المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثاني الثانوي

الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات

0/22

الوحدة الثانية: الأسس واللوغاريتمات

0/34

الوحدة الثالثة: النهايات

0/15

الوحدة الرابعة: حساب المثلثات

0/10
نص الدرس

الأسس النسبية

الرياضيات البحتة — الصف الثاني الثانوي

الأسس النسبية

تعريف الأس النسبي

تعريف الأس النسبي

  1. الأس النسبي يربط بين القوى والجذور. إذا كان أ > 0
  2. و م
  3. ن عددين صحيحين حيث ن ≠ 0
  4. فإن:
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
أ1/ن = n√أأي أن الأس 1/ن يعني الجذر النونيالأسيعنيالجذرالنوني
أم/ن = (n√أ)م = n√(أم)
  • أي أن البسط يعني القوة
  • والمقام يعني الجذر
البسطيعنيالقوةوالمقام
أ−م/ن = 1 / أم/نأي أن الأس السالب يعني مقلوب القوةالأسالسالبيعنيمقلوب
•
  • من الأفضل إيجاد الجذر أولًا ثم رفع الناتج للقوة
  • لأن الأعداد تكون أصغر وأسهل في الحساب
الأفضلإيجادالجذرالناتج
مثال للتوضيح
  • 251/2 = √25 = 5
  • و253/2 = (√25)3 = 53 = 125. لاحظ أن الأس 3/2 يعني الجذر التربيعي ثم الرفع للقوة الثالثة
و253لاحظالأسيعني
الأسس النسبية · 1 / 5
قوانين الأسس

قوانين الأسس

  1. القوانين الأساسية للأسس الصحيحة تنطبق أيضًا على الأسس النسبية
  2. مع شرط أن تكون الأعداد موجبة:
القانون مثال
أم × أن = أم+ن x1/2 × x3/2 = x2
أم ÷ أن = أم−ن x2 ÷ x1/2 = x3/2
(أم)ن = أم ن (a2/3)3 = a2
(أ ب)م = أم بم (4y)1/2 = 2y1/2
  1. يُشترط أن تكون الأعداد داخل الجذور موجبة
  2. فلا نطبق قانون الجذر على عدد سالب بطريقة عامة إلا بعد التحقق من دليل الجذر ومن زوجيته.
الأسس النسبية · 2 / 5
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

الحل←√(a3) = a3/2، و∛(a2) = a2/3. بجمع الأسس: 3/2 + 2/3 = 9/6 + 4/6 = 13/6. إذن الناتج a13/6.

المثال السادس: معادلة فيها أس نسبي

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•حل المعادلة س3/2 = 8، حيث س > 0.المعادلة
الحلنرفع الطرفين للأس المقلوب 2/3، فنحصل على (س3/2)2/3 = 82/3، أي س = 4.نرفعالطرفينللأسالمقلوب
التحقق43/2 = (√4)3 = 23 = 8. الحل صحيح.الحلصحيح

المثال السابع: مسألة متدرجة الصعوبة

  • احسب (32)−2/5.
  • الحل (32)−2/5 = 1 / 322/5. الجذر الخامس للعدد 32 هو 2، ثم نرفعه للقوة 2 فنحصل على 4. إذن القيمة هي 1/4.
مكعب شفاف حجمه 8 وحرفه 2 يمثل الأسس النسبية: الجذر التكعيبي للعدد 8 يساوي 2 ومربعه 4.
مكعب شفاف حجمه 8 وحرفه 2 يمثل الأسس النسبية: الجذر التكعيبي للعدد 8 يساوي 2 ومربعه 4.

المثال الأول: تحويل جذر إلى أس نسبي

  1. اكتب ∛(س5) في صورة أس نسبي، ثم احسب 82/3.
  2. ∛(س5) = س5/3. و 82/3 = (∛8)2 = 22 = 4.

المثال الثاني: أس نسبي سالب

  • احسب 16−3/4.
  • الحل 16−3/4 = 1 / 163/4. نوجد الجذر الرابع أولًا: ∜16 = 2، ثم نرفع الناتج للقوة 3: 23 = 8. إذن القيمة هي 1/8.

المثال الثالث: قيمة عدد مرفوع لأس كسري أكبر من الواحد

  • احسب 274/3.
  • الحل الجذر التكعيبي للعدد 27 هو 3، ثم نرفع الناتج للقوة 4: 34 = 81.
المثال الرابع: تبسيط مقدار
بسّط المقدار(x1/2 × x3/2) ÷ x، حيث x > 0.
الحلبجمع الأسس في الضرب نحصل على x1/2 + 3/2 = x2. ثم نقسم على x فنحصل على x2 − 1 = x.

المثال الخامس: ضرب جذرين مختلفين

  • اكتب المقدار √(a3) × ∛(a2) في صورة aن، حيث a > 0.
الأسس النسبية · 3 / 5
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

توزيع الأس على مجموع(أ + ب)م/ن لا تساوي أم/ن + بم/ن.
الخلط بين الأس السالب والعدد السالب8−1/3 = 1/2، وليس −2.
الخطأ في قراءة الكسر82/3 تعني (∛8)2 = 4، وليس 82 ÷ 3.
تطبيق قانون الجذر على عدد سالب بطريقة عامةالجذر التربيعي لعدد سالب غير معرّف في ح.
الأسس النسبية · 4 / 5
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • أ1/ن = n√أ، و أم/ن = (n√أ)م.
  • أ−م/ن = 1 / أم/ن.
  • تنطبق قوانين الأسس الصحيحة على الأسس النسبية عندما تكون الأعداد موجبة.
  • نوجد الجذر أولًا ثم نرفع الناتج للقوة لتسهيل الحساب.
الأسس النسبية · 5 / 5