• الرياضيات — الصف الأول الثانوي — الفصل الدراسي الأول (دروس الوحدة: 1-1 مقدمة عن الأعداد المركبة، 1-2 تحديد نوع جذري المعادلة التربيعية، 1-3 العلاقة بين جذري معادلة الدرجة الثانية ومعاملات حدودها، 1-4 إشارة الدالة، 1-5 متباينات الدرجة الثانية في مجهول واحد)

🌳 شجرة المفاهيم

├── 1-1-1 الحاجة إلى العدد التخيلي

├── 1-1-2 القوى الصحيحة للعدد i

├── 1-1-3 مفهوم العدد المركب

├── 1-1-4 تساوي عددين مركبين

├── 1-1-5 جمع الأعداد المركبة وطرحها

├── 1-1-6 ضرب الأعداد المركبة

├── 1-1-7 المرافق وقسمة الأعداد المركبة

├── 1-2-1 حل المعادلة التربيعية بالقانون العام

├── 1-2-2 المميز Δ ونوع الجذرين

├── 1-2-3 الجذران النسبيان والجذران غير النسبيين

├── 1-2-4 إيجاد قيم المجهول بشرط على نوع الجذرين

├── 1-2-5 إثبات نوع الجذرين لكل قيم المجهول

├── 1-3-1 مجموع الجذرين وحاصل ضربهما

├── 1-3-2 قيمة المقادير المتماثلة في الجذرين

├── 1-3-3 إيجاد معامل مجهول بمعلومية أحد الجذرين

├── 1-3-4 علاقات خاصة بين الجذرين

1. ├── 1-3-5 تكوين المعادلة التربيعية بمعلومية جذريها
2. ├── 1-3-6 تكوين معادلة جذراها مرتبطان بجذري معادلة أخرى

├── 1-4-1 مفهوم إشارة الدالة

├── 1-4-2 إشارة الدالة الخطية

• ├── 1-4-3 إشارة الدالة التربيعية ذات الصفرين الحقيقيين المختلفين

├── 1-4-4 إشارة الدالة التربيعية عندما Δ ≤ 0

├── 1-4-5 إشارة الدالة من التمثيل البياني

• ├── 1-5-1 حل متباينة الدرجة الثانية باستخدام إشارة الدالة

├── 1-5-5 مسائل لفظية على المتباينات التربيعية

• يتساوى العددان a + bi و c + di إذا وفقط إذا كان a = c و b = d.

• نساوي الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا.
• من المعادلة المركبة الواحدة نحصل على معادلتين حقيقيتين.
• إذا كان العدد المركب يساوي صفرًا فجزآه الحقيقي والتخيلي كلاهما صفر.
• لاحظ قبل المساواة نُبسّط كل طرف إلى الصورة a + bi، فنحوّل قوى i إلى 1 أو i أو −1 أو −i.

✍️ أمثلة محلولة

x + yi = 3 – 2i

1. .
2. الحل:
3. x = 3
4. y = −2

✍️ أمثلة محلولة

(x + 2y) + (x – y)i = 7 + i

1. .
2. الحل:

x + 2y = 7

x − y = 1

y = 2

x = 1 + y = 3

✍️ أمثلة محلولة

(2x – 1) + (y + 3)i = 5 – 2i

1. .
2. الحل:

x − 1 = 5 ومنه x = 3

y + 3 = −2 ومنه y = −5

✍️ أمثلة محلولة

x + yi = i5 + 2i6

1. .
2. الحل:

i⁵ = i

i⁶ = −1 فيكون 2i⁶ = −2

الطرف الأيمن = −2 + i

x = −2 و y = 1

✍️ أمثلة محلولة

(3x – 6) + (y + 4)i = 0

1. .
2. الحل:

x − 6 = 0 ومنه x = 2

y + 4 = 0 ومنه y = −4

جذرا المعادلة

ax2 + bx + c = 0

• حيث a ≠ 0 هما:

x = (-b ± √(b2 – 4ac)) ÷ (2a)

• .

x = (-b ± √Δ) ÷ (2a)

• نحدد المعاملات a و b و c بإشاراتها.
• نحسب المقدار تحت الجذر

  Δ = b² – 4ac

  .
• إذا كان Δ سالبًا نكتب √Δ بدلالة i فنحصل على جذرين مركبين.
• تذكر إذا كانت المعادلة ليست في الصورة القياسية فننقل كل الحدود إلى طرف واحد ونرتبها أولًا.

