الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية

مقدمة الدرس

الرياضيات — الصف الأول الثانوي — الفصل الدراسي الأول (دروس الوحدة: 3-1 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة، 3-2 منصفا الزاوية والأجزاء المتناسبة)

🌳 شجرة المفاهيم

الوحدة الثالثةالمستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية

├── 3-1-1 نظريةالمستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث

├── 3-1-2 عكس النظرية

├── 3-1-3 نتائج←قطعة المنتصفين

├── 3-1-4 نظرية تاليس العامة

├── 3-1-5 تطبيقات على شبه المنحرف

├── 3-2-1 نظرية المنصف الداخلي

├── 3-2-2 عكس نظرية المنصف الداخلي

├── 3-2-3 نظرية المنصف الخارجي

├── 3-2-4 حالات خاصة وعكس المنصف الخارجي

├── 3-2-5 طول المنصف الداخلي والخارجي

├── 3-2-6 تطبيقات متنوعة على المنصفين

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 1 / 17

3-1-1 نظرية: المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث

إذا رُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة.
في △ABC إذا كان D على AB و E على AC و DE ∥ BC فإن:
AD ÷ DB = AE ÷ EC

يمكن كتابة نسب أخرى AD ÷ AB = AE ÷ AC = DE ÷ BC .
البرهان △ADE ~ △ABC لأن A مشتركة وقياس ADE = قياس ABC (متناظرتان).
من التشابه
AD ÷ AB = AE ÷ AC

، ومنه بالتجزئة
AD ÷ DB = AE ÷ EC

.
القطع المتناسبة هي أجزاء الضلعين على جانبي المستقيم الموازي.
لاحظ نكتب القطعة العليا ÷ القطعة السفلى في الطرفين، فلا نخلط بين AD و AB في النسبة نفسها.
علّل:
لماذا تؤدي النسبة
AD ÷ AB = AE ÷ AC

إلى
AD ÷ DB = AE ÷ EC

؟
نقلب النسبتين فنحصل على
AB ÷ AD = AC ÷ AE

، ثم نطرح 1 من الطرفين فيكون
(AB – AD) ÷ AD = (AC – AE) ÷ AE

أي
DB ÷ AD = EC ÷ AE

، ثم نقلب مرة أخرى.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC و DE ∥ BC. إذا كان AD = 3 و DB = 5 و AE = 6 فأوجد EC.
الحل:

AD ÷ DB = AE ÷ EC

3 ÷ 5 = 6 ÷ EC

EC = 6 × 5 ÷ 3 = 10

مثال 2 في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC و DE ∥ BC. إذا كان AD = 6 و AB = 15 و AC = 20 فأوجد AE و EC.
الحل:

AD ÷ AB = AE ÷ AC

6 ÷ 15 = AE ÷ 20

AE = (20 × 2) / 5 = 8

EC = 20 – 8 = 12

مثال 3 في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC و DE ∥ BC. إذا كان AD = x و DB = x + 2 و AE = 3 و EC = 5 فأوجد x و AB.
الحل:

x ÷ (x + 2) = 3 ÷ 5

x = 3(x + 2)

x = 3x + 6

x = 3

AB = x + (x + 2) = 8

مثال 4 في △ABC و DE ∥ BC حيث AD = 2x − 1 و DB = 6 و AE = x و EC = 4. أوجد x.
الحل:

(2x – 1) ÷ 6 = x ÷ 4

4(2x – 1) = 6x

x − 4 = 6x

x = 4

x = 2

التحقق←AD = 3 و AE = 2 ثم

3 ÷ 6 = 2 ÷ 4 = 1 / 2

.
تذكر:
كتابة AD ÷ DB = EC ÷ AE (بالمقلوب)؛

استعمال AD في نسبة وAB في الأخرى؛

نسيان أن DE ∥ BC شرط للنظرية.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 2 / 17

3-1-2 عكس النظرية

إذا قسم مستقيم ضلعين في مثلث إلى قطع أطوالها متناسبة فهو يوازي الضلع الثالث.

إذا كان

AD ÷ DB = AE ÷ EC

فإن DE ∥ BC.

نحسب النسبتين AD ÷ DB و AE ÷ EC ونقارن بينهما.
إذا تساوتا فالمستقيم DE يوازي BC، وإلا فلا يوازيه.
يلزم أن تقع D على AB و E على AC من جهة الرأس A نفسها (القطع الأصلية، لا الامتدادات).
لاحظ عكس النظرية يُستعمل لإثبات التوازي بالحسابات من دون استعمال الزوايا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC، AD = 4 و DB = 6 و AE = 6 و EC = 9. هل DE ∥ BC؟
الحل:

AD ÷ DB = 4 ÷ 6 = 2 / 3

AE ÷ EC = 6 ÷ 9 = 2 / 3

النسبتان متساويتان.

DE ∥ BC

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 في △ABC النقطة D على AB والنقطة E على AC، AD = 3 و DB = 5 و AE = 4 و EC = 7. هل DE ∥ BC؟
الحل:

AD ÷ DB = 3 / 5 = 0.6

AE ÷ EC = 4 / 7 ≈ 0.571

النسبتان غير متساويتين.
DE ليس موازيًا لـ BC.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 أوجد قيمة x التي تجعل DE ∥ BC إذا كان AD = 6 و DB = 9 و AE = x و EC = x + 3.
الحل:

6 ÷ 9 = x ÷ (x + 3)

6(x + 3) = 9x

x + 18 = 9x

x = 18

x = 6

AE = 6 و EC = 9.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4 △ABC فيه AB = 20 و AC = 25، والنقطة D على AB حيث AD = 8 والنقطة E على AC حيث AE = 10. أثبت أن DE ∥ BC.
الحل:

DB = 12 و EC = 15

AD ÷ DB = 8 ÷ 12 = 2 / 3

AE ÷ EC = 10 ÷ 15 = 2 / 3

النسبتان متساويتان فيكون DE ∥ BC.
تذكر الأخطاء الشائعة: مقارنة AD ÷ DB مع EC ÷ AE؛ نسيان حساب DB و EC من الطول الكلي؛ الحكم بالتوازي لأن العددين متقاربان.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 3 / 17

3-1-3 نتائج: قطعة المنتصفين

القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث وطولها يساوي نصف طوله.
إذا كانت D منتصف AB و E منتصف AC فإن:
DE ∥ BC
DE = ½ BC

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
النتيجة الأولى	AD ÷ DB = 1 = AE ÷ EC فبالعكس DE ∥ BC	فبالعكس
النتيجة الثانية	المستقيم المار بمنتصف ضلع ويوازي ضلعًا آخر ينصف الضلع الثالث	المستقيمالماربمنتصفويوازي
•	المثلث الواصل بين منتصفات الأضلاع الثلاثة محيطه نصف محيط المثلث الأصلي	المثلثالواصلمنتصفاتالأضلاع
في الشكل الرباعي	القطع الواصلة بين منتصفات الأضلاع تكوّن متوازي أضلاع	القطعالواصلةمنتصفاتالأضلاع
تذكر	DE = ½ BC لا تعني DE = BC ÷ 2 فقط بل أيضًا DE ∥ BC	تعني

✍️ أمثلة محلولة

D و E منتصفا AB و AC في △ABC، و BC = 14. أوجد DE.
الحل:

DE = ½ × 14 = 7

DE ∥ BC

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 أطوال أضلاع △ABC هي 10 و 14 و 16. أوجد محيط المثلث الواصل بين منتصفات أضلاعه.
الحل:

محيط △ABC = 40

كل ضلع في المثلث الجديد نصف الضلع المقابل له.

المحيط الجديد = 40 ÷ 2 = 20

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 D منتصف AB في △ABC، رُسم DE ∥ BC ويقطع AC في E. إذا كان AC = 18 فأوجد AE و EC.
الحل:

AD ÷ DB = 1 فإن AE ÷ EC = 1

E منتصف AC

AE = EC = 9

✍️ أمثلة محلولة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
مثال 4	الشكل الرباعي ABCD قطراه AC = 10 و BD = 14 و P و Q و R و S منتصفات AB و BC و CD و DA على الترتيب. أوجد محيط PQRS	الشكلالرباعيABCDقطراه
•	الحل	الحل
في △ABC	PQ = ½ AC = 5 و PQ ∥ AC
في △BCD	QR = ½ BD = 7

بالمثل SR = 5 و PS = 7

PQRS متوازي أضلاع.

المحيط =

5 + 7 + 5 + 7 = 24

تذكر←الأخطاء الشائعة: ضرب الطول في 2 بدل القسمة؛ نسيان أن النتيجة تشترط أن تكون النقطتان منتصفين؛ الخلط بين محيط المثلث الأصلي والجديد.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 4 / 17

3-1-4 نظرية تاليس العامة

إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع المناظرة لها على القاطع الآخر.

ثلاثة رفوف متوازية تقطع ساقين مائلين تمثل المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة: 3/2 = 6/4.

إذا كانت l₁ ∥ l₂ ∥ l₃ تقطع القاطع الأول في A و B و C والثاني في D و E و F فإن:

AB ÷ BC = DE ÷ EF

AB ÷ DE = BC ÷ EF = AC ÷ DF

إذا كانت القطع على قاطع واحد متساوية، فالقطع على أي قاطع آخر متساوية أيضًا.
يمكن بهذه النظرية تقسيم قطعة مستقيمة إلى أجزاء متساوية أو بنسبة معلومة.
البرهان نرسم قاطعًا موازيًا ونطبق نظرية المستقيم الموازي في المثلثات الناتجة.
لاحظ تنطبق نظرية تاليس مهما كان القاطعان متوازيين أو متقاطعين.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعًا في A و B و C وقاطعًا آخر في D و E و F. إذا كان AB = 4 و BC = 6 و DE = 10 فأوجد EF.
الحل:

AB ÷ BC = DE ÷ EF

4 ÷ 6 = 10 ÷ EF

EF = 10 × 6 ÷ 4 = 15

مثال 2 المستقيمات المتوازية نفسها، AB = 6 و BC = 9 و DF = 25. أوجد DE و EF.
الحل:

AB ÷ BC = 6 ÷ 9 = 2 / 3

DE←EF = 2 : 3

DE = (25 × 2) / 5 = 10

EF = (25 × 3) / 5 = 15

مثال 3 ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعًا في A و B و C بحيث AB = BC. إذا كان DE = 7 على القاطع الآخر فأوجد EF.
الحل:

AB ÷ BC = 1

DE ÷ EF = 1

EF = DE = 7

مثال 4 قسّم قطعة مستقيمة AB طولها 12 سم إلى ثلاثة أجزاء متساوية، واذكر طول كل جزء ونسبة تقسيمها 5 : 7 بنقطة X.
الحل:
نرسم من A شعاعًا ونأخذ عليه ثلاث قطع متساوية متتالية.
نصل آخر نقطة بالنقطة B ونرسم من النقطتين الأخريين موازيين لهذا المستقيم.

كل جزء = 12 ÷ 3 = 4 سم

بالنسبة 5← 7:

AX = (12 × 5) / 12 = 5

و XB = 7

تذكر:
الأخطاء الشائعة مقارنة قطعة من قاطع بالقطعة غير المناظرة في الآخر؛

نسيان أن المستقيمات يجب أن تكون متوازية؛

الخلط بين نسبة القطعة إلى القاطع كله ونسبتها إلى القطعة الأخرى.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 5 / 17

3-1-5 تطبيقات على شبه المنحرف

في شبه المنحرف ABCD الذي فيه AB ∥ CD←المستقيم الموازي للقاعدتين يقسم الساقين بنسبة واحدة.

إذا كان XY ∥ AB (و XY ∥ CD) و X على AD و Y على BC فإن
AX ÷ XD = BY ÷ YC

.
القطعة الواصلة بين منتصفي الساقين توازي القاعدتين وطولها نصف مجموع طولي القاعدتين.
المستقيم المار بنقطة تقاطع القطرين M والموازي للقاعدتين ينصفه M.
طول هذا المستقيم بين الساقين = 2ab ÷ (a + b) حيث a و b طولا القاعدتين.
لاحظ كثير من مسائل شبه المنحرف نحلها برسم قطر أو مستقيم يشكل مثلثين ثم نطبق نظرية الموازي.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 في شبه المنحرف ABCD حيث AB ∥ CD رُسم XY ∥ AB حيث X على AD و Y على BC. إذا كان AX = 3 و XD = 2 و BC = 10 فأوجد BY و YC.
الحل:

AX ÷ XD = BY ÷ YC = 3 / 2

BY + YC = 10

BY = 6 و YC = 4

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 في شبه المنحرف ABCD حيث AB ∥ CD و AB = 12 و CD = 6 يتقاطع القطران في M، ورُسم من M مستقيم يوازي القاعدتين ويقطع AD في X و BC في Y.
أوجد XM و XY.
الحل:

MA ÷ MC = AB ÷ CD = 12 ÷ 6 = 2

AM ÷ AC = 2 / 3

في △ADC←XM ∥ DC فإن

XM = CD × AM ÷ AC = (6 × 2) / 3 = 4

بالمثل MY = 4

XY = 8

للتحقق:

ab ÷ (a + b) = 2 × 12 × 6 ÷ 18 = 8

.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 شبه منحرف قاعدتاه 12 و 8، أوجد طول القطعة الواصلة بين منتصفي ساقيه.
الحل:

الطول = ½

(12 + 8) = 10

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4 في △ABC النقطة D على AB حيث AD : DB = 2 : 3 ورُسم DE ∥ BC ويقطع AC في E، ثم رُسم EF ∥ AB ويقطع BC في F. أوجد BF : FC.
الحل:

AE ÷ EC = AD ÷ DB = 2 / 3

في △CAB حيث EF ∥ AB:

CF ÷ FB = CE ÷ EA = 3 / 2

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
BF	FC = 2 : 3
•	تذكر	تذكر
الأخطاء الشائعة	جمع القاعدتين دون قسمة على 2 في القطعة الواصلة بين المنتصفين	القاعدتينقسمةالقطعةالواصلة

الخلط بين الساقين والقاعدتين؛

نسيان أن المستقيم الموازي يجب أن يوازي القاعدتين.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 6 / 17

3-2-1 نظرية المنصف الداخلي

منصف زاوية في مثلث (من الداخل) يقسم الضلع المقابل لها إلى قطعتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.
في △ABC إذا كان AD ينصف الزاوية A ويقطع BC في D فإن:
BD ÷ DC = AB ÷ AC

النسبة التي يقسم بها المنصف الضلع المقابل = نسبة ضلعي الزاوية.
القطعة الأقرب إلى الضلع الأصغر هي الأصغر.
البرهان نرسم من C مستقيمًا يوازي AD ويقطع امتداد BA في E، فينتج △ACE متساوي الساقين (AE = AC)، ثم نطبق نظرية الموازي في △BCE.
لاحظ:

BD ÷ DC = AB ÷ AC

: نكتب الضلع المجاور لـ B في البسط (AB) والمجاور لـ C في المقام (AC).
تذكر إذا كان AB = AC (المثلث متساوي الساقين) فالمنصف ينصف القاعدة.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، و AD ينصف الزاوية A ويقطع BC في D. أوجد BD و DC.
الحل:

BD ÷ DC = AB ÷ AC = 6 / 9 = 2 / 3

BD + DC = 10

BD = (10 × 2) / 5 = 4

DC = 6

مثال 2 △ABC فيه AB = 8 و AC = 12 و AD ينصف الزاوية A ويقطع BC في D، و BD = 6. أوجد DC و BC.
الحل:

6 ÷ DC = 8 ÷ 12

DC = 6 × 12 ÷ 8 = 9

BC = 6 + 9 = 15

مثال 3 △ABC فيه BD = 3 و DC = 5 و AB = 9 و AD ينصف الزاوية A. أوجد AC.
الحل:

3 ÷ 5 = 9 ÷ AC

AC = 9 × 5 ÷ 3 = 15

مثال 4 △ABC فيه AB = 12 و AC = 18 و BC = 20، و AD ينصف الزاوية A ويقطع BC في D، ورُسم DE ∥ AB ويقطع AC في E. أوجد DE.
الحل:

BD ÷ DC = 12 / 18 = 2 / 3

BD = 8 و DC = 12

△CDE ~ △CBA (DE ∥ AB)

DE ÷ AB = DC ÷ BC = 12 ÷ 20

DE = (12 × 3) / 5 = 7.2

تذكر←الأخطاء الشائعة: وضع AB ÷ AC مقلوبة؛ جمع النسبة مع الطول؛ استخدام الضلع BC في نسبة المنصف الداخلي.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 7 / 17

3-2-2 عكس نظرية المنصف الداخلي

إذا قسمت نقطة D على BC الضلع BC بنسبة

BD ÷ DC = AB ÷ AC

فإن AD ينصف الزاوية A.

نحسب BD ÷ DC و AB ÷ AC ونقارن.
إذا تساوتا كان AD منصفًا للزاوية A.
نستعمل هذا لإثبات أن مستقيمًا ينصف زاوية دون قياسها.
لاحظ الشرط أن تكون D على الضلع BC نفسه (بين B و C) للمنصف الداخلي.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC فيه AB = 4 و AC = 6، والنقطة D على BC حيث BD = 2 و DC = 3. هل AD ينصف الزاوية A؟
الحل:

BD ÷ DC = 2 / 3

AB ÷ AC = 4 / 6 = 2 / 3

النسبتان متساويتان.
AD ينصف الزاوية A.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 △ABC فيه AB = 5 و AC = 7، والنقطة D على BC حيث BD = 3 و DC = 5. هل AD ينصف الزاوية A؟
الحل:

BD ÷ DC = 3 / 5 = 0.6

AB ÷ AC = 5 / 7 ≈ 0.714

النسبتان غير متساويتين.
AD لا ينصف الزاوية A.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 △ABC فيه AB = 10 و AC = 15 و BC = 20. عيّن موضع D على BC بحيث يكون AD منصفًا للزاوية A.
الحل:

BD ÷ DC = 10 / 15 = 2 / 3

BD = (20 × 2) / 5 = 8

D تبعد 8 عن B.
تذكر الأخطاء الشائعة: افتراض أن AD منصف لأنه متوسط؛ نسيان فحص النسبة.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 8 / 17

