الدرس الرابع: المتجهات في الفراغ ثلاثي الأبعاد ومعادلة الخط المستقيم والمستوى

🧊 رسم فراغي ثلاثي الأبعاد لحاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات ومتجه العمودي (A × B)

3D Scientific Render

توضيح اتجاه المتجه العمودي على المستوى المحدد بالمتجهين A و B بقاعدة اليد اليمنى، مع إبراز مساحة متوازي الأضلاع الناتجة عن معيار الضرب الاتجاهي.

• النظام الإحداثي المتعامد في الفراغ ثلاثي الأبعاد (3D Cartesian Coordinates): نظام يتألف من ثلاثة محاور متعامدة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة الأصل و(0، 0، 0): محور السينات ومحور الصادات ومحور العينات؛ وتحدد موقع أي نقطة بثلاثي مرتب (س، ص، ع). ومعادلة المستوى س ص هي ع = 0، ومعادلة المستوى س ع هي ص = 0، ومعادلة المستوى ص ع هي س = 0.
• معادلة الكرة في الفراغ (Sphere Equation): المحل الهندسي لنقطة تتحرك في الفراغ بحيث تظل على بعد ثابت نق من نقطة ثابتة هي المركز م(د، هـ، و)؛ ومعادلتها القياسية: (س - د)² + (ص - هـ)² + (ع - و)² = نق²؛ ومعادلتها العامة: س² + ص² + ع² + 2ل س + 2ك ص + 2ن ع + د = 0 حيث نق = √(ل² + ك² + ن² - د).
• المتجهات وجيوب تمام الاتجاه (Direction Cosines): متجه الموضع للنقطة أ(س، ص، ع) هو و→أ = س س̂ + ص ص̂ + ع ع̂، ومعياره ||و→أ|| = √(س² + ص² + ع²). وزوايا الاتجاه للمتجه هي الزوايا التي يصنعها مع الاتجاهات الموجبة للمحاور، وجيوب تمامها تمثل متجهات الوحدة في اتجاه المتجه: û = (cos θx, cos θy, cos θz)، وتحقق القانون المحوري: \[\begin{gathered}\cos ^{2} \theta x + \cos ^{2} \theta y + \cos ^{2} \theta z = 1\end{gathered}\].
• الضرب القياسي والضرب الاتجاهي للمتجهات: الضرب القياسي: أ→ · ب→ = ||أ→|| ||ب→|| cos θ = أس بس + أص بص + أع بع؛ وشرط تعامدهما هو أ→ · ب→ = 0. والضرب الاتجاهي: أ→ × ب→ = متجه عمودي على مستواهما يتعين بمحدد الرتبة الثالثة؛ ومعياره يساوي مساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما، وشرط توازيهما هو أ→ × ب→ = و→ أو تناسب الإحداثيات.
• معادلة الخط المستقيم في الفراغ (Equation of a Line in 3D): يتحدد الخط المستقيم بنقطة واقعة عليه ق(س₁، ص₁، ع₁) ومتجه اتجاه له هـ→ = (أ، ب، جـ)؛ وله 3 صور: 1) الصورة المتجهة: ر→ = ق→ + ك هـ→. 2) المعادلات البارامترية: س = س₁ + ك أ، ص = ص₁ + ك ب، ع = ع₁ + ك جـ. 3) المعادلات الإحداثية (الكارتيزية): (س - س\(_{1}) /\) أ = (ص - ص\(_{1}) /\) ب = (ع - ع\(_{1}) /\) جـ.
• معادلة المستوى في الفراغ (Equation of a Plane in 3D): يتحدد المستوى بنقطة واقعة فيه أ(س₁، ص₁، ع₁) ومتجه عمودي عليه ن→ = (أ، ب، جـ)؛ وصورته المتجهة: ن→ · ر→ = ن→ · أ→؛ وصورته القياسية: أ(س - س₁) + ب(ص - ص₁) + جـ(ع - ع₁) = 0؛ وصورته العامة: أ س + ب ص + جـ ع + د = 0. والمسافة العمودية من نقطة م(س₀، ص₀، ع₀) إلى المستوى هي: ل = |أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د| / √(أ² + ب² + جـ²).

