• الزاوية الموجهة هي زاوية تتولد بدوران شعاع حول نقطة ثابتة من وضع ابتدائي إلى وضع نهائي.

• النقطة الثابتة هي رأس الزاوية.
• الشعاع في بدء الدوران هو الضلع الابتدائي، وفي نهايته هو الضلع النهائي.
• الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة يعطي زاوية موجبة.
• الدوران في اتجاه عقارب الساعة يعطي زاوية سالبة.
• قد يدور الشعاع أكثر من دورة كاملة فيتجاوز القياس 360°.
• لاحظ الزاوية الموجهة لها قياس مع إشارة، وقد تكون أكبر من 360° أو سالبة، بخلاف الزاوية الهندسية العادية التي لا تتجاوز 180°.
• تذكر الدورة الكاملة عكس عقارب الساعة = +360° وفي اتجاه عقارب الساعة = −360°.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 حدّد إشارة الزاوية الناتجة عن دوران شعاع ربع دورة في اتجاه عقارب الساعة، واكتب قياسها.
• الحل:
• الدوران في اتجاه عقارب الساعة فالزاوية سالبة.

ربع دورة =

360° ÷ 4 = 90°

القياس = −90°

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 ما قياس الزاوية الناتجة عن دوران شعاع دورة ونصف عكس اتجاه عقارب الساعة؟
• الحل:

دورة كاملة = 360°

نصف دورة = 180°

القياس =

360° + 180° = 540°

(موجبة)

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 شعاع دار 3 / 4 دورة في اتجاه عقارب الساعة. أوجد قياس الزاوية.
• الحل:

3 / 4 × 360° = 270°

الدوران مع عقارب الساعة فالقياس = −270°

• في القياس الستيني تُقسم الدرجة الواحدة إلى 60 دقيقة والدقيقة إلى 60 ثانية.

• إذا كانت P(x ، y) نقطة على الضلع النهائي لزاوية θ في الوضع القياسي و

r = √(x2 + y2)

• فإن:

sin θ = y ÷ r

cos θ = x ÷ r

tan θ = y ÷ x

حيث x ≠ 0

• r هي بعد النقطة P عن نقطة الأصل وهي دائمًا موجبة.
• القيم لا تعتمد على اختيار النقطة P على الضلع النهائي.
• المقلوبات csc θ = r ÷ y و sec θ = r ÷ x و cot θ = x ÷ y .
• لاحظ عندما تكون θ حادة تتفق هذه التعريفات مع نسب المثلث القائم: الجيب = المقابل ÷ الوتر، جيب التمام = المجاور ÷ الوتر، الظل = المقابل ÷ المجاور.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 النقطة P(3 ، 4) على الضلع النهائي للزاوية θ. أوجد الدوال المثلثية لها.
• الحل:

r = √(9 + 16) = 5

sin θ = 4 / 5

cos θ = 3 / 5

tan θ = 4 / 3

• مثال 2 النقطة P(−5 ، 12) على الضلع النهائي للزاوية θ. أوجد sin θ و cos θ و tan θ.
• الحل:

r = √(25 + 144) = 13

sin θ = 12 / 13

cos θ = -5 / 13

tan θ = -12 / 5

• مثال 3 النقطة P(−8 ، −6) على الضلع النهائي للزاوية θ. أوجد sin θ و cos θ و tan θ.
• الحل:

r = √(64 + 36) = 10

sin θ = -6 / 10 = -3 / 5

cos θ = -8 / 10 = -4 / 5

tan θ = (-6) ÷ (-8) = 3 / 4

• مثال 4 النقطة P(5 ، −12) على الضلع النهائي للزاوية θ. أوجد csc θ و sec θ و cot θ.
• الحل:

r = 13

csc θ = 13 ÷ (-12) = -13 / 12

sec θ = 13 / 5

cot θ = 5 ÷ (-12) = -5 / 12

نستعمل المتطابقة

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

• أو المثلث القائم ونحدد الإشارة من الربع.

1. نحدد الربع ومن ثم إشارات الدوال.
2. نبني مثلثًا قائمًا بالقيمة المطلقة للنسبة المعلومة.
3. نوجد الضلع الثالث بفيثاغورث ونكتب باقي النسب مع الإشارة.
4. إذا لم يُعطَ الربع قد يوجد حلان.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 إذا كان sin θ = 3 / 5 و θ في الربع الثاني فأوجد cos θ و tan θ.
• الحل:

|

cos θ | = 4 / 5

• في الربع الثاني cos سالبة:

cos θ = -4 / 5

tan θ = (3 / 5) ÷ (-4 / 5) = -3 / 4

✍️ أمثلة محلولة

cos θ = -5 / 13

1. و θ في الربع الثالث فأوجد sin θ و tan θ.
2. الحل:

|

sin θ | = 12 / 13

• في الربع الثالث sin سالبة:

sin θ = -12 / 13

tan θ = (-12 / 13) ÷ (-5 / 13) = 12 / 5

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 إذا كان tan θ = −2 و θ في الربع الرابع فأوجد sin θ و cos θ.
• الحل:

1. نرسم مثلثًا ضلعاه 2 و 1 ووتره √5.
2. في الربع الرابع x > 0 و y < 0.

sin θ = -2 / √5 = -2√5 / 5

cos θ = 1 / √5 = √5 / 5

✍️ أمثلة محلولة

sin θ = -1 / 2

1. فأوجد جميع قيم cos θ الممكنة.
2. الحل:

cos 2 θ = 1 – 1 / 4 = 3 / 4

• sin (90° – θ ) = cos θ

  و

  cos (90° – θ ) = sin θ

  و

  tan (90° – θ ) = cot θ

  .
• وكذلك

  sin (90° + θ ) = cos θ

  و

  cos (90° + θ ) = -sin θ

  و

  tan (90° + θ ) = -cot θ

  .
• sin (90° – θ ) = cos θ
• cos (90° – θ ) = sin θ
• tan (90° – θ ) = cot θ
• sin (90° + θ ) = cos θ
• cos (90° + θ ) = -sin θ
• tan (90° + θ ) = -cot θ

• عند 90° و 270° (مضاعفات فردية لـ 90°) يتحول اسم الدالة إلى متممتها.
• نحدد الإشارة من الربع الذي تقع فيه الزاوية الكبيرة (بافتراض θ حادة).
• لاحظ الزاويتان θ و 90° − θ متتامتان، وهذا هو سر قولنا: جيب زاوية = جيب تمام متممتها.

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد sin 120° و cos 120°.
2. الحل:

120° = 90° + 30°

sin 120° = cos 30° = √3 / 2

cos 120° = -sin 30° = -1 / 2

1. أوجد قيمة sin 60° − cos 30°.
2. الحل:

sin 60° = cos (90° – 60°) = cos 30°

الفرق =

cos 30° – cos 30° = 0

✍️ أمثلة محلولة

1. أوجد tan 120°.
2. الحل:

tan (90° + 30°) = -cot 30° = -√3

أو

120° = 180° – 60°

ومنه

tan 120° = -tan 60° = -√3

• (نفس القيمة).

• دالة جيب التمام مجالها ℝ ومداها [−1 ، 1] ودورتها 2π وهي زوجية.

• جدول القيم x = 0 و π / 2 و π و 3π / 2 و 2π تعطي y = 1 و 0 و −1 و 0 و 1.
• القيمة العظمى 1 عند x = 0 و 2π والصغرى −1 عند x = π.
• المنحنى متماثل حول محور الصادات لأن

  cos (-x) = cos x

  .
• منحنى cos x هو منحنى sin x بعد انسحابه π / 2 إلى اليسار.
• لاحظ:

cos x = sin (x + π / 2)

• وهذا يفسر التشابه بين الشكلين.

✍️ أمثلة محلولة

cos x = 0 عند x = π / 2 و x = 3π / 2

✍️ أمثلة محلولة

1. قارن بين القيمتين cos 0.5 و cos 1 (x بالراديان).
2. الحل:

• الدالة متناقصة على الفترة [0 ، π].
• 0.5 < 1 فإن cos 0.5 > cos 1.
• تذكر الأخطاء الشائعة: بدء منحنى cos من الصفر؛ الخلط بين منحنيي sin و cos.

• تُنمذج الظواهر الدورية (المد والجزر، عجلة دوارة، موجات) بدوال الجيب وجيب التمام.

1. نحدد السعة والدورة ومتوسط القيمة.
2. نعوّض الزمن ونحل معادلة أو متباينة مثلثية.
3. نحول الإجابة إلى المعنى العملي (ساعات، أمتار).
4. القيمة المتوسطة = c والسعة = |a| في الصيغة

y = a sin bx + c

• .

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 1 عمق الماء في ميناء بالأمتار بعد t ساعة هو

  d = 5 + 3 sin ((π t) / 6)

  .
• أوجد أقصى عمق وأدنى عمق والدورة.
• الحل:
• السعة = 3 والمتوسط 5.

أقصى عمق = 5 + 3 = 8 م

أدنى عمق = 5 − 3 = 2 م

الدورة =

π ÷ (π / 6) = 12

ساعة

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 في المثال السابق متى يكون العمق 6.5 م أو أكثر خلال أول 12 ساعة؟
• الحل:

5 + 3 sin ((π t) / 6) ≥ 6.5

sin ((π t) / 6) ≥ 0.5

((π / 6 ≤ π t) / 6 ≤ 5π) / 6

1 ≤ t ≤ 5

• يكون العمق 6.5 م أو أكثر بين الساعة 1 والساعة 5.

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 عجلة دوّارة تدور دورة كاملة كل 8 دقائق ونصف قطرها 10 م. ما سعة وارتفاع الحركة الرأسية وما الدورة؟
• الحل:

السعة = نصف القطر = 10 م

الدورة = 8 دقائق

الارتفاع الكلي بين أعلى وأدنى نقطة = 20 م

✍️ أمثلة محلولة

1. حل المعادلة sin x = 1 / 2 حيث 0 ≤ x ≤ 2π.
2. الحل:

المرجعية π / 6

• الربعان الأول والثاني.

x = π / 6 أو x = 5π / 6

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 2 النقطة P(−3 ، 4) على الضلع النهائي لزاوية θ في الوضع القياسي حيث 0° ≤ θ < 360°. أوجد θ لأقرب جزء من مئة.
• الحل:
• x < 0 و y > 0 فالنقطة في الربع الثاني.

α = tan -1(4 ÷ 3) ≈ 53.13°

θ = 180° – 53.13° = 126.87°

• التحقق:

cos θ = -3 / 5 = -0.6

وهذا يوافق

cos 126.87° ≈ -0.6

• .

✍️ أمثلة محلولة

• مثال 3 النقطة P(2 ، −2) على الضلع النهائي لزاوية θ حيث 0° ≤ θ < 360°. أوجد θ.
• الحل:
• x > 0 و y < 0 فالربع الرابع.

α = tan -1(2 / 2) = 45°

θ = 360° – 45° = 315°

✍️ أمثلة محلولة

cos x = -1 / 2

1. حيث 0 ≤ x ≤ 2π.
2. الحل:

المرجعية π / 3

• cos سالبة فالربعان الثاني والثالث.

x = π – π / 3 = 2π / 3

أو

x = π + π / 3 = 4π / 3

• .egp-ex{margin:18px 0;border:1px solid rgba(79,63,224,.2);border-radius:16px;overflow:hidden;background:#fff}.egp-ex-h{padding:10px 16px;font-weight:800;background:linear-gradient(90deg,#4f3fe0,#22c1c3);color:#1e1b4b}.egp-ex-tabs{display:flex;flex-wrap:wrap;gap:6px;padding:10px 12px;background:#f7f6ff}.egp-ex-b{border:1px solid rgba(79,63,224,.3);background:#fff;border-radius:20px;padding:5px 14px;font-weight:700;cursor:pointer}.egp-ex-b.on{background:#4f3fe0;color:#1e1b4b}.egp-ex-p{padding:12px 16px}

اختبر نفسك على هذا الدرس

1. تم توزيع أسئلة بنك الدرس على نقاط الشرح أعلاه
2. وكل نقطة تحتها أسئلتها. ولحل البنك كاملًا في صفحة واحدة:

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

| | 2026/2027 |

• 🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:
• • تعريف النسب المثلثية الأساسية الثلاث للزاوية الحادة في المثلث القائم الزاوية (جا، جتا، ظا).
• • استنتاج العلاقة الرياضية بين زاويتين متتامتين sin θ = cos (90° – θ).
• • حفظ وتطبيق النسب المثلثية الدقيقة للزوايا الخاصة (30°, 45°, 60°).
• • استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قياس الزاوية بمعلومية إحدى نسبها المثلثية والعكس.
• ◄ أولاً تعريف النسب المثلثية في المثلث القائم وتطبيقات نظرية فيثاغورس
• تُعرّف النسب المثلثية حصرياً داخل المثلث القائم الزاوية؛ ففي المثلث \(ABC\) القائم في B، يمثل الضلع المقابل للزاوية القائمة "الوتر" وهو أطول أضلاع المثلث.
• وبالنسبة لأي زاوية حادة مثل زاوية A:
• – الضلع \(BC\) هو المقابل.
• – الضلع \(AB\) هو المجاور.
• – الضلع \(AC\) هو الوتر.
• وتحسب النسب مباشرة sin A = BC / AC، و cos A = AB / AC، و tan A = BC / AB. وتعد نظرية فيثاغورس (AC2 = AB2 + BC2) الأداة الحسابية المسبقة لحساب الضلع المجهول قبل إيجاد أي نسبة مثلثية.

• شكل توضيحي (prep3_trigonometry_triangles) شكل (3): النسب المثلثية في المثلث القائم والنسب المثلثية للزوايا الخاصة 30 و 45 و 60
• ◄ ثانياً العلاقة الذهبية بين الزوايا المتتامة (A + B = 90°)
• في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع الزاويتين الحادتين دائماً 90°، مما يجعلهما زاويتين متتامتين.
• ولأن ضلع المقابل للزاوية A هو نفسه ضلع المجاور للزاوية C، تنشأ القاعدة المثلثية الذهبية:
• "جيب أي زاوية حادة يساوي جيب تمام الزاوية المتممة لها":
• sin A = cos C و cos A = sin C.
• وعلى هذا الأساس sin 30° = cos 60° = 1 / 2، و sin 70° = cos 20°. وإذا ورد في الامتحان sin x = cos x، فإن ذلك يقتضي مباشرة أن الزاوية x = 45° لأن x + x = 90° ⇒ 2x = 90° ⇒ x = 45°.

1. المثلث الثلاثيني الستيني والمثلث المتساوي الساقين (الزوايا الخاصة)
2. تستنتج النسب المثلثية للزوايا الخاصة هندسياً دون الحاجة للحفظ الأعمى:
3. المثلث الثلاثيني الستيني (30° – 60°): الضلع المقابل للزاوية 30° يساوي نصف طول الوتر؛ فإذا فرضنا المقابل = 1 والوتر = 2، فإن الضلع المجاور لـ 30° (المقابل لـ 60°) يساوي √(22 – 12) = √3 بنظرية فيثاغورس، ومنها نستنتج نسب 30° و 60°.
4. المثلث القائم المتساوي الساقين (45° – 45°): يكون فيه طولا ضلعي القائمة متساويين (1 و 1)، والوتر يساوي √(12 + 12) = √2، ومنها sin 45° = 1 / √2 و cos 45° = 1 / √2 و tan 45° = 1 / 1 = 1.
5. 🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):

• مثال نموذجي 1 مسألة نموذجية محلولة رقم 3 – إثبات متطابقة مثلثة بدون آلة حاسبة
• نص المسألة / السؤال المطلوب: بدون استخدام الآلة الحاسبة، أثبت صحة المتطابقة الآتية:
• cos 60° = 2cos ² 30° – 1.
• الحل بالخطوات الجبرية:
• 1) الطرف الأيمن (L.H.S):
• الطرف الأيمن = cos 60° = 1 / 2.
• 2) الطرف الأيسر (R.H.S):
• الطرف الأيسر = 2cos ² 30° – 1.
• بما أن cos 30° = √3 / 2:
• إذن cos 2 30° = (√3 / 2)2 = 3 / 4.
• بالتعويض الطرف الأيسر = 2 × 3 / 4 – 1 = 3 / 2 – 1 = 1 / 2.
• بما أن الطرف الأيمن = الطرف الأيسر = 1 / 2، إذن المتطابقة صحيحة ومثبتة تماماً.
• 💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets):
• ★ تكة امتحانية إذا كان sin x = cos y فإن الزاويتين متتامتان: x + y = 90°. فإذا كان sin 2x = cos 3x، فإن 2x + 3x = 90° ⇒ 5x = 90° ⇒ x = 18°.