3-2-3 نظرية المنصف الخارجي

منصف الزاوية الخارجة للمثلث عند رأسه يقطع امتداد الضلع المقابل في نقطة تقسمه خارجيًا بنسبة تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين.
في △ABC إذا كان AE ينصف الزاوية الخارجة عند A ويقطع امتداد BC في E فإن:
EB ÷ EC = AB ÷ AC

يُرسم المنصف الخارجي ليقطع امتداد BC، ولا يقطعه إذا كان AB = AC (يكون موازيًا لـ BC).
يقع E على جهة الضلع الأصغر (جهة B إذا كان AB < AC).
المنصفان الداخلي والخارجي لزاوية متعامدان.
علّل لماذا المنصفان متعامدان؟ لأن الزاويتين المتجاورتين على مستقيم مجموعهما 180° ومنصفاهما يصنعان ½ × 180° = 90°.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، و AE ينصف الزاوية الخارجة عند A ويقطع امتداد CB في E. أوجد EB و EC.
الحل:

EB ÷ EC = AB ÷ AC = 6 / 9 = 2 / 3

E على امتداد CB خلف B فيكون

EC = EB + 10

.

EB ÷ (EB + 10) = 2 / 3

EB = 2EB + 20

EB = 20

EC = 30

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 △ABC فيه AB = 10 و AC = 6 و BC = 8، و AE ينصف الزاوية الخارجة عند A ويقطع امتداد BC في E. أوجد EB و EC.
الحل:

EB ÷ EC = 10 / 6 = 5 / 3

E على امتداد BC بعد C فيكون EB = EC + 8.

(EC + 8) ÷ EC = 5 / 3

EC + 24 = 5EC

EC = 12

EB = 20

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 △ABC متساوي الساقين فيه AB = AC. هل يقطع منصف الزاوية الخارجة عند A المستقيم BC؟
الحل:

لو قطعه في E لكان

EB ÷ EC = AB ÷ AC = 1

.
فيلزم EB = EC وهذا مستحيل لأن E خارج BC.
لا يقطعه، وإنما يوازي BC.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4 في المثال 1 المنصف الداخلي AD يقطع BC في D (BD = 4 و DC = 6).
أثبت أن
AD² + AE² = DE²

عدديًا علمًا بأن AD² = 30 و AE² = 546.
الحل:
نضع B عند 0 و C عند 10 فتكون D عند 4 و E عند −20.

DE = 24

DE² = 576

AD2 + AE2 = 30 + 546 = 576

وهذا يؤكد تعامد المنصفينالزاوية DAE قائمة.

تذكرالأخطاء الشائعة: وضع E بين B و C؛ استعمال BE ÷ BC بدلًا من EB ÷ EC؛ الخلط بين الجهة التي يقع فيها E.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 9 / 17

3-2-4 حالات خاصة وعكس المنصف الخارجي

إذا كان

EB ÷ EC = AB ÷ AC

حيث E على امتداد BC فإن AE ينصف الزاوية الخارجة عند A.

نتحقق من أن E على الامتداد (خارج BC) وأن النسبتين متساويتان.
منصفات الزوايا الداخلية للمثلث تتقابل في نقطة واحدة هي مركز الدائرة الداخلة.
المركز I يقسم المنصف AD بنسبة
AI ÷ ID = (AB + AC) ÷ BC

.
البرهان في △ABD المنصف BI للزاوية B فـ AI ÷ ID = AB ÷ BD ، ونعوّض BD = AB × BC ÷ (AB + AC) .
لاحظ المنصفان الداخليان للزاويتين B و C يتقاطعان في I، ويقع I داخل المثلث دائمًا.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، والنقطة E على امتداد CB حيث EB = 20 و EC = 30. هل AE ينصف الزاوية الخارجة عند A؟
الحل:

EB ÷ EC = 20 / 30 = 2 / 3

AB ÷ AC = 6 / 9 = 2 / 3

النسبتان متساويتان.
AE ينصف الزاوية الخارجة عند A.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، و AD المنصف الداخلي، و I نقطة تقاطع المنصفات. أوجد AI ÷ ID.
الحل:

AI ÷ ID = (AB + AC) ÷ BC

AI ÷ ID = 15 / 10 = 3 / 2

مثال 3 △ABC فيه AB = 8 و AC = 12 و BC = 15، و AD المنصف الداخلي. أوجد BD و DC و AI ÷ ID.
الحل:

BD ÷ DC = 8 / 12 = 2 / 3

BD = 6 و DC = 9

AI ÷ ID = (8 + 12) ÷ 15 = 4 / 3

تذكر←الأخطاء الشائعة: استعمال النسبة (AB + AC) ÷ BC على نقطة غير مركز الدائرة الداخلة؛ الخلط بين الدائرتين الداخلة والمارة بالرؤوس.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 10 / 17