• قانون الزوايا والمساقط في الفراغ ثلاثي الأبعاد: [ الصيغة: cos θ = (أ→ · ب→) / (||أ→|| · ||ب→||) | مسقط أ→ على ب→ = (أ→ · ب→) / ||ب→|| ] يُستخدم لحساب الزاوية الحادة بين متجهين أو خطين مستقيمين في الفراغ وحساب المركبة الجبرية لمتجه في اتجاه آخر.
• قانون الضرب الثلاثي القياسي وحجم متوازي السطوح: [ الصيغة: حجم متوازي السطوح = | أ→ · (ب→ × جـ→) | = | محدد المصفوفة 3×3 لأحداثيات المتجهات الثلاثة | ] إذا كان الناتج يساوي صفراً فإن هذا يثبت أن المتجهات الثلاثة والنقاط الأربع تقع جميعها في مستوى واحد.

• تُمثل الهندسة الفراغية الامتداد الرياضي الطبيعي من المستوى ثنائي الأبعاد إلى الفضاء الحقيقي: 1) المحاور والمستويات الإحداثية: تقسم المستويات الإحداثية الثلاثة المتعامدة الفراغ إلى ثمانية أثمان؛
• وأي نقطة أ(س، ص، ع) تتعين بإسقاطاتها على المحاور؛
• فبعد النقطة عن المستوى س ص هو |ع|، وبعدها عن المستوى س ع هو |ص|، وبعدها عن المستوى ص ع هو |س|.
• وبعد النقطة عن محور السينات هو √(ص² + ع²)، وبعدها عن محور الصادات هو √(س² + ع²)، وبعدها عن محور العينات هو √(س² + ص²).

2. • المسافة وإحداثيات نقطة التقسيم: المسافة بين نقطتين أ(س₁، ص₁، ع₁) وب(س₂، ص₂، ع₂) تتعين بنظرية فيثاغورس المجسمة: ل = √[(س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)² + (ع₂ - ع₁)²].
   • وإحداثيات نقطة المنتصف جـ هي: [ (س₁ + س\(_{2}) / 2\)، (ص₁ + ص\(_{2}) / 2\)، (ع₁ + ع\(_{2}) / 2 ]\).
3. • معادلة الكرة الفراغية: الكرة هي مجسم منتظم يبعد سطحه مسافة ثابتة نق عن المركز م(د، هـ، و)؛
   • ومعادلتها القياسية: (س - د)² + (ص - هـ)² + (ع - و)² = نق².
   • وعند فك الأقواس تنتج الصورة العامة: س² + ص² + ع² + 2ل س + 2ك ص + 2ن ع + د = 0؛
   • وشروطها الرياضية الصارمة: 1- معاملات س² وص² وع² متساوية وموجبة وتساوي 1. 2- خالية تماماً من الحدود المشتملة على س ص أو س ع أو ص ع.
   • 3- المقدار (ل² + ك² + ن² - د) > 0 ليكون نصف القطر نق = √(ل² + ك² + ن² - د) عدداً حقيقياً موجباً.
   • ويكون المركز هو م(-ل، -ك، -ن).

1. • المتجهات وجيوب تمام الاتجاه: إذا كان المتجه أ→ يصنع زوايا اتجاه θx و θy و θz مع الاتجاهات الموجبة للمحاور؛
   • فإن: cos θx = أس / ||أ→||، cos θy = أص / ||أ→||، cos θz = أع / ||أ→||.
   • ومتجه الوحدة في اتجاه أ→ هو û = أ→ / ||أ→|| = (cos θx, cos θy, cos θz).
   • وتتحقق المتطابقة الهندسية الحاكمة: \[\begin{gathered}\cos ^{2} \theta x + \cos ^{2} \theta y + \cos ^{2} \theta z = 1\end{gathered}\] دائماً.
2. • الضرب القياسي (Dot Product): ينتج كمية قياسية عددية؛
   • ويعرف بـ: أ→ · ب→ = ||أ→|| ||ب→|| cos θ = أس بس + أص بص + أع بع.
   • وشرط تعامد متجهين غير صفريين هو أ→ · ب→ = 0.
   • والمسقط الجبري (المركبة الجبرية) لمتجه أ→ في اتجاه المتجه ب→ هو: (أ→ · ب→) / ||ب→||.
   • والمركبة الاتجاهية هي المسقط الجبري مضروباً في متجه الوحدة في اتجاه ب→.
3. • الضرب الاتجاهي (Cross Product): ينتج متجهاً جديداً عمودياً على المستوى الحاوي للمتجهين؛
   • ويحسب بمحدد الرتبة الثالثة: أ→ × ب→ = [ (أص بع - أع بص) س̂ - (أس بع - أع بس) ص̂ + (أس بص - أص بس) ع̂ ].
   • وشرط توازي متجهين هو أ→ × ب→ = و→، أو تناسب الإحداثيات: أس / بس = أص / بص = أع / بع.
   • ومعيار الضرب الاتجاهي ||أ→ × ب→|| يمثل هندسياً 'مساحة متوازي الأضلاع' المنشأ على المتجهين؛
   • ونصف المعيار يمثل 'مساحة المثلث'.
4. • الضرب الثلاثي القياسي (Scalar Triple Product): يكتب بصورة: أ→ · (ب→ × جـ→)، ويحسب بوضع مركبات المتجهات الثلاثة كصفوف في محدد رتبة ثالثة 3×3؛
   • وقيمته المطلقة تمثل هندسياً 'حجم متوازي السطوح' المتولد من المتجهات الثلاثة؛
   • وإذا كانت القيمة صفراً، دل ذلك على أن المتجهات الثلاثة تقع في مستوى واحد وتفقد حجمها الفراغي.

• يتحدد أي خط مستقيم في الفراغ بمعرفة نقطة واقعة عليه ومتجه اتجاه يوازيه: 1) صور معادلة الخط المستقيم: إذا كان المستقيم يمر بالنقطة ق(س₁، ص₁، ع₁) وله متجه اتجاه هـ→ = (أ، ب، جـ): أ- الصورة المتجهة: ر→ = ق→ + ك هـ→ (حيث ك هو البارامتر أو المعامل القياسي).
• ب- المعادلات البارامترية: س = س₁ + ك أ، ص = ص₁ + ك ب، ع = ع₁ + ك جـ.
• ج- المعادلات الكارتيزية (الإحداثية): (س - س\(_{1}) /\) أ = (ص - ص\(_{1}) /\) ب = (ع - ع\(_{1}) /\) جـ؛
• فإذا كان أحد جيوب الاتجاه صفراً (مثلاً جـ = 0)، تكتب المعادلة: (س - س\(_{1}) /\) أ = (ص - ص\(_{1}) /\) ب، ع = ع₁.

2. • الزاوية بين مستقيمين: تتعين جيب تمام الزاوية الحادة θ بين مستقيمين لهما متجها اتجاه هـ₁→ و هـ₂→ من القانون: cos θ = |هـ₁→ · هـ\(_{2}\rightarrow | / [ ||\)هـ₁→|| · ||هـ₂→|| ].
   • ويكون المستقيمان متعامدين إذا كان هـ₁→ · هـ₂→ = 0؛
   • ويكونان متوازيين إذا كان هـ₁→ = م هـ₂→ أو هـ₁→ × هـ₂→ = و→.

3. الأوضاع النسبية لمستقيمين في الفراغ: قد يكون المستقيمان: متوازيين (متجهي اتجاههما متناسبان ولا يتقاطعان)، أو منطبقين، أو متقاطعين في نقطة واحدة (يجمعهما مستوى واحد)، أو 'متخالفين' (Skew Lines: لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يجمعهما مستوى واحد إطلاقاً).

4. • طول العمود الساقط من نقطة على مستقيم: لتعيين بعد نقطة أ عن مستقيم ل: نحدد نقطة ب على المستقيم ومتجه اتجاهه هـ→؛
   • فيكون طول العمود: ل = ||ب→أ × هـ→|| / ||هـ→||.

1. • معادلة المستوى: يتعين المستوى في الفراغ بنقطة واقعة فيه أ(س₁، ص₁، ع₁) ومتجه عمودي على المستوى ن→ = (أ، ب، جـ): أ- الصورة المتجهة: ن→ · ر→ = ن→ · أ→ (أو ن→ · ر→ = د).
   • ب- الصورة القياسية: أ(س - س₁) + ب(ص - ص₁) + جـ(ع - ع₁) = 0.
   • ج- الصورة العامة: أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 (حيث معاملات س وص وع هي مركبات المتجه العمودي على المستوى ن→).
   • د- معادلة المستوى بدلالة أجزائه المقطوعة من المحاور: س/أ + ص/ب + ع/جـ = 1 (حيث أ، ب، جـ هي أطوال الأجزاء المقطوعة من محاور السينات والصادات والعينات على الترتيب).
2. • الزاوية بين مستويين والزاوية بين خط ومستوى: الزاوية الحادة بين مستويين متعامدي اتجاههما ن₁→ و ن₂→ هي: cos θ = |ن₁→ · ن\(_{2}\rightarrow | / [ ||\)ن₁→|| · ||ن₂→|| ].
   • ويتعامد المستويان إذا كان ن₁→ · ن₂→ = 0؛
   • ويتوازيان إذا كان ن₁→ = ك ن₂→.
   • أما الزاوية بين مستقيم متجه اتجاهه هـ→ ومستوى عموديه ن→ فتتعين من: sin α = |هـ→ · ن→| / [ ||هـ→|| · ||ن→|| ].

3. طول العمود الساقط من نقطة على مستوى: يتعين البعد العمودي ل من النقطة م(س₀، ص₀، ع₀) إلى المستوى أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 من القانون المطلق: ل = |أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د| / √(أ² + ب² + جـ²).

4. • تقاطع المستويات: خط تقاطع مستويين غير متوازيين هو خط مستقيم؛
   • ويكون متجه اتجاه هذا الخط هـ→ عمودياً على كلا العموديين على المستويين، فيتعين بالضرب الاتجاهي لهما: هـ→ = ن₁→ × ن₂→.

• نص المسألة / السؤال: إذا كانت المتجهات: أ→ = (2، -1، 3)، ب→ = (1، 2، -2)، جـ→ = (3، 1، 1)؛
• احسب: 1) أ→ × ب→ ومساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما ومساحة المثلث.
• 2) حجم متوازي السطوح المتولد من المتجهات أ→، ب→، جـ→.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) حساب الضرب الاتجاهي أ→ × ب→ باستخدام محدد الرتبة الثالثة:أ→ × ب→ = | س̂ ص̂ ع̂ | | \[\begin{gathered}2 -1 3 | | 1 2 -2 |=\end{gathered}\] س̂ [ (-1)(-2) - (3)(2) ] - ص̂ [ (2)(-2) - (3)(1) ] + ع̂ [ \[\begin{gathered}(2)(2) - (-1)(1) ]=\end{gathered}\] س̂ [ 2 - 6 ] - ص̂ [ -4 - 3 ] + ع̂ [ 4 + 1 ]= -4 س̂ + 7 ص̂ + 5 ع̂ = (-4، 7، 5).معيار الضرب الاتجاهي ||أ→ × ب→|| = \[\begin{gathered}\sqrt{[(-4)^{2} + 7^{2} + 5^{2}]} = \sqrt{[16 + 49 + 25]} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\end{gathered}\] وحدة طول. إذن مساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما = 3√10 وحدة مساحة مربعة (حوالي 9.487 وحدة مربعة).مساحة المثلث الناتج عنهما = \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\) مساحة متوازي الأضلاع = \(\left(\dfrac{3}{2}\right) \sqrt{10}\) وحدة مساحة مربعة.2) حساب حجم متوازي السطوح (الضرب الثلاثي القياسي أ→ · (ب→ × جـ→)):الحجم = القيمة المطلقة للمحدد المكون من المتجهات الثلاثة:| \[\begin{gathered}2 -1 3 || 1 2 -2 || 3 1 1 |= 2 [ (2)(1) - (-2)(1) ] - (-1) [ (1)(1) - (-2)(3) ] + 3 [ (1)(1) - (2)(3) ]= 2 [ 2 + 2 ] + 1 [ 1 + 6 ] + 3 [ 1 - 6 ]= 2(4) + 1(7) + 3(-5) = 8 + 7 - 15 = 0\end{gathered}\].بما أن ناتج الضرب الثلاثي القياسي = 0، فإن حجم متوازي السطوح = صفر وحدة حجم، وهذا يثبت هندسياً أن المتجهات الثلاثة أ→ و ب→ و جـ→ تقع جميعها في مستوى واحد.

