أولًا: أسئلة الاختيار من متعدد
يتشابه مضلعان إذا كان
أي زوج من المستطيلات الآتية متشابه؟
إذا كان ABCD ~ XYZW و AB = 6 و XY = 9 و BC = 8 فإن YZ تساوي
مضلعان متشابهان محيطاهما 24 سم و 36 سم، نسبة التشابه بينهما
إذا كانت نسبة التشابه بين مضلعين 1 : 3 فإن نسبة مساحتيهما
مثلثان متشابهان مساحتاهما 16 سم² و 49 سم²، نسبة التشابه
أي الأشكال الآتية متشابهة دائمًا؟
مضلعان متشابهان محيطاهما 20 و 30 ومساحة الأصغر 16 سم²، فمساحة الأكبر
أبسط حالات التشابه عند تساوي قياسي زاويتين في مثلثين هي حالة
المثلثان اللذان أضلاعهما 3 ، 4 ، 5 و 6 ، 8 ، 10 متشابهان بنسبة
في المثلث ABC النقطة D ∈ AB و E ∈ AC و DE ∥ BC. إذا كان AD = 3 و AB = 9 و BC = 12 فإن DE تساوي
في الشكل السابق إذا كان AD = 6 و AE = 4 و AC = 10 فإن AB تساوي
عصا طولها 1.5 م ظلها 2 م، وشجرة ظلها 12 م في الوقت نفسه، فارتفاع الشجرة
إذا كان ABC ~ DEF و m(∠A) = 50° و m(∠B) = 60° فإن m(∠F) تساوي
مثلثان متشابهان نسبة التشابه 2 : 5 ومساحة الأصغر 12 سم²، فمساحة الأكبر
صورة النقطة (2 ، 3) بتمدد مركزه الأصل ومعامله 2 هي
صورة النقطة (4 ، 8) بتمدد مركزه الأصل ومعامله 1/2 هي
التمدد الذي يحول (3 ، 6) إلى (1 ، 2) معامله
تتمدد قطعة طولها 4 سم بمعامل 2.5 فيكون طول صورتها
صورة (−1 ، 2) بتمدد مركزه الأصل ومعامله 3 هي
التمدد الذي معامله 0.4 يُعد
صورة P(2 ، 3) بتمدد مركزه M(1 ، 1) ومعامله 3 هي
نقطة تبعد 6 سم عن مركز التمدد وصورتها تبعد 15 سم، معامل التمدد
في المثلث القائم sin θ يساوي
في المثلث القائم tan θ يساوي
ABC قائم في B فيه AB = 8 و BC = 6، فإن sin A تساوي
في المثلث السابق cos A تساوي
إذا كان sin θ = 5/13 حيث θ حادة فإن cos θ تساوي
مثلث قائم فيه tan A = 3/4 والمجاور 20 سم، فالمقابل
إذا كانت A و B زاويتين متتامتين وكان sin A = 4/5 فإن cos B تساوي
في المثلث القائم ABC (B قائمة) إذا كان cos C = 0.6 و AC = 20 فإن BC تساوي
سلم طوله 5 م يصنع زاوية θ مع الأرض و sin θ = 0.8، فارتفاع نقطة تلامسه مع الحائط
sin 30° تساوي
cos 60° تساوي
tan 60° تساوي
قيمة sin² 30° + cos² 30° هي
tan 45° تساوي
مثلث قائم فيه زاوية 30° ووتره 12 سم، فالضلع المقابل للزاوية 30° يساوي
برج ظله 20 م عندما تصنع الشمس زاوية 60° مع الأرض، فارتفاعه
قيمة sin 60° cos 30° − cos 60° sin 30° هي
قيمة 2 sin 30° cos 60° + tan 45° هي
إذا كان sin θ = 0.5 فإن θ تساوي
ميل المستقيم المار بالنقطتين (1 ، 2) و (5 ، 10) هو
ميل المستقيم المار بالنقطتين (−2 ، 3) و (4 ، −3) هو
ميل المستقيم العمودي على مستقيم ميله 3/4 هو
مستقيم يصنع زاوية 45° مع الاتجاه الموجب لمحور السينات، ميله
ميل المستقيم 2x + 3y = 6 هو
إذا كان المستقيم المار بـ (1 ، 2) و (3 ، k) يوازي مستقيمًا ميله 3 فإن k تساوي
مستقيمان ميلاهما 2 و −1/2 فهما
معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل وميله 3 هي
معادلة المستقيم الذي ميله 2 ومقطعه الصادي −3 هي
المقطع السيني للمستقيم y = −3x + 6 هو
معادلة المستقيم المار بـ (1 ، 4) وميله −2 هي
معادلة المستقيم المار بـ (−1 ، 2) و (3 ، 10) هي
ميل المستقيم 3x + 2y − 12 = 0 هو
المقطع السيني للمستقيم 3x + 2y − 12 = 0 هو
معادلة المستقيم المار بـ (0 ، −2) ويوازي 3x − y + 1 = 0 هي
معادلة المستقيم المار بـ (2 ، −1) وعمودي على y = 2x + 5 هي
ثانيًا: الأسئلة المقالية والمسائل
1. [مسألة] المضلع ABCD أضلاعه AB = 9 و BC = 12 و CD = 6 و DA = 15 يشبه المضلع EFGH بنسبة 3 : 5. أوجد أطوال أضلاع EFGH.
