تكافؤ ازدواجين

التعريف

08 3-2 الازدواج المحصل

نظام القوى المستوية الذي يكافئ ازدواجًا

ثلاث قوى مأخوذة في ترتيب دوري على أضلاع مثلث

تعميم على مضلع مقفل

قاعدة: عزوم حول ثلاث نقط

الازدواج المحصل

09 مركز الثقل

تعريف

الحساب لمجموعة أجسام (أو أجزاء)

جسم مركب

تحدَّ نفسك: تقييمات وزارية تفاعلية على هذا الدرس

هل أنت جاهز لخوض الاختبار الوزاري الكامل وبنك الـ 300 سؤال؟

أسئلة مستوى صعب على الدرس (نظام الامتحان)