المناهج الدراسية

الرياضيات البحتة — الصف الثاني الثانوي

الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات

0/22

الوحدة الثانية: الأسس واللوغاريتمات

0/34

الوحدة الثالثة: النهايات

0/15

الوحدة الرابعة: حساب المثلثات

0/10

نص الدرس

الدالة العكسية

الرياضيات البحتة — الصف الثاني الثانوي

الدالة العكسية

الشرح تدريب

أقسام الدرس

مفهوم الدالة العكسية شرط وجود الدالة العكسية طريقة إيجاد الدالة العكسية التمثيل البياني أمثلة محلولة أخطاء شائعة ملخص الدرس

مفهوم الدالة العكسية

الدالة العكسية للدالة د، ونرمز لها بالرمز د⁻¹، هي الدالة التي تعكس عمل الدالة د. فإذا كانت د(أ) = ب، فإن د⁻¹(ب) = أ.
وتحقق الدالة العكسية الخاصيتين:

د⁻¹(د(س)) = س لكل س في مجال د.
د(د⁻¹(س)) = س لكل س في مجال د⁻¹.
تنبيه الرمز د−1 يعني الدالة العكسية، وليس مقلوب الدالة. أي أن د−1(س) لا تساوي 1/د(س).

الدالة العكسية · 1 / 7

الجزء التالي

شرط وجود الدالة العكسية

لا توجد دالة عكسية إلا للدالة المتباينة (واحد لواحد)، أي التي تعطي قيمًا مختلفة من قيم مختلفة للمتغير.
لأنه إذا أعطت الدالة نفس الناتج من مدخلين مختلفين، فلن نعرف عند العكس أي المدخلين نختار.
اختبار ذلك بيانيًا هو اختبار الخط الأفقي إذا قطع أي خط أفقي المنحنى في أكثر من نقطة، فلا توجد دالة عكسية.

الدالة	لها دالة عكسية؟	السبب
د(س) = 2س − 6	نعم	دالة خطية متزايدة
د(س) = س³ + 1	نعم	الخط الأفقي يقطع المنحنى في نقطة واحدة
د(س) = س²	لا (على ح)	د(2) = د(−2) = 4

الدالة العكسية · 2 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

طريقة إيجاد الدالة العكسية

نتبع الخطوات التالية:

نكتب الدالة على الصورة ص = د(س).
نبدل بين س و ص.
نحل المعادلة الناتجة لإيجاد ص، ثم نكتب ص = د⁻¹(س).
نحدد مجال الدالة العكسية، وهو مدى الدالة الأصلية.
وإذا كانت الدالة الأصلية غير متباينة على مجالها الكامل، نقيّد مجالها إلى جزء تكون فيه متباينة، ثم نوجد عكسها على هذا الجزء.

الدالة العكسية · 3 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

التمثيل البياني

سلك منحنٍ ص = س² وانعكاسه في مرآة الدالة العكسية ص = س يعطي (2 , 4) و(4 , 2).

منحنى الدالة العكسية هو صورة منحنى الدالة الأصلية بالنسبة للمستقيم ص = س.
فإذا كانت النقطة (أ، ب) تنتمي إلى منحنى د، فإن النقطة (ب، أ) تنتمي إلى منحنى د−1.
ولهذا السبب يكون المنحنيان متماثلين حول المستقيم ص = س.

الدالة العكسية · 4 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

أمثلة محلولة

المثال الأول: دالة خطية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	أوجد د⁻¹ للدالة د(س) = 2س − 6، ثم تحقق من الناتج.	أوجدللدالةتحققالناتج
الحل	ص = 2س − 6. نبدل: س = 2ص − 6، فتصبح 2ص = س + 6، ومنه ص = (س + 6) / 2. إذن د⁻¹(س) = (س + 6) / 2.	نبدلفتصبحومنه
التحقق	د(د⁻¹(س)) = 2 × (س + 6) / 2 − 6 = س + 6 − 6 = س.