اعرض الإجابة
EF = 15 ، FG = 20 ، GH = 10 ، HE = 25
نضرب في \(\dfrac{5}{3}\): \[\begin{gathered}\dfrac{9 \times 5}{3} = 15\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\dfrac{12 \times 5}{3} = 20\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\dfrac{6 \times 5}{3} = 10\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\dfrac{15 \times 5}{3} = 25\end{gathered}\].
2. [مسألة] مضلعان متشابهان مساحتاهما 50 سم² و 18 سم². أوجد نسبة التشابه، وإذا كان محيط الأول 30 سم فأوجد محيط الثاني.
اعرض الإجابة
نسبة التشابه 5 : 3 ومحيط الثاني 18 سم
- \[\begin{gathered}\sqrt{50 \div 18} = \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3}\end{gathered}\].
- محيط الثاني = \[\begin{gathered}\dfrac{30 \times 3}{5} = 18\end{gathered}\].
3. [مسألة] في المثلث ABC النقطة D ∈ AB و E ∈ AC و DE ∥ BC و AD = 4 و DB = 2 و DE = 5. أوجد BC.
اعرض الإجابة
7.5 سم
- \[\begin{gathered}\,\text{AB} = 4 + 2 = 6.
- \,\text{AD} \div \,\text{AB} = \,\text{DE} \div \,\text{BC}\end{gathered}\] فإن \[\begin{gathered}\dfrac{4}{6} = 5 \div \,\text{BC}\end{gathered}\] ومنه \[\begin{gathered}\,\text{BC} = \dfrac{5 \times 6}{4} = 7.5\end{gathered}\].
4. [مسألة] رجل طوله 1.8 م يلقي ظلًا طوله 2.4 م، وفي الوقت نفسه يلقي مبنى ظلًا طوله 20 م. أوجد ارتفاع المبنى.
اعرض الإجابة
15 م
\[\begin{gathered}1.8 \div 2.4 = 0.75\end{gathered}\] ثم \[\begin{gathered}20 \times 0.75 = 15\end{gathered}\].
5. [مسألة] برهن أن المثلثين اللذين أطوال أضلاعهما 6 ، 8 ، 10 و 9 ، 12 ، 15 متشابهان وأوجد نسبة التشابه.
اعرض الإجابة
متشابهان بنسبة 2 : 3
\[\begin{gathered}6 \div 9 = 8 \div 12 = 10 \div 15 = \dfrac{2}{3}\end{gathered}\] فالأضلاع الثلاثة متناسبة.
6. [مسألة] المثلث ABC فيه AB = 5 و BC = 7 و AC = 9 يشبه DEF وأقصر ضلع في DEF يساوي 10. أوجد باقي أضلاع DEF.
اعرض الإجابة
DE = 10 ، EF = 14 ، DF = 18
نسبة التشابه 10 ÷ 5 = 2 فنضاعف الضلعين الآخرين: 14 و 18.
7. [مسألة] أوجد صورة المثلث A(2 ، 1) و B(4 ، 1) و C(4 ، 4) بتمدد مركزه الأصل ومعامله 3، وقارن بين مساحتي المثلثين.