3-2-5 طول المنصف الداخلي والخارجي

(AD)2 = AB × AC – BD × DC .
(AE)2 = EB × EC – AB × AC .
AD² = AB × AC – BD × DC
AE² = EB × EC – AB × AC

الأولى حيث D على BC بين B و C، والثانية حيث E على امتداد BC.
البرهان (الأولى) نرسم دائرة المثلث ABC ونمد AD لتقطعها في F، فينتج △ABD ~ △AFC و AB × AC = AD × AF = AD (AD + DF) = AD2 + BD × DC .
نحسب BD و DC من نظرية المنصف ثم نعوّض.
تذكر في الداخلي نطرح BD × DC، وفي الخارجي نطرح AB × AC من EB × EC.

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10 و AD منصف داخلي. أوجد AD.
الحل:

BD = 4 و DC = 6

AD2 = 6 × 9 – 4 × 6

AD2 = 54 – 24 = 30

AD = √30 ≈ 5.48

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2←△ABC متساوي الساقين فيه

AB = AC = 13

و BC = 10 و AD ينصف الزاوية A. أوجد AD.
الحل:

BD = DC = 5

AD2 = 13 × 13 – 5 × 5

AD2 = 169 – 25 = 144

AD = 12

مثال 3 △ABC فيه AB = 8 و AC = 12 و BC = 15 و AD منصف داخلي. أوجد AD.
الحل:

BD = 6 و DC = 9

AD2 = 8 × 12 – 6 × 9

AD2 = 96 – 54 = 42

AD = √42 ≈ 6.48

✍️ أمثلة محلولة

مثال 4 △ABC فيه AB = 3 و AC = 4 و BC = 5 والزاوية A قائمة، و AD منصف داخلي. أوجد AD.
الحل:

BD ÷ DC = 3 / 4

فـ BD = 15 / 7 و DC = 20 / 7

AD2 = 3 × 4 – (15 / 7)(20 / 7)

AD2 = 12 – 300 / 49

AD2 = (588 – 300) / 49 = 288 / 49

AD = 12√2 ÷ 7 ≈ 2.42

✍️ أمثلة محلولة

مثال 5 في △ABC فيه AB = 6 و AC = 9 و BC = 10، المنصف الخارجي AE يقطع امتداد CB في E (EB = 20 و EC = 30). أوجد AE.
الحل:

AE2 = EB × EC – AB × AC

AE2 = 600 – 54 = 546

AE = √546 ≈ 23.37

تذكر←الأخطاء الشائعة: نسيان الطرح أو عكس الحدود؛ أخذ BD × DC بدل AB × AC في الخارجي؛ نسيان الجذر التربيعي في النهاية.

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 11 / 17

3-2-6 تطبيقات متنوعة على المنصفين

نربط بين نظرية المنصف والتشابه والمساحة لحل مسائل متعددة الخطوات.
نسبة مساحتي △ABD و △ADC تساوي BD ÷ DC لتساوي الارتفاع، وتساوي AB ÷ AC.
المنصف الداخلي مع المستقيم الموازي لأحد الضلعين يعطي مثلثًا متساوي الساقين.
نحدد أي النظريتين نستخدم الداخلي أم الخارجي حسب موضع النقطة.
لاحظ إذا رُسم من D (على BC) مستقيم يوازي AB ويقطع AC في E، وكان AD منصفًا، فإن AE = DE (△ADE متساوي الساقين).

✍️ أمثلة محلولة

مثال 1 △ABC فيه AB = 12 و AC = 18 و BC = 20، AD منصف الزاوية A، رُسم DE ∥ AB ويقطع AC في E. أثبت أن DE = AE وأوجد قيمتهما.
الحل:

قياس EDA = قياس DAB (متبادلتان)

قياس DAB = قياس DAE (AD منصف)

إذن قياس EDA = قياس DAE فيكون EA = ED.

DC = 12 (من

BD ÷ DC = 2 / 3

و BC = 20).

CE ÷ CA = DC ÷ CB = 12 / 20

فإن CE = 10.8

AE = 18 – 10.8 = 7.2

DE = AE = 7.2

✍️ أمثلة محلولة

مثال 2 △ABC فيه AB = 9 و AC = 6 و AD منصف الزاوية A و BC = 10. أوجد نسبة مساحتي △ABD إلى △ADC.
الحل:

BD ÷ DC = AB ÷ AC = 9 / 6 = 3 / 2

للمثلثين الارتفاع نفسه من A.

