الارتباط

مفهوم الارتباط وشكل الانتشار

الارتباط هو العلاقة بين متغيرين، ونبحث فيه عن مدى تغير أحد المتغيرين بتغير الآخر.
ومن أمثلة ذلك: عدد ساعات المذاكرة ودرجة الطالب في الامتحان، أو درجة الحرارة وعدد الزجاجات المشروبة المباعة من مشروب بارد.

ثلاث لوحات زجاجية بكرات تمثل الارتباط وشكل الانتشار: طردي r ≈ 0.99 وعكسي وغير مرتبط.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	يُمثَّل الارتباط بين متغيرين بشكل الانتشار (Scatter diagram) وفيه تُرسم كل قيمة مزدوجة (س ص) على صورة نقطة في المستوى الإحداثي	الارتباطمتغيرينبشكلالانتشار
•	ومن اتجاه النقاط نحكم على نوع العلاقة	اتجاهالنقاطنحكمالعلاقة
الارتباط الطردي	كلما زادت س زادت ص تقريباً وتتجه النقاط من أسفل يسار إلى أعلى يمين	كلمازادتتقريباوتتجه
الارتباط العكسي	كلما زادت س قلت ص تقريباً وتتجه النقاط من أعلى يسار إلى أسفل يمين	كلمازادتتقريباوتتجه
انعدام الارتباط	النقاط متناثرة دون اتجاه واضح	النقاطمتناثرةاتجاهواضح

الارتباط · 1 / 7

قوة الارتباط ومعامل الارتباط ر

نعبّر عن قوة الارتباط بعدد يسمى معامل الارتباط ويُرمز له بالرمز ر، وقيمته دائماً محصورة بين −1 و +1.
الإشارة تحدد الاتجاه، والمقدار (القيمة المطلقة) يحدد القوة.

قيمة ر	المعنى
+1	ارتباط طردي تام وكل النقاط تقع على خط مستقيم صاعد
−1	ارتباط عكسي تام وكل النقاط تقع على خط مستقيم هابط
0	لا يوجد ارتباط خطي بين المتغيرين
قريبة من +1 أو −1 مثل 0.9 أو −0.95	ارتباط قوي
قريبة من الصفر مثل 0.2 أو −0.1	ارتباط ضعيف

كلما اقتربت القيمة المطلقة لـ ر من 1 كانت النقاط أقرب إلى الخط المستقيم، وكان الارتباط أقوى.
فالقيمة −0.9 تدل على ارتباط عكسي قوي، والقيمة 0.2 تدل على ارتباط طردي ضعيف.
وتنبه إلى أن ر = 0 تعني عدم وجود ارتباط خطي فقط، ولا تعني بالضرورة عدم وجود أي علاقة، فقد توجد علاقة غير خطية بين المتغيرين.

الارتباط · 2 / 7

قانون معامل ارتباط بيرسون وخطوات حسابه

القانون المستخدم في الامتحان هو:
ر = (ن Σ س ص − Σ س Σ ص) ÷ √[ (ن Σ س² − (Σ س)²) × (ن Σ ص² − (Σ ص)²) ]
حيث ن عدد الأزواج المرتبة، Σ س مجموع قيم س، Σ ص مجموع قيم ص، Σ س ص مجموع حاصل ضرب كل زوج، Σ س² مجموع مربعات قيم س، و (Σ س)² مربع مجموع قيم س.

س، ص، س ص، س²، ص².
نجمع كل عمود لنحصل على Σ س، Σ ص، Σ س ص، Σ س²، Σ ص².
نحسب البسط أولاً (ن Σ س ص − Σ س Σ ص)، ثم نحسب كل جزء من المقام على حدة.
نقسم البسط على الجذر، ونتأكد أن الناتج بين −1 و +1، فإن خرج عن ذلك فهناك خطأ في الحساب.

الارتباط · 3 / 7

الارتباط لا يعني السببية

إذا وُجد ارتباط قوي بين متغيرين فهذا لا يثبت أن أحدهما يسبب الآخر.
فقد يتأثر المتغيران معاً بعامل ثالث.
مثلاً ترتفع مبيعات المثلجات وحوادث الغرق في الصيف معاً، لكن المثلجات لا تسبب الغرق، والسبب المشترك هو الجو الحار.
كما أن ر تقيس قوة الارتباط واتجاهه فقط، ولا تعطينا ميل العلاقة، ولا تستخدم للتنبؤ بقيمة محددة.
وهذا ما سيدرسه الطالب في درس الانحدار.

الارتباط · 4 / 7

أمثلة محلولة

المثال الأول←احسب ر للقيم: س: 1، 2، 3، 4، 5 ، ص: 2، 4، 6، 8، 10.