اعرض الإجابة
A′(6 ، 3) ، B′(12 ، 3) ، C′(12 ، 12) ؛ المساحتان 3 و 27
المساحة الأصلية = ½ × 2 × 3 = 3. الصورة: قاعدة 6 وارتفاع 9 فمساحتها 27 = 9 × 3 (أي k²).
8. [مسألة] صورة النقطة (6 ، −9) بتمدد مركزه الأصل هي (2 ، −3). أوجد معامل التمدد ونوعه.
اعرض الإجابة
\(k = \dfrac{1}{3}\) تصغير
\(2 \div 6 = \dfrac{1}{3}\) و \[\begin{gathered}-3 \div -9 = \dfrac{1}{3}\end{gathered}\].
9. [مسألة] تمدد مركزه O: OA = 4 و OA′ = 10 و A′B′ = 15. أوجد معامل التمدد وطول AB.
اعرض الإجابة
k = 2.5 و AB = 6 سم
\[\begin{gathered}k = 10 \div 4 = 2.5\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{AB} = 15 \div 2.5 = 6\end{gathered}\].
10. [مسألة] ABC قائم في B فيه AB = 5 و BC = 12. أوجد AC وجميع النسب المثلثية للزاوية A وsin C.
اعرض الإجابة
- AC = 13 ؛
- \[\begin{gathered}\sin A = \dfrac{12}{13}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\cos A = \dfrac{5}{13}\end{gathered}\] ، \[\begin{gathered}\tan A = \dfrac{12}{5}\end{gathered}\] ؛
- \[\begin{gathered}\sin C = \dfrac{5}{13}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}\,\text{AC} = \sqrt{25 + 144} = 13\end{gathered}\]. المقابل للزاوية A هو BC = 12. وللزاوية C المقابل AB = 5.
11. [مسألة] إذا كان sin θ = 3/5 حيث θ حادة فأوجد cos θ و tan θ.
اعرض الإجابة
\(\cos \theta = \dfrac{4}{5}\) ، \(\tan \theta = \dfrac{3}{4}\)
المقابل 3 والوتر 5 فالمجاور = \[\begin{gathered}\sqrt{25 - 9} = 4\end{gathered}\].
12. [مسألة] سلم يلمس حائطًا على ارتفاع 8 م وقاعدته تبعد 6 م عن الحائط. أوجد طول السلم وظل زاوية ميله مع الأرض.
اعرض الإجابة
طوله 10 م و \(\tan = \dfrac{4}{3}\)
الطول = \[\begin{gathered}\sqrt{64 + 36} = 10. \tan \theta = 8 \div 6 = \dfrac{4}{3}\end{gathered}\].
13. [مسألة] ABC قائم في B فيه AC = 26 و sin A = 5/13. أوجد BC و AB.
اعرض الإجابة
BC = 10 و AB = 24
\[\begin{gathered}\,\text{BC} = \dfrac{26 \times 5}{13} = 10\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\,\text{AB} = \sqrt{676 - 100} = 24\end{gathered}\].
14. [مسألة] مثلث قائم فيه tan A = 2.4 والضلع المجاور للزاوية A يساوي 10 سم. أوجد الضلع المقابل والوتر.
اعرض الإجابة
المقابل 24 سم والوتر 26 سم
المقابل = \[\begin{gathered}10 \times 2.4 = 24\end{gathered}\]. الوتر = \[\begin{gathered}\sqrt{100 + 576} = 26\end{gathered}\].
15. [مسألة] إذا كان sin θ = 7/25 فبرهن أن sin² θ + cos² θ = 1.
اعرض الإجابة
المجموع = 1
المجاور = \[\begin{gathered}\sqrt{625 - 49} = 24\end{gathered}\] فيكون \[\begin{gathered}\cos \theta = \dfrac{\dfrac{24}{25.} 49}{625} + \dfrac{576}{625} = \dfrac{625}{625} = 1\end{gathered}\].
16. [مسألة] أوجد قيمة sin 60° cos 30° + cos 60° sin 30°.
اعرض الإجابة
1
\[\begin{gathered}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\end{gathered}\].
17. [مسألة] أوجد قيمة tan² 60° − 2 sin² 45°.
اعرض الإجابة
2
\[\begin{gathered}\tan ^{2} 60{}^{\circ} = 3\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}\sin ^{2} 45{}^{\circ} = \dfrac{1}{2}\end{gathered}\] فيكون 3 − 1 = 2.
