المناهج الدراسية
تسجيل الدخول

المناهج الدراسية

الإحصاء — الصف الثالث الثانوي

الوحدة الأولى: الارتباط والانحدار

0/14

الوحدة الثانية: مقاييس إحصائية متقدمة

0/7

الوحدة الثالثة: الاحتمال

0/7

الوحدة الرابعة: المتغيرات العشوائية والاحتمال

0/14

الوحدة الخامسة: التوزيع الطبيعي

0/7
نص الدرس

مقاييس التشتت المتقدمة

الإحصاء — الصف الثالث الثانوي

مقاييس التشتت المتقدمة

المدى والتباين والانحراف المعياري

المدى والتباين والانحراف المعياري

  • مقاييس التشتت توضح مدى تباعد القيم عن بعضها، أو عن وسطها الحسابي.
  • ومقاييس النزعة المركزية وحدها لا تكفي لوصف البيانات، فقد يكون لمجموعتين الوسط نفسه، ومع ذلك تكون إحداهما متقاربة القيم والأخرى متباعدة جداً.
  • مثلاً: المجموعة (49، 50، 51) والمجموعة (10، 50، 90) وسطهما 50، لكن تشتتهما مختلف تماماً.
رافعة خشبية متزنة عند الوسط 5 تحمل أثقالًا تمثل مقاييس التشتت المتقدمة: التباين 4 والانحراف المعياري 2.
رافعة خشبية متزنة عند الوسط 5 تحمل أثقالًا تمثل مقاييس التشتت المتقدمة: التباين 4 والانحراف المعياري 2.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
المدى
  • المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة. وهو سهل الحساب
  • لكنه يعتمد على قيمتين فقط
أكبرقيمةأصغرالحساب
التباين σ2
  • متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي
  • أي σ2 = Σ(س − س̄)2 ÷ ن. ويمكن حسابه أيضاً بالصورة المختصرة σ2 = Σس2 ÷ ن − (س̄)2
متوسطمربعاتانحرافاتالقيم
الانحراف المعياري σ
  • الجذر التربيعي الموجب للتباين
  • أي σ = √σ2. وهو أهم مقاييس التشتت لأنه بنفس وحدة القياس الأصلية للبيانات
الجذرالتربيعيالموجبللتباين
•
  • كلما صغرت قيمة الانحراف المعياري دل ذلك على تجانس البيانات وتقاربها
  • وإذا كان σ = 0 فإن جميع القيم متساوية
كلماصغرتقيمةالانحراف
مقاييس التشتت المتقدمة · 1 / 7
الانحراف المعياري للبيانات المبوبة

الانحراف المعياري للبيانات المبوبة

  1. في الجدول التكراري تُستخدم مراكز الفئات بدلاً من القيم
  2. ومركز الفئة = (بداية الفئة + نهايتها) ÷ 2. ويكون القانون:

س̄ = Σ(ك × س) ÷ Σك، و σ2 = Σ(ك × (س − س̄)2) ÷ Σك

  • حيث س مركز الفئة، و ك التكرار المقابل لها. ويمكن أيضاً استخدام الصورة المختصرة σ2 = Σ(ك × س2) ÷ Σك − (س̄)2 للتحقق من الناتج.
الفئة مركز الفئة س التكرار ك
من 10 إلى أقل من 20 15 3
من 20 إلى أقل من 30 25 5
من 30 إلى أقل من 40 35 8
من 40 إلى أقل من 50 45 4
مقاييس التشتت المتقدمة · 2 / 7
معامل الاختلاف للمقارنة

معامل الاختلاف للمقارنة

  1. معامل الاختلاف مقياس نسبي للتشتت
  2. ويُحسب بالقانون:

معامل الاختلاف = (σ ÷ س̄) × 100%

  • ويُستخدم عندما نقارن تشتت مجموعتين لهما وحدتان مختلفتان، أو وسطان مختلفان كثيراً، لأن الانحراف المعياري وحده قد يكون مضللاً.
  • فالمجموعة التي لها معامل اختلاف أصغر تكون أكثر تجانساً نسبياً.
مقاييس التشتت المتقدمة · 3 / 7
أثر إضافة عدد أو ضربه في القيم

أثر إضافة عدد أو ضربه في القيم

  1. إذا كانت القيم الجديدة هي ص = ك س + ب
  2. حيث ك و ب عددان ثابتان
  3. فإن:
الوسط الجديدص̄ = ك س̄ + ب.
الانحراف المعياري الجديدσص = |ك| × σس، فإضافة العدد ب لا تغير التشتت، أما ضرب القيم في ك فيضرب الانحراف المعياري في |ك|.
التباين الجديدσ2ص = ك2 × σ2س.
مقاييس التشتت المتقدمة · 4 / 7
أمثلة محلولة