المثال الثاني: دالة تكعيبية

أوجد د⁻¹ للدالة د(س) = س³ + 1.
الحل ص = س³ + 1. نبدل: س = ص³ + 1، فيكون ص³ = س − 1، ومنه ص = ∛(س − 1). إذن د⁻¹(س) = ∛(س − 1)، وتعرف لجميع قيم س.

المثال الثالث: تقييد المجال

الدالة د(س) = س² غير متباينة على ح، لكنها متباينة على [0، ∞[. أوجد د⁻¹ على هذا المجال.
الحل ص = س²، نبدل فتصبح س = ص²، ومنه ص = ±√س. ولأن مجال الدالة الأصلية هو [0، ∞[ فإن مداها هو [0، ∞[، ونختار الجذر الموجب فقط. إذن د⁻¹(س) = √س، ومجالها [0، ∞[.

المثال الرابع: دالة كسرية

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	أوجد د⁻¹ للدالة د(س) = 3 / (س − 1).	أوجدللدالة
الحل	ص = 3 / (س − 1). نبدل: س = 3 / (ص − 1)، فيكون ص − 1 = 3 / س، ومنه ص = 1 + 3 / س. إذن د⁻¹(س) = 1 + 3/س، ومجالها ح − {0}، وهو مدى د لأن د لا تأخذ القيمة 0.	نبدلفيكونومنهومجالها
التحقق	د(د⁻¹(س)) = 3 / ((1 + 3/س) − 1) = 3 / (3/س) = س.

المثال الخامس: قيمة الدالة العكسية عند نقطة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	إذا كانت د(س) = 2س − 6، أوجد د⁻¹(4).	كانتأوجد
الحل	د⁻¹(4) = (4 + 6) / 2 = 5.
التحقق	د(5) = 2 × 5 − 6 = 4. الحل صحيح	الحلصحيح

المثال السادس: قيمة مجهولة لعكس دالة تربيعية

الدالة د(س) = س² − 4 معرفة على [0، ∞[. أوجد د⁻¹(5).
الحل نحل المعادلة د(س) = 5، أي س² − 4 = 5، فنجد س² = 9، ومنه س = 3 أو س = −3. ولأن س في [0، ∞[ فإن س = 3 فقط. إذن د⁻¹(5) = 3.

التحقق←د(3) = 9 − 4 = 5. الحل صحيح.

الدالة العكسية · 5 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

أخطاء شائعة

الخلط بين الدالة العكسية ومقلوب الدالةد⁻¹(س) تختلف عن 1/د(س).

نسيان تبديل س و صإذا لم نبدل المتغيرين نحصل على الدالة الأصلية نفسها.

إغفال المجالمجال الدالة العكسية هو مدى الدالة الأصلية، وليس مجالها.

أخذ الجذرين في دالة تربيعية مقيدةنختار الجذر الذي يحقق المجال المعطى فقط.

الدالة العكسية · 6 / 7

الجزء السابق الجزء التالي

ملخص الدرس

الدالة العكسية د−1 تعكس عمل الدالة د إذا كانت د(أ) = ب فإن د−1(ب) = أ.
لا توجد دالة عكسية إلا للدالة المتباينة، ويُختبر ذلك بالخط الأفقي.
نوجد الدالة العكسية بكتابة ص = د(س)، ثم تبديل س و ص وحل المعادلة لـ ص.
التركيب د(د⁻¹(س)) = س و د⁻¹(د(س)) = س يؤكدان صحة العكس.
منحنى الدالة العكسية صورة منحنى الدالة الأصلية بالنسبة للمستقيم ص = س.

الدالة العكسية · 7 / 7

الجزء السابق

أحسنت! أنهيت هذا الدرس

ماذا تريد أن تفعل الآن؟

حل الكويزاختبر ما تعلمته الآن الدرس التاليالدالة اللوغاريتمية ذاكر مادة أخرىالصف الثاني الثانوي