✍️ أمثلة محلولة

x2 – 5x + 6 = 0

1. .
2. الحل:

a = 1 و b = −5 و c = 6

Δ = 25 – 24 = 1

x = (5 ± 1) ÷ 2

x = 3 أو x = 2

✍️ أمثلة محلولة

x2 + x – 3 = 0

1. .
2. الحل:

Δ = 1 + 24 = 25

x = (-1 ± 5) ÷ 4

x = 1 أو x = -3 / 2

✍️ أمثلة محلولة

x2 – 2x + 5 = 0

1. .
2. الحل:

Δ = 4 – 20 = -16

√Δ = 4i

x = (2 ± 4i) ÷ 2

x = 1 + 2i أو x = 1 − 2i

✍️ أمثلة محلولة

x2 + 4x + 13 = 0

1. .
2. الحل:

Δ = 16 – 52 = -36

x = (-4 ± 6i) ÷ 2

x = −2 + 3i أو x = −2 − 3i

✍️ أمثلة محلولة

x2 – 6x + 7 = 0

1. وقرّب الناتج.
2. الحل:

Δ = 36 – 28 = 8

x = (6 ± 2√2) ÷ 2

x = 3 + √2 أو x = 3 − √2

x ≈ 4.41 أو x ≈ 1.59

1. تذكر:
2. نسيان القسمة على 2a كاملة؛

كتابة Δ = b2 + 4ac ؛

• وضع b دون إشارتها (−b عندما b سالب تصبح موجبة).

• نُبسّط Δ ونكتبه كمربع كامل أو مجموع مربعات لنحدد إشارته لكل قيم المجهول.

• Δ = (مقدار)² يعني Δ ≥ 0 فالجذران حقيقيان دائمًا.
• Δ = (مقدار)² + عدد موجب يعني Δ > 0 فالجذران حقيقيان مختلفان دائمًا.
• Δ = −(مقدار)² − عدد موجب يعني Δ < 0 فالجذران غير حقيقيين.
• إذا كان a و c مختلفين في الإشارة فإن ac < 0 و Δ > 0 دائمًا.
• لاحظ المربع الكامل لا يكون سالبًا لأي عدد حقيقي، وهذه هي أساس معظم البراهين هنا.

✍️ أمثلة محلولة

x2 – (k + 2)x + 2k = 0

1. حقيقيان لكل قيم k.
2. الحل:

Δ = (k + 2)2 – 8k

Δ = k2 + 4k + 4 – 8k

Δ = k2 – 4k + 4

Δ = (k – 2)2 ≥ 0

• الجذران حقيقيان لكل k.

✍️ أمثلة محلولة

x2 + kx – 1 = 0

1. حقيقيان مختلفان لكل k.
2. الحل:

Δ = k² + 4

k² ≥ 0 فإن k² + 4 ≥ 4 > 0

• الجذران حقيقيان مختلفان لكل k.

✍️ أمثلة محلولة

x2 – 2kx + k2 + 1 = 0

1. غير حقيقيين لكل k.
2. الحل:

Δ = 4k2 – 4(k2 + 1)

Δ = 4k2 – 4k2 – 4 = -4

1. Δ < 0 دائمًا.
2. الجذران غير حقيقيين (x = k ± i).

✍️ أمثلة محلولة

x2 + 5x – 2k2 – 1 = 0

1. حقيقيان مختلفان.
2. الحل:

a = 3 و

c = -2k2 – 1

< 0

ac < 0 فإن −4ac > 0

Δ = 25 – 4ac

> 0

• الجذران حقيقيان مختلفان.
• تذكر الأخطاء الشائعة: إهمال تربيع إشارة السالب في (k + 2)²؛ القول بأن (k − 2)² موجب دائمًا (هو غير سالب، وقد يساوي صفرًا عند k = 2).