أمثلة محلولة

المثال الأول←أوجد المدى والتباين والانحراف المعياري للقيم: 4، 6، 8، 10، 12.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•المدى = 12 − 4 = 8المدى
الوسطس̄ = (4 + 6 + 8 + 10 + 12) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8
الانحرافات
  • ومربعاتها: 16
  • ومجموعها = 40
ومربعاتهاومجموعها
التباينσ2 = 40 ÷ 5 = 8
الانحراف المعياريσ = √8 = 2√2 ≈ 2.83
المثال الثانيدرجات فصلين في امتحان. الفصل الأول: متوسطه 60 وانحرافه المعياري 6. الفصل الثاني: متوسطه 80 وانحرافه المعياري 12. أي الفصلين درجاته أكثر تجانساً نسبياً؟درجاتفصلينامتحانالفصل
  • معامل اختلاف الفصل الأول = (6 ÷ 60) × 100% = 10%.
  • معامل اختلاف الفصل الثاني = (12 ÷ 80) × 100% = 15%.
  • الفصل الأول أكثر تجانساً نسبياً، وانحرافه المعياري أصغر أيضاً من انحراف الفصل الثاني، وهذا يتفق مع معامل الاختلاف. ولأن الوسطين مختلفان، فالمقارنة العادلة تعتمد على معامل الاختلاف.
  • المثال الثالث أوجد الانحراف المعياري للبيانات المبوبة في الجدول التالي: مراكز الفئات 15، 25، 35، 45 وتكراراتها 3، 5، 8، 4.
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
•مجموع التكرارات Σك = 3 + 5 + 8 + 4 = 20مجموعالتكرارات
•Σ(ك × س) = 3 × 15 + 5 × 25 + 8 × 35 + 4 × 45 = 45 + 125 + 280 + 180 = 630
الوسطس̄ = 630 ÷ 20 = 31.5
•Σ(ك × (س − س̄)2) = 3 × 272.25 + 5 × 42.25 + 8 × 12.25 + 4 × 182.25 = 816.75 + 211.25 + 98 + 729 = 18551855
التباينσ2 = 1855 ÷ 20 = 92.751855
التحقق بالصورة المختصرة
  • Σ(ك × س2) = 3 × 225 + 5 × 625 + 8 × 1225 + 4 × 2025 = 21700
  • فيكون σ2 = 21700 ÷ 20 − 31.52 = 1085 − 992.25 = 92.75 ✓
1225202521700فيكون
الانحراف المعياريσ = √92.75 ≈ 9.63
المثال الرابع
  • لمجموعة من 8 قيم
  • مجموعها Σس = 64
  • ومجموع مربعاتها Σس2 = 560. أوجد الانحراف المعياري
  • ثم أوجد الانحراف المعياري والوسط لمجموعة جديدة ص = 2س + 5
لمجموعةمجموعهاومجموعمربعاتها
وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
الوسطس̄ = 64 ÷ 8 = 8
التباينσ2 = 560 ÷ 8 − 82 = 70 − 64 = 6
الانحراف المعياريσ = √6 ≈ 2.45
وسط المجموعة الجديدةص̄ = 2 × 8 + 5 = 21
تباين المجموعة الجديدة
  • σ2ص = 22 × 6 = 24
  • فيكون σص = √24 ≈ 4.90
فيكون
•
  • لاحظ أن الإضافة (+5) لم تغير التشتت
  • وأن الضرب في 2 ضاعف الانحراف المعياري
لاحظالإضافةتغيرالتشتت
مقاييس التشتت المتقدمة · 5 / 7
أخطاء شائعة

أخطاء شائعة

وجه المقارنةالفكرة الأساسيةكلمات مفتاحية
قسمة مجموع الانحرافات على ن
  • مجموع الانحرافات عن الوسط يساوي صفراً دائماً
  • والمطلوب تربيعها أولاً
الوسطيساويصفرادائما
الخلط بين التباين والانحراف المعياري
  • التباين هو مربع الانحراف المعياري
  • ووحدته مربعة
  • لذلك نأخذ الجذر للحصول على σ
مربعووحدتهمربعةلذلك
استخدام مراكز الفئات بطريقة خاطئة
  • مركز الفئة هو متوسط حديها
  • وليس الحد الأدنى أو الأعلى
مركزالفئةمتوسطحديها
نسيان التكرار عند الضربفي الجدول التكراري يُضرب كل (س − س̄)2 في تكراره قبل الجمعالجدولالتكراريتكرارهالجمع
الاعتماد على الانحراف المعياري وحده للمقارنة بين وسطين مختلفيناستخدم معامل الاختلاف في هذه الحالةاستخدممعاملالاختلافالحالة
ظن أن إضافة عدد ثابت تغير الانحراف المعياريالإضافة تغير الوسط فقطالإضافةالوسط
مقاييس التشتت المتقدمة · 6 / 7
ملخص الدرس

ملخص الدرس

  • المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة.
  • التباين σ2 = Σ(س − س̄)2 ÷ ن، والانحراف المعياري σ = √σ2.
  • في الجدول التكراري σ2 = Σ(ك × (س − س̄)2) ÷ Σك، ومراكز الفئات تُستخدم بدلاً من القيم.
  • معامل الاختلاف = (σ ÷ س̄) × 100% للمقارنة النسبية.
  • إضافة عدد ثابت تغير الوسط ولا تغير σ، وضرب القيم في ك يضرب σ في |ك|.
مقاييس التشتت المتقدمة · 7 / 7