18. [مسألة] مثلث قائم فيه زاوية 30° ووتره 18 سم. أوجد الضلعين القائمين.
اعرض الإجابة
9 سم و 9√3 ≈ 15.59 سم
- المقابل لـ \[\begin{gathered}30{}^{\circ} = \dfrac{18 \times 1}{2} = 9\end{gathered}\].
- المجاور = \[\begin{gathered}\dfrac{18 \times \sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\end{gathered}\].
19. [مسألة] يقف شخص على بعد 30 م من قاعدة برج فيرى قمته بزاوية ارتفاع 60°. أوجد ارتفاع البرج (بإهمال طول الشخص).
اعرض الإجابة
\[\begin{gathered}30\sqrt{3} \approx 51.96\end{gathered}\] م
tan 60° = الارتفاع ÷ 30 فالارتفاع = 30√3.
20. [مسألة] سلم طوله 6 م يصنع زاوية 70° مع الأرض. أوجد ارتفاع طرفه العلوي لأقرب سنتيمتر.
اعرض الإجابة
5.64 م
\[\begin{gathered}6 \times \sin 70{}^{\circ} = 6 \times 0.9397 \approx 5.64\end{gathered}\].
21. [مسألة] برهن أن النقاط A(−1 ، 2) و B(3 ، 6) و C(5 ، 4) و D(1 ، 0) رؤوس مستطيل.
اعرض الإجابة
ABCD مستطيل
ميل AB = 1 و BC = −1 و CD = 1 و DA = −1، فالمتقابلان متوازيان والمتجاوران متعامدان \[\begin{gathered}(1 \times -1 = -1)\end{gathered}\].
22. [مسألة] أوجد قيمة k إذا كان المستقيم المار بـ (1 ، 2) و (3 ، k) عموديًا على مستقيم ميله 2.
اعرض الإجابة
k = 1
ميل العمودي \(-\dfrac{1}{2}\): \[\begin{gathered}(k - 2) \div 2 = -\dfrac{1}{2}\end{gathered}\] فإن k − 2 = −1 ومنه k = 1.
23. [مسألة] أوجد ميل المستقيم 5x − 2y + 4 = 0 وميل العمودي عليه.
اعرض الإجابة
\(\dfrac{5}{2}\) و \(-\dfrac{2}{5}\)
\[\begin{gathered}-2y = -5x - 4\end{gathered}\] فإن \[\begin{gathered}y = \left(\dfrac{5}{2}\right)x + 2\end{gathered}\].
24. [مسألة] أوجد معادلة المستقيم المار بـ (3 ، −2) وميله 1/3 بالصورة القياسية.
اعرض الإجابة
\[\begin{gathered}x - 3y - 9 = 0\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}y + 2 = (x - 3) \div 3\end{gathered}\] فإن \[\begin{gathered}3y + 6 = x - 3\end{gathered}\] ومنه \[\begin{gathered}x - 3y - 9 = 0\end{gathered}\].
25. [مسألة] أوجد معادلة المستقيم المار بـ (−2 ، −1) و (4 ، 5).
اعرض الإجابة
y = x + 1
\[\begin{gathered}m = 6 \div 6 = 1\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}y + 1 = x + 2\end{gathered}\].
26. [مسألة] أوجد معادلة المستقيم المار بـ (1 ، 1) ويوازي 2x + y − 4 = 0.
اعرض الإجابة
\[\begin{gathered}2x + y - 3 = 0\end{gathered}\]
ميل المعلوم −2 و \[\begin{gathered}y - 1 = -2(x - 1)\end{gathered}\] فإن y = −2x + 3.
27. [مسألة] المثلث رؤوسه A(0 ، 0) و B(4 ، 0) و C(0 ، 3). اكتب معادلة BC.
اعرض الإجابة
\[\begin{gathered}3x + 4y - 12 = 0\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}m = (3 - 0) \div (0 - 4) = -\dfrac{3}{4}\end{gathered}\] و \[\begin{gathered}y = -\left(\dfrac{3}{4}\right)x + 3\end{gathered}\] فإن \[\begin{gathered}4y = -3x + 12\end{gathered}\].
28. [مسألة] تتقاضى سيارة أجرة 10 جنيهات ثابتة و 4 جنيهات لكل كيلومتر. اكتب المعادلة وأوجد أجرة 15 كم.