• نترجم العلاقة بين الجذرين إلى معادلة، ونحلها مع المجموع أو حاصل الضرب.

✍️ أمثلة محلولة

x2 – 9x + k = 0

1. ضعف الآخر. أوجد k.
2. الحل:
3. الجذران α و 2α.
4. 3α = 9 ومنه α = 3
5. 2α² = k

k = 2 × 9 = 18

• الجذران 3 و 6.

✍️ أمثلة محلولة

x2 + (k – 4)x – 9 = 0

1. متعاكسين جمعيًا.
2. الحل:

المجموع =

-(k – 4) = 0

k = 4

• المعادلة x² − 9 = 0 وجذراها ±3.

✍️ أمثلة محلولة

x2 – 7x + (k + 1) = 0

1. مقلوبين.
2. الحل:

حاصل الضرب =

(k + 1) ÷ 3 = 1

k + 1 = 3

k = 2

✍️ أمثلة محلولة

x2 – 6x + k = 0

1. يساوي 2. أوجد k.
2. الحل:

(α – β )2 = 36 – 4k = 4

k = 32

k = 8

• الجذران 4 و 2.

✍️ أمثلة محلولة

x2 – 3x + k = 0

1. يزيد على الآخر بمقدار 5. أوجد الجذرين.
2. الحل:

α + β = 3 و α − β = 5

α = 4 و β = −1

k = αβ = −4

للدالة

f(x) = ax + b

1. صفر وحيد x = −b ÷ a
2. وإشارتها بعد الصفر هي إشارة a وقبله عكس إشارة a.

• إذا كان a &gt; 0 فالدالة سالبة عن يسار الصفر وموجبة عن يمينه.
• إذا كان a &lt; 0 فالدالة موجبة عن يسار الصفر وسالبة عن يمينه.
• نرسم خط الأعداد ونحدد الصفر ثم نكتب الإشارة على كل جهة.
• علّل لماذا تتغير الإشارة عند الصفر؟ لأن الدالة الخطية متصلة ومطردة، فتمر بالصفر مرة واحدة فتتبدل من سالبة إلى موجبة أو العكس.

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 3x – 6

1. .
2. الحل:
3. 3x = 6 ومنه x = 2

a = 3 > 0

f(x) < 0 عندما x < 2

f(x) > 0 عندما x > 2

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = 4 – 2x

1. .
2. الحل:
3. x = 2

a = −2 < 0

f(x) > 0 عندما x < 2

f(x) < 0 عندما x > 2

✍️ أمثلة محلولة

f(x) = -x – 5

1. .
2. الحل:
3. x = −5

a = −1 < 0

f(x) > 0 عندما x < −5

f(x) < 0 عندما x > −5

(x = -b ÷ a)

• .

• نحل ax² + bx + c &gt; 0 (أو &lt;، ≥، ≤) بأن ندرس إشارة الدالة

f(x) = ax2 + bx + c

• ونأخذ المجالات المطلوبة.

✍️ أمثلة محلولة

1. حل المتباينة x² − 5x + 6 &gt; 0.
2. الحل:
3. الصفران 2 و 3.
4. الدالة موجبة خارج الصفرين.

مجموعة الحل = ]−∞ ، 2[ ∪ ]3 ، ∞[

✍️ أمثلة محلولة

1. حل المتباينة x² − 5x + 6 ≤ 0.
2. الحل:
3. الدالة سالبة أو صفر بين الصفرين وعندهما.

مجموعة الحل = [2 ، 3]

✍️ أمثلة محلولة

1. حل المتباينة 2x² + x − 3 &lt; 0.
2. الحل:

(2x + 3)(x – 1) = 0

1. فالصفران -3 / 2 و 1.
2. الدالة سالبة بين الصفرين.

مجموعة الحل = ]-3 / 2 ، 1[

✍️ أمثلة محلولة

1. حل المتباينة x² − 4 ≥ 0.
2. الحل:
3. الصفران −2 و 2.
4. الدالة موجبة أو صفر خارج الصفرين وعندهما.

مجموعة الحل = ]−∞ ، −2] ∪ [2 ، ∞[

• تذكر:
• الأخطاء الشائعة كتابة الحل على صورة −2 ≥ x ≥ 2 للمتباينة x² − 4 ≥ 0 وهذا غير صحيح؛
• نسيان إدخال نهايات الفترة عندما تكون المتباينة ≤ أو ≥.

• نترجم المسألة إلى متباينة في المجهول، ونحلها، ثم نأخذ الحلول التي تناسب السياق (مثل الأطوال الموجبة).
• نختار المجهول ونعبّر عن الكميات به.
• نكتب الشرط على صورة متباينة.
• نحل ونرفض القيم غير الممكنة (مثل الطول السالب).
• لاحظ لا نعلن الجواب قبل الرجوع إلى شروط الواقع في المسألة.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 مستطيل طوله أكبر من عرضه بمقدار 3 سم ومساحته أقل من 40 سم². ما القيم الممكنة للعرض x؟
• الحل:

x(x + 3) < 40

x² + 3x − 40 < 0

(x + 8)(x − 5) < 0

−8 < x < 5

1. العرض موجب فنأخذ 0 &lt
2. x &lt
3. 5.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 يُقذف جسم رأسيًا ويعطى ارتفاعه بالدالة

  h = 40t – 5t²

  متر بعد t ثانية.
• متى يزيد الارتفاع على 60 مترًا؟
• الحل:

t − 5t² > 60

t² − 40t + 60 < 0

t² − 8t + 12 < 0

(t − 2)(t − 6) < 0

2 < t < 6

• يزيد الارتفاع على 60 مترًا بين الثانيتين 2 و 6.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 ربح مصنع (بالآلاف) يعطى بالدالة

  P = -x² + 60x – 500

  حيث x عدد الوحدات بالمئات.
• ما قيم x التي يكون عندها الربح موجبًا؟
• الحل:

−x² + 60x − 500 > 0

x² − 60x + 500 < 0

(x − 10)(x − 50) < 0

10 < x < 50

• الربح موجب بين 10 و 50 مئة وحدة.
• تذكر الأخطاء الشائعة: ترك الحلول السالبة للأطوال دون استبعاد؛ عكس الاتجاه الصحيح للمتباينة عند التحويل إلى الصورة القياسية.

• .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#1e1b4b}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#1e1b4b}.egp-ex-p{padding:12px 16px}

اختبر نفسك على هذا الدرس

1. تم توزيع أسئلة بنك الدرس على نقاط الشرح أعلاه
2. وكل نقطة تحتها أسئلتها. ولحل البنك كاملًا في صفحة واحدة:

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

| | 2026/2027 |

• 🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• • استيعاب مفهوم الزوج المرتب $(a, b)$ وشرط تساوي زوجين مرتبين وحل المعادلات الناتجة.
• • إيجاد حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين منتهيتين X × Y وتمثيله بالمخطط السهمي والبياني.
• • تحديد مفهوم العلاقة والتمييز بين العلاقة والدالة وتحديد المجال والمجال المقابل والمدى.
• • دراسة الدوال كثيرة الحدود (الدالة الخطية، الدالة الثابتة، والدالة التربيعية وتمثيلها البياني ونقطة رأس المنحنى).
• ◄ أولاً الجبر الديكارتي وتساوي الأزواج المرتبة

• يمثل الزوج المرتب اللبنة الأساسية للهندسة التحليلية والجبر الحديث؛ إذ يحدد نقطة فريدة في المستوى الإحداثي الديكارتي ثنائي الأبعاد.
• وقاعدة تساوي الأزواج المرتبة تعد أداة جبرية بالغة الأهمية لحل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية المزدوجة بمساواة المساقط المتناظرة.
• أما حاصل الضرب الديكارتي X × Y فيعطي ناتج ضرب مجموعات وليس أرقاماً عادية، والناتج دائماً مجموعة من الأزواج المرتبة.
• ومن الخصائص الجوهرية: X × Y ≠ Y × X (عملية غير إبدالية)، بينما عدد العناصر إبدالي: n(X × Y) = n(Y × X) = n(X) × n(Y).
• شكل توضيحي (prep3_cartesian_and_quadratic_graph) شكل (1): حاصل الضرب الديكارتي وتمثيل منحنى الدالة التربيعية ونقطة رأس المنحنى

• ◄ ثانياً مفهوم الدالة والمجال والمدى وشروط بيان العلاقة
• تعد الدالة من أرقى المفاهيم الرياضية المعبرة عن العلاقات السببية في الكون؛ حيث ترتبط مدخلات (مجال X) بمخرجات وحيدة (مدى Y).
• وتكون العلاقة الرياضية المعرفة من X إلى Y دالة إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط المتكافئة التالية:
• 1. في بيان العلاقة (R): كل عنصر من عناصر المجموعة X يظهر كمسقط أول في زوج مرتب واحد فقط دون تكرار ودون غياب.
• 2. في المخطط السهمي: يخرج من كل عنصر من عناصر X سهم واحد وواحد فقط يتجه إلى أحد عناصر Y.
• 3. في المخطط البياني (الشبكة التربيعية): كل خط رأسي يمر بنقطة واحدة فقط من نقاط بيان العلاقة.
• المجموعة X تسمى "المجال"، والمجموعة Y تسمى "المجال المقابل"، ومجموعة الصور التي استقبلت الأسهم تسمى "المدى" (وهو مجموعة جزئية من Y).

• ◄ ثالثاً دراسة الدوال كثيرة الحدود وتمثيل الدالة التربيعية
• الدوال كثيرة الحدود هي دوال قاعدتها مقدار جبري ومجالها ومجالها المقابل هو مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ، وأس المتغير x فيها عدد طبيعي ينتمي إلى ℕ.
• وتصنف حسب أعلى أس للمتغير إلى:
• – دالة ثابتة (درجة صفر) f(x) = c ويمثلها خط مستقيم أفقي يوازي محور السينات ويقطع محور الصادات في (0, c).
• – دالة خطية (درجة أولى) f(x) = ax + b ويمثلها خط مستقيم مائل يقطع محور الصادات في (0, b) ومحور السينات في (-b / a, 0).
• – دالة تربيعية (درجة ثانية) f(x) = ax2 + bx + c ويمثلها منحنى متماثل على شكل حرف U متصل أملس.
• يعد رسم الدالة التربيعية محوراً امتحانياً أساسياً؛ حيث نكون جدول قيم للفترة المعطاة، ومن خلال الجدول والمنحنى نستخرج مباشرة: 1) إحداثيات نقطة رأس المنحنى (x₀, y₀)، 2) معادلة محور التماثل x = x₀، 3) القيمة العظمى أو الصغرى وهي الإحداثي الصادي y = y₀.

• 🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):
• مثال نموذجي 1 مسألة نموذجية محلولة رقم 1 – تمثيل الدالة التربيعية واستخراج الخصائص
• نص المسألة / السؤال المعطيات: مثل بيانياً الدالة f(x) = x2 – 2x – 3 في الفترة المغلقة [-2, 4].
• ومن الرسم استنتج 1) إحداثيي نقطة رأس المنحنى، 2) معادلة محور التماثل، 3) القيمة الصغرى للدالة.
• الحل بالخطوات الجبرية والبيانية:
• 1) تكوين جدول القيم بالتعويض عن x ∈ {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}:
• – f(-2) = (-2)² – 2(-2) – 3 = 4 + 4 – 3 = 5 ⇒ (-2, 5)
• – f(-1) = (-1)² – 2(-1) – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 ⇒ (-1, 0)

– f(0) = (0)2 – 2(0) – 3 = -3 ⇒ (0, -3)

• – f(1) = (1)² – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4 ⇒ (1, -4)
• – f(2) = (2)² – 2(2) – 3 = 4 – 4 – 3 = -3 ⇒ (2, -3)
• – f(3) = (3)² – 2(3) – 3 = 9 – 6 – 3 = 0 ⇒ (3, 0)
• – f(4) = (4)² – 2(4) – 3 = 16 – 8 – 3 = 5 ⇒ (4, 5)
• 2) من التماثل البين في الجدول والرسم نجد:
• نقطة رأس المنحنى هي (1, -4).
• معادلة محور التماثل هي x = 1.
• القيمة الصغرى للدالة هي -4 (لأن معامل x2 موجب والمنحنى مفتوح لأعلى).