نسبة المساحتين = BD ÷ DC = 3 : 2

✍️ أمثلة محلولة

مثال 3 في △ABC محيطه 30 و AB = 8 و AC = 12 و AD المنصف الداخلي. أوجد BD و DC.
الحل:

BC = 30 – 8 – 12 = 10

BD ÷ DC = 8 / 12 = 2 / 3

BD = 4 و DC = 6

تذكر:
الأخطاء الشائعة افتراض أن المنصف يقسم الضلع بنسبة 1 : 1 دائمًا؛

تجاهل شرط ترتيب النقاط على المستقيم؛

تشويش النسبة بين الأضلاع والنسبة بين المساحات.

.egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#1e1b4b}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#1e1b4b}.egp-ex-p{padding:12px 16px}

اختبر نفسك على هذا الدرس

تم توزيع أسئلة بنك الدرس على نقاط الشرح أعلاه
وكل نقطة تحتها أسئلتها. ولحل البنك كاملًا في صفحة واحدة:

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 12 / 17

📌 قاموس المفاهيم والمصطلحات العلمية الدقيقة:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
المستقيم الموازي لضلع في مثلث (نظرية تاليس المصغرة)	المستقيم الذي يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة: إذا كان د هـ // ب جـ فإن: أ د / د ب = أ هـ / هـ جـ وأيضاً أ د / أ ب = أ هـ / أ جـ = د هـ / ب جـ	يوازيأضلاعويقطعالضلعين
نظرية تاليس العامة (Thales’s Theorem)	إذا قطعت عدة مستقيمات متوازية بمستقيمين قاطعين فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر	قطعتمستقيماتمتوازيةبمستقيمين
منصف الزاوية للداخل في مثلث	منصف الزاوية الداخلية لمثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين الآخرين: إذا كان أ د ينصف زاوية أ من الداخل فإن: ب د / د جـ = أ ب / أ جـ	الداخليةلمثلثيقسمالضلع

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
منصف الزاوية للخارج في مثلث	منصف الزاوية الخارجة عند رأس مثلث يقسم الضلع المقابل من الخارج إلى قطعتين النسبة بين طوليهما تساوي النسبة بين طولي الضلعين: ب د / د جـ = أ ب / أ جـ (بشرط ألا يكون المثلث متساوي الساقين)	الخارجةيقسمالضلعالمقابل
طول منصف الزاوية (الداخلي والخارجي)	طول المنصف الداخلي: أ د = √[ (أ ب × أ جـ) – (ب د × د جـ) ] طول المنصف الخارجي: أ د = √[ (ب د × د جـ) – (أ ب × أ جـ) ]	المنصف

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 13 / 17

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

(‘نظرية منصف الزاوية (داخلياً وخارجياً)ب د / د جـ = أ ب / أ جـ.’,)

(‘طول المنصف الداخلي(أ د)² = (أ ب × أ جـ) – (ب د × د جـ).’,)

(‘طول المنصف الخارجي(أ د)² = (ب د × د جـ) – (أ ب × أ جـ).’,)

(‘تعامد المنصفين الداخلي والخارجيقياس الزاوية بين منصف الزاوية الداخلة ومنصف الزاوية الخارجة لنفس الرأس في المثلث يساوي دائماً 90° (متعامدان).’,)

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 14 / 17

🔍 الشرح المستفيض والتعليلات العلمية المعتمدة (“علل”):

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
علل	منصف الزاوية الخارجة لمثلث متساوي الساقين يوازي القاعدة: لأن زاويتي القاعدة متساويتان ونصف الزاوية الخارجة يساوي قياس كل من زاويتي القاعدة (بالتبادل) فينتج التوازي ولا يقطع امتداد القاعدة أبداً	منصفالزاويةالخارجةلمثلث
علل	المنصفان الداخلي والخارجي لأي زاوية متعامدان دائماً: لأن الزاوية المستقيمة قياسها 180° وتنصيف الزاوية الأصلية والزاوية المجاورة لها على خط مستقيم يعطي نصف المجموع: 1/2 × 180° = 90°	المنصفانالداخليوالخارجيزاوية
علل	عكس نظرية المستقيم الموازي: إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما لقطع متناسبة الأطوال فإنه يوازي الضلع الثالث حتماً	نظريةالمستقيمالموازيمستقيم

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 15 / 17

📊 المقارنة الشاملة بين المنصف الداخلي والمنصف الخارجي لزاوية المثلث:

وجه المقارنة	منصف الزاوية الداخلة (أ د داخلي)	منصف الزاوية الخارجة (أ د خارجي)
موضع نقطة التقسيم د	تقع على القطعة المستقيمة ب جـ بين ب و جـ (تقسيم من الداخل)	تقع على شعاع امتداد ب جـ خارج القطعة (تقسيم من الخارج)
نسبة التقسيم	ب د / د جـ = أ ب / أ جـ	ب د / د جـ = أ ب / أ جـ (نفس النسبة)
قانون طول المنصف أ د	√[ (أ ب × أ جـ) – (ب د × د جـ) ]	√[ (ب د × د جـ) – (أ ب × أ جـ) ]
حالة الاستثناء والتعذر	ينصف دائماً في أي مثلث	يتعذر ويوازي القاعدة إذا كان المثلث متساوي الساقين (أ ب = أ جـ)

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 16 / 17

💡 كبسولة الفنيات وتريكات الامتحانات والأسئلة الوزارية 2026/2027:

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
تريك امتحاني في المنصف	النسبة ب د / د جـ تساوي دائماً النسبة أ ب / أ جـ ولاحظ الترتيب التناظري الدقيق للرؤوس لتفادي الخطأ الحسابي	النسبةتساويدائماولاحظ
سؤال وزاري	المنصفان الداخلي والخارجي لزاوية رأس المثلث يقسمان القاعدة بنسبتين متساويتين في المقدار (إحداهما من الداخل والأخرى من الخارج) والزاوية بينهما 90°	المنصفانالداخليوالخارجيلزاوية

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية · 17 / 17

المناهج الدراسية

الرياضيات — الصف الأول الثانوي

الرياضيات — الصف الأول الثانوي

الوحدة الثالثة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة ومنصفا الزاوية

🌳 شجرة المفاهيم

├── 3-1-2 عكس النظرية

├── 3-1-4 نظرية تاليس العامة

├── 3-1-5 تطبيقات على شبه المنحرف

├── 3-2-1 نظرية المنصف الداخلي

├── 3-2-2 عكس نظرية المنصف الداخلي

├── 3-2-3 نظرية المنصف الخارجي

├── 3-2-4 حالات خاصة وعكس المنصف الخارجي

├── 3-2-5 طول المنصف الداخلي والخارجي

├── 3-2-6 تطبيقات متنوعة على المنصفين

✍️ أمثلة محلولة

AD ÷ DB = AE ÷ EC

3 ÷ 5 = 6 ÷ EC

EC = 6 × 5 ÷ 3 = 10

AD ÷ AB = AE ÷ AC

6 ÷ 15 = AE ÷ 20

AE = (20 × 2) / 5 = 8

EC = 20 – 8 = 12

x ÷ (x + 2) = 3 ÷ 5

x = 3(x + 2)

x = 3x + 6

x = 3

AB = x + (x + 2) = 8

(2x – 1) ÷ 6 = x ÷ 4

4(2x – 1) = 6x

x − 4 = 6x

x = 4

x = 2

3 ÷ 6 = 2 ÷ 4 = 1 / 2

استعمال AD في نسبة وAB في الأخرى؛

إذا كان

AD ÷ DB = AE ÷ EC

✍️ أمثلة محلولة

AD ÷ DB = 4 ÷ 6 = 2 / 3

AE ÷ EC = 6 ÷ 9 = 2 / 3

DE ∥ BC

✍️ أمثلة محلولة

AD ÷ DB = 3 / 5 = 0.6

AE ÷ EC = 4 / 7 ≈ 0.571

✍️ أمثلة محلولة

6 ÷ 9 = x ÷ (x + 3)

6(x + 3) = 9x

x + 18 = 9x

x = 18

x = 6

✍️ أمثلة محلولة

DB = 12 و EC = 15

AD ÷ DB = 8 ÷ 12 = 2 / 3

AE ÷ EC = 10 ÷ 15 = 2 / 3

✍️ أمثلة محلولة

DE = ½ × 14 = 7

DE ∥ BC

✍️ أمثلة محلولة

محيط △ABC = 40

المحيط الجديد = 40 ÷ 2 = 20

✍️ أمثلة محلولة

AD ÷ DB = 1 فإن AE ÷ EC = 1

E منتصف AC

AE = EC = 9

✍️ أمثلة محلولة

بالمثل SR = 5 و PS = 7

المحيط =

5 + 7 + 5 + 7 = 24

AB ÷ BC = DE ÷ EF

AB ÷ DE = BC ÷ EF = AC ÷ DF

✍️ أمثلة محلولة

AB ÷ BC = DE ÷ EF

4 ÷ 6 = 10 ÷ EF

EF = 10 × 6 ÷ 4 = 15

AB ÷ BC = 6 ÷ 9 = 2 / 3

DE = (25 × 2) / 5 = 10

EF = (25 × 3) / 5 = 15

AB ÷ BC = 1

DE ÷ EF = 1

EF = DE = 7

كل جزء = 12 ÷ 3 = 4 سم