الدرس الخامس: التكامل المحدد وحساب المساحات وحجوم الأجسام الدورانية

• التكامل كعملية عكسية للتفاضل (Antiderivative): إيجاد الدالة الأصلية F(x) التي مشتقتها تساوي الدالة المعطاة f(x)؛ حيث: ∫ \[\begin{gathered}f(x) \,\text{dx} = F(x) + C\end{gathered}\]، وثابت التكامل C يمثل مقداراً ثابتاً يعبر عن عدد لا نهائي من المنحنيات المتوازية.
• التكامل بالتعويض (Integration by Substitution): طريقة تكامل تعتمد على تبسيط الدالة المعقدة بفرض متغير جديد ع = ر(س) وتغيير متغير التكامل من دس إلى دع؛ وتستخدم خاصة عندما يحتوي التكامل على دالة مضروبة في مشتقتها: ∫ \[\begin{gathered}[f(x)]^{n} \cdot f'(x) \,\text{dx} = \dfrac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C\end{gathered}\].
• التكامل بالتجزيء (Integration by Parts): طريقة تكامل مستنتجة من قاعدة تفاضل حاصل ضرب دالتين، وتستخدم لتكامل حاصل ضرب دالتين لا إحداهما مشتقة للأخرى (مثل جبرية في مثلثية أو جبرية في أسية أو دوال لوغاريتمية)، وصيغتها الشهيرة: ∫ \[\begin{gathered}u \,\text{dv} = u \cdot v -\end{gathered}\] ∫ v du.
• التكامل المحدد (Definite Integral): تكامل يحسب على فترة محددة [أ، ب]؛ ويمثل بيانياً المساحة الصافية المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات؛ وتتعين قيمته بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل: ∫ₐᵇ \[\begin{gathered}f(x) \,\text{dx} = F(b) - F(a)\end{gathered}\] ولا يحتوي على ثابت تكامل.
• تطبيقات حساب المساحات المستوية (Plane Areas): حساب مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين منحنى دالة ص = د(س) ومحور السينات: م = ∫ₐᵇ |ص| دس؛ أو المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين ص₁ و ص₂: م = ∫ₐᵇ |ص₁ - ص₂| دس.
• حجوم الأجسام الدورانية (Solids of Revolution): الحجم الهندسي المجسم الناشئ عن دوران منطقة مستوية محصورة دورة كاملة (360°): 1) حول محور السينات: الحجم ح = π ∫ₐᵇ (ص)² دس. 2) حول محور الصادات: الحجم ح = π ∫_cᵈ (س)² دص.

• قانون التكامل بالتجزيء وترتيب اختيار الدوال (LIATE): [ الصيغة: ∫ \[\begin{gathered}u \,\text{dv} = u \cdot v -\end{gathered}\] ∫ v du (أولوية فرض u: لوغاريتمية -> عكسية -> جبرية -> مثلثية -> أسية) ] تفرض u الدالة التي تبسط بالاشتقاق (كاللوغاريتمية أو الجبرية)، وتفرض dv الدالة التي يسهل مكاملتها دون تعقيد.
• قوانين حجوم الأجسام الدورانية الناشئة عن الدوران الكامل: [ الصيغة: دوران حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁² - ص₂²) dx | دوران حول الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁² - س₂²) dy ] يضرب التكامل دائماً في الثابت الهندسي π لأنه يمثل تجميعاً لمساحات عدد لا نهائي من الأقراص الدائرية الميكروسكوبية \[\begin{gathered}(\,\text{dV} = \pi r^{2} \,\text{dx})\end{gathered}\].

• تُمثل قواعد التكامل المباشر الأساس المتين للعمليات الحسابية: 1) تكامل القوى: ∫ س^ن دس = [س^(ن+\(1) /\) (ن+1)] + ث (بشرط ن ≠ -1).
• وإذا كانت ن = -1، فإن تكامل \(1/\)س هو اللوغاريتم الطبيعي: ∫ (\(1/\)س) دس = لطـهـ|س| + ث؛
• وتعميماً لذلك: إذا كان البسط مشتقة المقام فإن التكامل يساوي اللوغاريتم الطبيعي للمقام: ∫ [د'(س) / د(س)] دس = لطـهـ|د(س)| + ث.

2. • تكامل الدوال المثلثية: ∫ جا(س) دس = -جتا(س) + ث؛
   • ∫ جتا(س) دس = جا(س) + ث؛
   • ∫ قا²(س) دس = ظا(س) + ث؛
   • ∫ قتا²(س) دس = -ظتا(س) + ث؛
   • ∫ قا(س) ظا(س) دس = قا(س) + ث؛
   • ∫ قتا(س) ظتا(س) دس = -قتا(س) + ث.
   • وعند تكامل دالة دائرية زاويتها خطية (أ س + ب) نقسم دائماً على معامل س (\(1/\)أ).
   • وإذا وردت تكاملات مثل جا²(س) أو جتا²(س) تحول بمتطابقات ضعف الزاوية: جا²(س) = \(\dfrac{1}{2} [1 -\) جتا(2س)]، وجتا²(س) = \(\dfrac{1}{2} [1 +\) جتا(2س)].
3. • تكامل الدوال الأسية: الدالة الأسية الطبيعية: ∫ هـ^(أ س) دس = (\(1/\)أ) هـ^(أ س) + ث؛
   • وتكامل هـ^د(س) مضروبة في مشتقتها د'(س): ∫ د'(س) هـ^د(س) دس = هـ^د(س) + ث.
   • وتكامل الدالة الأسية لأي أساس: ∫ أ^س دس = [أ^س / لطـهـ(أ)] + ث.

1. • التكامل بالتعويض (Substitution): طريقة العزل والاستبدال؛
   • وتستخدم عندما نلحظ وجود دالة ومشتقتها معاً داخل التكامل.
   • نفرض ع = الدالة المعقدة، ونجد دع = د'(س) دس؛
   • فنستبدل جميع حدود س ودس بحدود المتغير ع؛
   • فيتحول التكامل إلى صورة قياسية بسيطة جداً؛
   • وبعد المكاملة نعيد التعويض عن ع بقيمتها الأصلية بدلالة س.
   • وتستخدم بكثرة مع الجذور: كفرض ما تحت الجذر بـ ع² لإنهاء الجذر نهائياً.
2. • التكامل بالتجزيء (Integration by Parts): أسلوب تفكيك حاصل الضرب المستعصي؛
   • ونلجأ إليه عندما يكون لدينا حاصل ضرب دالتين من نوعين مختلفين (كـ س هـ^س، أو س جا س، أو لطـهـ س بمفردها كحاصل ضرب 1 × لطـهـ س).
   • ونتبع قاعدة الأولويات (LIATE) لاختيار u: الدوال اللوغاريتمية، ثم العكسية، ثم الجبرية، ثم المثلثية، ثم الأسية.
   • نوجد du باشتقاق u، ونوجد v بمكاملة dv؛
   • ونطبق القانون: ∫ \[\begin{gathered}u \,\text{dv} = u v -\end{gathered}\] ∫ v du.
   • وفي بعض الحالات (كـ تكامل هـ^س جا س) نطبق التجزيء مرتين متتاليتين فنحصل على نفس التكامل الأصلي، فننقله للطرف الآخر كمعادلة جبرية ونقسم على 2.

1. • خواص التكامل المحدد: أ- عكس حدود التكامل يعكس الإشارة: ∫ₐᵇ د(س) دس = - ∫_bᵃ د(س) دس.
   • ب- انعدام التكامل إذا تساوى الحدان: ∫ₐᵃ د(س) دس = 0.
   • ج- خاصية الإضافة: ∫ₐᵇ د(س) دس = ∫ₐᶜ د(س) دس + ∫_cᵇ د(س) دس.
   • د- خواص التماثل: إذا كانت د(س) دالة زوجية متماثلة حول الصادات: ∫₋ₐᵃ د(س) دس = 2 ∫₀ᵃ د(س) دس؛
   • وإذا كانت د(س) دالة فردية متماثلة حول نقطة الأصل: ∫₋ₐᵃ د(س) دس = 0 فورياً.
2. • حساب المساحات المستوية: لحساب المساحة المحصورة بين منحنى ص = د(س) ومحور السينات في الفترة [أ، ب]: نحدد أولاً نقط تقاطع المنحنى مع محور السينات (بحل ص = 0)؛
   • فإذا كانت هناك نقط تقاطع تقع داخل الفترة [أ، ب] نقسم فترة التكامل؛
   • لأن المساحة الواقعة أسفل محور السينات يكون تكاملها سالباً، ويجب أخذ القيمة المطلقة لكل جزء لضمان أن تكون المساحة موجبة دائماً: م = |∫ₐᶜ د(س) دس| + |∫_cᵇ د(س) دس|.

• ولحساب المساحة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂: نوجد أولاً نقط تقاطعهما بحل المعادلة ص₁ = ص₂ لتحديد حدود التكامل [أ، ب]؛
• وتكون المساحة: م = ∫ₐᵇ (ص_الأعلى - ص_الأسفل) دس.

• يُمثل حساب الحجم الدوراني التطبيق الفراغي المجسم الأبرز للتكامل المحدد: 1) الدوران حول محور السينات (Rotation about X-axis): عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى ص = د(س) ومحور السينات والمستقيمين س = أ وس = ب دورة كاملة حول محور السينات، يتولد جسم دوراني مصمت يتكون عند كل مقطع من قرص دائري مساحته π نق² = π ص²؛
• ويصبح الحجم الكلي هو تجميع هذه الأقراص بالتكامل: ح = π ∫ₐᵇ [ص]² دس = π ∫ₐᵇ [د(س)]² دس.

2. • الدوران حول محور الصادات (Rotation about Y-axis): عند دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى س = ر(ص) ومحور الصادات والمستقيمين ص = جـ وص = د دورة كاملة حول محور الصادات، يكون نصف قطر القرص هو الإحداثي السيني س؛
   • ويصبح الحجم: ح = π ∫_cᵈ [س]² دص = π ∫_cᵈ [ر(ص)]² دص.
3. • الحجم المحصور بين منحنيين دورانيين: عند دوران المنطقة المحصورة بين منحنيين ص₁ و ص₂ (حيث ص₁ ≥ ص₂): أ- حول محور السينات: ح = π ∫ₐᵇ (ص₁² - ص₂²) دس (مع الانتباه لتربيع كل دالة بمفردها وليس تربيع الفرق).
   • ب- حول محور الصادات: ح = π ∫_cᵈ (س₁² - س₂²) دص.

نص المسألة / السؤال: احسب قيمة التكامل غير المحدد: ت = ∫ (2س + 1) هـ^(3س) دس.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) اختيار الدوال للتجزيء وفق قاعدة LIATE:نفرض الدالة الجبرية: u = 2س + 1 -> نشتق لإيجاد du: du = 2 دس. نفرض الدالة الأسية: dv = هـ^(3س) دس -> نكامل لإيجاد v: \(v = \left(\dfrac{1}{3}\right)\) هـ^(3س).2) تطبيق قانون التكامل بالتجزيء: ∫ \[\begin{gathered}u \,\text{dv} = u \cdot v -\end{gathered}\] ∫ v du:ت = (2س + \(1) \times [(\dfrac{1}{3}\)) هـ^(3س)] - ∫ [\(\left(\dfrac{1}{3}\right)\) هـ^(3س)] × (2 دس)ت = (\(\dfrac{1}{3}) (2\)س + 1) هـ^(3س) - \(\left(\dfrac{2}{3}\right)\) ∫ هـ^(3س) دس3) إجراء التكامل المتبقي البسيط:∫ هـ^(3س) دس = \(\left(\dfrac{1}{3}\right)\) هـ^(3س)إذن: ت = (\(\dfrac{1}{3}) (2\)س + 1) هـ^(3س) - \(\left(\dfrac{2}{3}\right) \times [\left(\dfrac{1}{3}\right)\) هـ^(3س)] + ثت = (\(\dfrac{1}{3}) (2\)س + 1) هـ^(3س) - \(\left(\dfrac{2}{9}\right)\) هـ^(3س) + ثبأخذ \(\left(\dfrac{1}{9}\right)\) هـ^(3س) عامل مشترك للتبسيط:ت = \(\left(\dfrac{1}{9}\right)\) هـ^(3س) [3(2س + 1) - 2] + ث = \(\left(\dfrac{1}{9}\right)\) هـ^(3س) [6س + 3 - 2] + ث = \(\left(\dfrac{1}{9}\right)\) هـ^(3س) (6س + 1) + ث.

نص المسألة / السؤال: أوجد مساحة المنطقة المستوية المحصورة بين المنحنى ص = س² والمستقيم ص = 2س، ثم احسب حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة دورة كاملة حول محور السينات.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) إيجاد حدود التكامل بإيجاد نقط التقاطع:ص₁ = ص₂ -> س² = 2س -> س² - 2س = 0 -> س(س - 2) = 0إذن حدود التكامل هي من س = 0 إلى س = 2.في هذه الفترة المستقيم أعلى من المنحنى (مثلاً عند س = 1: ص_المستقيم = 2، ص_المنحنى = 1).2) حساب المساحة المستوية م:م = ∫₀² (2س - س²) دس = [س\(^{2} - \left(\dfrac{1}{3}\right)\) س³]₀²م = [\[\begin{gathered}(2)^{2} - \left(\dfrac{1}{3}\right)(2)^{3}] - [0] = [4 - \dfrac{8}{3}] = \dfrac{4}{3}\end{gathered}\] وحدة مساحة مربعة (حوالي 1.33 وحدة مربعة).3) حساب حجم الجسم الدوراني حول محور السينات ح:ح = π ∫₀² (ص₁² - ص₂²) دس = π ∫₀² [(2س)² - (س²)²] دس = π ∫₀² (4س² - س⁴) دسح = \(\pi [ \left(\dfrac{4}{3}\right)\) س\(^{3} - \left(\dfrac{1}{5}\right)\) س⁵ ]₀²بالتعويض بالحد العلوي س = 2:ح = \[\begin{gathered}\pi [ \left(\dfrac{4}{3}\right)(8) - \left(\dfrac{1}{5}\right)(32) ] = \pi [ \dfrac{32}{3} - \dfrac{32}{5} ]\end{gathered}\]بتوحيد المقامات على 15:ح = \[\begin{gathered}\pi [ \dfrac{160 - 96}{15} ] = \left(\dfrac{64}{15}\right) \pi \end{gathered}\] وحدة حجم مكعبة (حوالي 4.267 π وحدة مكعبة).

• فخ تربيع الفرق في حجوم الأجسام الدورانية: احذر تماماً من كتابة الحجم كـ π ∫ (ص₁ - ص₂)² dx؛ الصواب الرياضي الحتمي هو تربيع كل دالة على حدة ثم الطرح: ح = π ∫ (ص₁² - ص₂²) dx.
• التكامل المحدد للدوال الفردية المتماثلة: إذا كانت حدود التكامل متناظرة من -أ إلى +أ وكانت الدالة فردية \[\begin{gathered}f(-x) = -f(x)\end{gathered}\] (مثل س³، جا س، ظا س) فإن قيمة التكامل تساوي صفراً مباشرة دون إجراء أي حسابات مطولة.
• تكامل الدالة اللوغاريتمية الطبيعية: لا يوجد قانون مباشر لتكامل لطـهـ(س)؛ بل تكامل بالتجزيء دائماً بفرض u = لطـهـ(س) و dv = 1 دس فيكون ناتجها: س لطـهـ(س) - س + ث.

• حساب سعة الخزانات والسدود المائية غير المنتظمة: استخدام التكامل المحدد ونماذج الأجسام الدورانية لحساب الحجم المائي الدقيق للبحيرات والخزانات وسدود توليد الكهرباء بناءً على مقاطع المسح الطبوغرافي.
• حساب الشغل الفيزيائي لقوى متغيرة: حساب الشغل المبذول بواسطة قوى الجاذبية لإطلاق الأقمار الصناعية لمداراتها (W = ∫ F dr) وحساب الشغل اللازم لضغط الغازات في محركات الاحتراق الداخلي بالتكامل (W = ∫ P dV).