3-2 طرق التكامل: التفاضلات

تفاضلي دالة

• إذا كانت $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">f</span>}(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>})$ دالة قابلة للاشتقاق فمن تعريف المشتقة: ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}}{\mathrm{\Delta }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}}\approx {\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">f</span>}}^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>})$ عندما $\mathrm{\Delta }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}\to \mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">0</span>}$، أي أن $\mathrm{\Delta }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}\approx {\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">f</span>}}^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>})\mathrm{\Delta }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$.
• تفاضلي $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}$ ويرمز له $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}$ يساوي ${\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">f</span>}}^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>})\mathrm{\Delta }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$، و تفاضلي $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$ ويرمز له $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$ يساوي $\mathrm{\Delta }\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$، فيكون:

$$\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}={\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">f</span>}}^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>})\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$$

• مثال: إذا كانت $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}={\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}^{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}}$ فإن $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">y</span>}=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">3</span>}{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}}^{\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">2</span>}}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$.
• إذا كان كل من $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">u</span>}$ و $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">v</span>}$ دالة في $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">x</span>}$ فإن $\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}(\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">u</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">v</span>})=\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">u</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">v</span>}+\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">v</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">d</span>}\mathrm{<span\; class="eqx"\; dir="ltr"\; style="direction:ltr;unicode-bidi:isolate;display:inline-block">u</span>}$.