اعرض الإجابة
y = 4x + 10 والأجرة 70 جنيهًا
\[\begin{gathered}4 \times 15 + 10 = 70\end{gathered}\].
29. [مسألة] أوجد معادلة المستقيم المار بـ (0 ، 4) وعمودي على 2y = x + 6.
اعرض الإجابة
y = −2x + 4
ميل المعلوم \(\dfrac{1}{2}\) فميل العمودي −2 والمقطع الصادي 4.
الجزء الثالث — أسئلة التعريف والتعليل
30. [عرّف] عرّف تشابه مضلعين واذكر شرطيه.
اعرض الإجابة
هو تطابق شكل مضلع مع صورة مكبرة أو مصغرة للآخر: تتساوى الزوايا المتناظرة وتتناسب أطوال الأضلاع المتناظرة.
نسبة التشابه هي النسبة بين طولي ضلعين متناظرين.
31. [عرّف] عرّف التمدد ومعامل التمدد.
اعرض الإجابة
التمدد تحويل هندسي بمركز ثابت يضرب بعد كل نقطة عن المركز في عدد موجب k يسمى معامل التمدد.
k > 1 تكبير و 0 < k < 1 تصغير.
32. [عرّف] عرّف جيب الزاوية الحادة وجيب تمامها وظلها.
اعرض الإجابة
sin θ = المقابل ÷ الوتر ، cos θ = المجاور ÷ الوتر ، tan θ = المقابل ÷ المجاور.
في المثلث القائم الزاوية.
33. [عرّف] عرّف ميل المستقيم.
اعرض الإجابة
هو النسبة بين التغير في الإحداثي الصادي والتغير في الإحداثي السيني بين أي نقطتين عليه، ويساوي ظل زاوية ميله.
\[\begin{gathered}m = (y_{2} - y_{1}) \div (x_{2} - x_{1})\end{gathered}\].
34. [عرّف] اكتب الصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم وكيف تستخرج منها الميل والمقطعين.
اعرض الإجابة
\[\begin{gathered}\,\text{ax} + \,\text{by} + c = 0\end{gathered}\] ؛ الميل −a ÷ b والمقطع الصادي −c ÷ b والسيني −c ÷ a.
نضع x = 0 للمقطع الصادي و y = 0 للسيني.
35. [علّل] علّل: المستطيل 2 × 6 والمستطيل 3 × 4 غير متشابهين رغم أن زواياهما قوائم.
اعرض الإجابة
لأن الأضلاع المتناظرة غير متناسبة: 2 ÷ 3 ≠ 6 ÷ 4.
يلزم تحقق الشرطين.
36. [علّل] علّل: نسبة مساحتي مضلعين متشابهين تساوي مربع نسبة التشابه.
اعرض الإجابة
لأن المساحة قياس ببعدين، فإذا ضاعفنا الطول k مرة تتضاعف المساحة k × k مرة.
مثلًا بنسبة 2 : 1 مساحة الأكبر 4 أمثال.
37. [علّل] علّل: يكفي تساوي زاويتين في مثلثين للحكم على تشابههما.
اعرض الإجابة
لأن مجموع زوايا المثلث 180° فتتساوى الزاوية الثالثة تلقائيًا.
فتتحقق شروط التشابه.
38. [علّل] علّل: sin A = cos B في المثلث القائم الزاوية.
اعرض الإجابة
لأن الضلع المقابل لـ A هو المجاور لـ B والوتر مشترك، فالنسبتان متساويتان.
لأن A + B = 90°.
39. [علّل] علّل: tan 45° = 1.
اعرض الإجابة
لأن المثلث القائم الذي إحدى زواياه 45° متساوي الساقين فالمقابل يساوي المجاور.
نسبة متساويين = 1.
40. [علّل] علّل: ميل المستقيم الرأسي غير معرف.
اعرض الإجابة
لأن x₂ − x₁ = 0 والقسمة على صفر غير معرفة.
التغير الأفقي صفر.
41. [علّل] علّل: المستقيمان المتوازيان لهما الميل نفسه.
اعرض الإجابة
لأن زاويتي ميلهما مع محور السينات متساويتان (متناظرتان) فيتساوى ظلاهما.
m = tan θ.