ن = 5، Σ س = 15، Σ ص = 30، Σ س ص = 2 + 8 + 18 + 32 + 50 = 110.
Σ س² = 55، Σ ص² = 4 + 16 + 36 + 64 + 100 = 220.
البسط 5 × 110 − 15 × 30 = 550 − 450 = 100.
المقام √[(5 × 55 − 15²)(5 × 220 − 30²)] = √[(275 − 225)(1100 − 900)] = √(50 × 200) = √10000 = 100.
ر = 100 ÷ 100 = 1، أي ارتباط طردي تام، فالنقاط على الخط ص = 2س.
المثال الثاني احسب ر للقيم: س: 1، 2، 3، 4، 5 ، ص: 5، 4، 4، 2، 1.

ن = 5، Σ س = 15، Σ ص = 16، Σ س ص = 5 + 8 + 12 + 8 + 5 = 38.
Σ س² = 55، Σ ص² = 25 + 16 + 16 + 4 + 1 = 62.
البسط 5 × 38 − 15 × 16 = 190 − 240 = −50.
المقام √[(275 − 225)(5 × 62 − 16²)] = √[50 × 54] = √2700 ≈ 51.96.
ر ≈ −50 ÷ 51.96 ≈ −0.96، أي ارتباط عكسي قوي.
المثال الثالث عدد ساعات المذاكرة (س) ودرجة الطالب (ص) لستة طلاب: س: 1، 2، 3، 4، 5، 6 ، ص: 40، 46، 47، 55، 58، 62.

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
•	ن = 6 Σ س = 21 Σ ص = 308 Σ س ص = 1155 Σ س² = 91 Σ ص² = 16158	115516158
البسط	6 × 1155 − 21 × 308 = 6930 − 6468 = 462	115569306468
المقام	√[(6 × 91 − 21²)(6 × 16158 − 308²)] = √[(546 − 441)(96948 − 94864)] = √(105 × 2084) = √218820 ≈ 467.78	16158308²9694894864
•	ر ≈ 462 ÷ 467.78 ≈ 0.99 أي ارتباط طردي قوي جداً: كلما زادت ساعات المذاكرة ارتفعت الدرجة تقريباً	ارتباططرديكلمازادت
المثال الرابع	احسب ر للقيم: س: 3 ص: 12 ثم فسّر النتيجة	احسبللقيمالنتيجة

ن = 4، Σ س = 24، Σ ص = 30، Σ س ص = 36 + 50 + 42 + 18 = 146.
Σ س² = 9 + 25 + 49 + 81 = 164، Σ ص² = 144 + 100 + 36 + 4 = 284.
البسط 4 × 146 − 24 × 30 = 584 − 720 = −136.
المقام √[(4 × 164 − 24²)(4 × 284 − 30²)] = √[(656 − 576)(1136 − 900)] = √(80 × 236) = √18880 ≈ 137.40.
ر ≈ −136 ÷ 137.40 ≈ −0.99، أي ارتباط عكسي قوي جداً: كلما زادت س نقصت ص تقريباً.

الارتباط · 5 / 7

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
الخلط بين الاتجاه والقوة	الإشارة تحدد الاتجاه فقط فالقيمة −0.9 ارتباط عكسي قوي والقيمة 0.2 ارتباط طردي ضعيف	الإشارةتحددفالقيمةارتباط
الخطأ في المقام	(Σ س)² تعني مربع مجموع القيم وليست مجموع مربعاتها وهو خطأ شائع جداً	تعنيمربعمجموعالقيم
ناتج أكبر من 1 أو أقل من −1	هذا مستحيل ويدل على خطأ في الجمع أو في التعويض	مستحيلويدلالجمعالتعويض
الاعتقاد أن ر = 0 تعني عدم وجود أي علاقة	ر = 0 تعني عدم وجود ارتباط خطي فقط	ارتباط
استنتاج السبب من الارتباط	الارتباط القوي لا يثبت أن أحد المتغيرين يسبب الآخر	القوييثبتالمتغيرينيسبب

الارتباط · 6 / 7

ملخص الدرس

الارتباط هو العلاقة بين متغيرين، ويُمثل بشكل الانتشار.
الارتباط الطردي تزداد ص بزيادة س. والارتباط العكسي: تقل ص بزيادة س.
معامل الارتباط ر محصور بين −1 و +1 الإشارة للاتجاه، والمقدار للقوة.
ر = (ن Σ س ص − Σ س Σ ص) ÷ √[(ن Σ س² − (Σ س)²)(ن Σ ص² − (Σ ص)²)].
الارتباط القوي لا يعني السببية، ور لا تعطي ميل الخط ولا تستخدم للتنبؤ.

الارتباط · 7 / 7

المناهج الدراسية

الإحصاء — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: الارتباط والانحدار

الوحدة الثانية: مقاييس إحصائية متقدمة

الوحدة الثالثة: الاحتمال

الوحدة الرابعة: المتغيرات العشوائية والاحتمال

الوحدة الخامسة: التوزيع الطبيعي

الارتباط

الارتباط

مفهوم الارتباط وشكل الانتشار

قوة الارتباط ومعامل الارتباط ر

قانون معامل ارتباط بيرسون وخطوات حسابه

الارتباط لا يعني السببية

أمثلة محلولة

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس