التوزيع الطبيعي وتطبيقاته

التوزيع الطبيعي وخصائصه

التوزيع الطبيعي توزيع احتمالي متصل، منحناه على شكل جرس متماثل حول الوسط μ.
ويكثر وجوده في الظواهر الطبيعية والاجتماعية، مثل أطوال الناس وأوزانهم ودرجات الاختبارات الكبيرة.
ويتميز بالخصائص التالية:

منحنى التوزيع الطبيعي: المساحة بين μ − σ و μ + σ تقريباً 68%

المنحنى متماثل تماماً حول الخط الرأسي المار بالوسط μ، والوسط والوسيط والمنوال متساوية وتقع عند هذا الخط.
المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي 1، وكل جزء من المساحة يمثل احتمالاً.
المساحة على يمين الوسط تساوي 0.5، وعلى يساره تساوي 0.5.
يعتمد شكل المنحنى على الانحراف المعياري σ؛ فكلما كبر σ اتسع المنحنى وانخفض، وكلما صغر σ ارتفع وضاق.
وتقريباً نحو 68% من القيم تقع في المدى من μ − σ إلى μ + σ، ونحو 95% في المدى من μ − 2σ إلى μ + 2σ، ونحو 99.7% في المدى من μ − 3σ إلى μ + 3σ.

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته · 1 / 7

التوزيع الطبيعي المعياري وجدول المساحات

التوزيع الطبيعي المعياري هو التوزيع الطبيعي الذي وسطه μ = 0 وانحرافه المعياري σ = 1، ونرمز لمتغيره بالحرف Z.
ولحساب الاحتمالات نستخدم جدولاً يعطي المساحة بين الصفر والقيمة z، أي P(0 ≤ Z ≤ z).
ومن أهم قيم هذا الجدول:

z	0.5	1	1.5	2	2.5
P(0 ≤ Z ≤ z)	0.1915	0.3413	0.4332	0.4772	0.4938

ولإيجاد أي احتمال نستخدم القواعد التالية
مع العلم بأن a عدد موجب:

P(0 ≤ Z ≤ a) تقرأ مباشرة من الجدول.
P(Z ≥ a) = 0.5 − P(0 ≤ Z ≤ a)، و P(Z ≤ a) = 0.5 + P(0 ≤ Z ≤ a).
P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a)، لأن المنحنى متماثل.
P(−a ≤ Z ≤ a) = 2 × P(0 ≤ Z ≤ a).
وينصح برسم منحنى الجرس وتظليل المساحة المطلوبة قبل أي عملية حسابية، لتعرف هل نجمع 0.5 أم نطرح منها.

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته · 2 / 7

التحويل إلى المتغير المعياري Z

إذا كان المتغير X يتبع توزيعاً طبيعياً وسطه μ وانحرافه المعياري σ
نكتب X ~ N(μ
σ²)
ونحوله إلى متغير معياري بالقانون:

Z = (X − μ) ÷ σ

وبذلك تصبح المسألة←P(X ≥ c) = P(Z ≥ (c − μ) ÷ σ)، ونكمل الحل من الجدول. ويسمى الناتج Z بالدرجة المعيارية (Z-score)، وهي تخبرنا كم انحرافاً معيارياً تبعد القيمة عن الوسط.

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته · 3 / 7

تطبيقات حياتية وعكس المسألة

تستخدم مسائل التوزيع الطبيعي في تحديد نسبة الأفراد الذين تزيد أطوالهم عن حد معين، أو نسبة المنتجات المطابقة للمواصفات، أو نسبة الطلاب الحاصلين على درجات في فئة معينة.
وتكون النسبة المئوية هي الاحتمال مضروباً في 100%.
وقد يُطلب العكس، أي إيجاد القيمة المعلومة احتمالها؛ فنبحث في الجدول عن قيمة z المناظرة للاحتمال، ثم نحول إلى القيمة الأصلية بالعلاقة X = μ + z σ.

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته · 4 / 7

أمثلة محلولة

المثال الأول←لمتغير معياري Z أوجد: (1) P(0 ≤ Z ≤ 1)، (2) P(Z ≥ 1)، (3) P(−1 ≤ Z ≤ 1).

P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.3413 من الجدول.
P(Z ≥ 1) = 0.5 − 0.3413 = 0.1587.
P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2 × 0.3413 = 0.6826.
المثال الثاني طول نوع من النباتات يتبع توزيعاً طبيعياً متوسطه 40 سم وانحرافه المعياري 5 سم. ما نسبة النباتات التي يزيد طولها على 50 سم؟

X ~ N(40, 5²)، والمطلوب P(X ≥ 50).
Z = (50 − 40) ÷ 5 = 2، إذن P(X ≥ 50) = P(Z ≥ 2).
P(Z ≥ 2) = 0.5 − P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.5 − 0.4772 = 0.0228.
النسبة المئوية = 0.0228 × 100% = 2.28% تقريباً.
المثال الثالث في المتغير السابق (X ~ N(40, 5²))، أوجد نسبة النباتات التي يقع طولها بين 35 سم و45 سم.

Z للقيمة 35 = (35 − 40) ÷ 5 = −1، وZ للقيمة 45 = (45 − 40) ÷ 5 = 1.
P(35 ≤ X ≤ 45) = P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2 × 0.3413 = 0.6826.
النسبة المئوية ≈ 68.26%، وهي تطابق القاعدة التقريبية لـ 68% داخل انحراف معياري واحد.
المثال الرابع (عكس المسألة) في المتغير نفسه X ~ N(40, 5²)، أوجد الطول a بحيث تكون نسبة النباتات الأقصر من a تساوي 97.72%.

المطلوب P(X ≤ a) = 0.9772.
بما أن P(Z ≤ z) = 0.5 + P(0 ≤ Z ≤ z)، فإن P(0 ≤ Z ≤ z) = 0.9772 − 0.5 = 0.4772.
من الجدول z = 2، أي أن (a − 40) ÷ 5 = 2.
a − 40 = 10، إذن a = 50 سم.

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته · 5 / 7

أخطاء شائعة

وجه المقارنة	الفكرة الأساسية	كلمات مفتاحية
نسيان تحويل X إلى Z	الجدول خاص بالتوزيع المعياري فقط ولا يُستخدم مباشرة مع X إلا بعد التحويل	الجدولبالتوزيعالمعياريستخدم
الطرح من 0.5 عندما يكون المطلوب مساحة بين قيمتين موجبتين	في هذه الحالة نطرح المساحتين من الجدول	الحالةنطرحالمساحتينالجدول
نسيان التماثل	P(Z ≤ −a) = P(Z ≥ a) ولا يحتاج الجدول لقيم سالبة	يحتاجالجدوللقيمسالبة
الخلط بين الانحراف المعياري والتباين في التحويل	نقسم على σ وليس على σ²	نقسموليس
اعتبار النتيجة الاحتمالية نسبة مئوية دون ضربها في 100	يجب تحويل الاحتمال إلى نسبة مئوية عند الإجابة عن أسئلة النسبة	تحويلالإجابةأسئلةالنسبة

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته · 6 / 7

ملخص الدرس

التوزيع الطبيعي متصل ومتماثل حول الوسط، والمساحة الكلية تحت منحناه تساوي 1.
التوزيع الطبيعي المعياري Z وسطه 0 وانحرافه 1.
التحويل Z = (X − μ) ÷ σ، ثم نستخدم جدول المساحات بين 0 وz.
P(Z ≥ a) = 0.5 − P(0 ≤ Z ≤ a)، و P(−a ≤ Z ≤ a) = 2 P(0 ≤ Z ≤ a).
لإيجاد قيمة معلومة احتمالها نعكس خطوات الحل، باستخدام X = μ + zσ.

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته · 7 / 7

المناهج الدراسية

الإحصاء — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: الارتباط والانحدار

الوحدة الثانية: مقاييس إحصائية متقدمة

الوحدة الثالثة: الاحتمال

الوحدة الرابعة: المتغيرات العشوائية والاحتمال

الوحدة الخامسة: التوزيع الطبيعي

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته

التوزيع الطبيعي وتطبيقاته

التوزيع الطبيعي وخصائصه

التوزيع الطبيعي المعياري وجدول المساحات

التحويل إلى المتغير المعياري Z

Z = (X − μ) ÷ σ

تطبيقات حياتية وعكس المسألة

أمثلة محلولة

أخطاء شائعة

ملخص الدرس

أحسنت! أنهيت هذا الدرس