نص المسألة / السؤال: أوجد: 1) معادلة المستوى المار بالنقطة أ(1، 2، 3) والعمودي على المتجه ن→ = (2، -3، 1). 2) طول العمود الساقط من النقطة ب(3، 0، -1) على هذا المستوى.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) إيجاد معادلة المستوى: المتجه العمودي ن→ = (2، -3، 1)، والنقطة أ(1، 2، 3).الصورة القياسية: أ(س - س₁) + ب(ص - ص₁) + جـ(ع - ع₁) = 02(س - 1) - 3(ص - 2) + 1(ع - 3) = 02س - 2 - 3ص + 6 + ع - 3 = 02س - 3ص + ع + 1 = 0 (الصورة العامة لمعادلة المستوى).2) حساب طول العمود الساقط من النقطة ب(3، 0، -1) على المستوى 2س - 3ص + ع + 1 = 0:ل = |أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د| / √(أ² + ب² + جـ²)ل = | \(2(3) - 3(0) + 1(-1) + 1 | / \sqrt{[ 2^{2} + (-3)^{2} + 1^{2} ]}\)ل = | \[\begin{gathered}6 - 0 - 1 + 1 | / \sqrt{[ 4 + 9 + 1 ]} = |6| / \sqrt{14} = \dfrac{6}{\sqrt{14}}\end{gathered}\] وحدة طول. بإنطاق المقام: ل = \[\begin{gathered}\dfrac{6\sqrt{14}}{14} = \left(\dfrac{3}{7}\right) \sqrt{14}\end{gathered}\] وحدة طول (حوالي 1.6 وحدة طول).

• متطابقة جيوب تمام الاتجاه: احفظ دائماً أن مجموع مربعات جيوب تمام الاتجاه لأي متجه يساوي 1 صحيحاً: \[\begin{gathered}\cos ^{2} \theta x + \cos ^{2} \theta y + \cos ^{2} \theta z = 1\end{gathered}\]، بينما مجموع مربعات الجيوب يساوي 2: \[\begin{gathered}\sin ^{2} \theta x + \sin ^{2} \theta y + \sin ^{2} \theta z = 2\end{gathered}\].
• الفرق بين المستقيمين المتوازيين والمتخالفين: المستقيمان المتوازيان لهما نفس نسبة متجهات الاتجاه ويجمعهما مستوى واحد؛ بينما المستقيمان المتخالفان لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يمكن أن يجمعهما مستوى واحد أبداً.
• الزاوية بين خط ومستوى: لحساب الزاوية بين خط مستقيم ومستوى، احذر من استخدام cos؛ فالقانون يعطي جيب الزاوية sin α = |هـ→ · ن→| / (||هـ→|| ||ن→||) لأن ن→ عمودي على المستوى وليس موازياً له.

• الرسوميات الحاسوبية وألعاب الفيديو ثلاثية الأبعاد (3D Computer Graphics): استخدام جبر المتجهات والضرب الاتجاهي لحساب المتجهات العمودية على أسطح المجسمات (Surface Normals) لتحديد انعكاسات الضوء والظلال وتصيير المشاهد الواقعية في محركات الألعاب.
• نظم الملاحة الفضائية والأقمار الصناعية (GPS): استخدام معادلات الكرة وتقاطع المستويات الكروية لحساب الإحداثيات المدارية وتحديد المواقع الجغرافية بدقة مليمترية بناءً على إشارات أربعة أقمار صناعية على الأقل.

📌 قاموس المصطلحات والمفاهيم العلمية الدقيقة:

⚖️ القوانين والعلاقات الرياضية والفيزيائية الحاكمة:

🔍 الشرح والتحليل المستفيض وتفسيرات علل والاستنتاجات:

★ كتاب الشرح والتفصيل العلمي الشامل المعتمد ★

كتاب الشرح المفصل: الهندسة الفراغية التحليلية: الإحداثيات المتعامدة ثلاثية الأبعاد، المتجهات، الضرب القياسي والاتجاهي، ومعادلات الخط المستقيم والمستوى

الرياضيات | الصف الثالث الثانوي (الثانوية العامة) | 2026/2027 | الوحدة السادسة - الهندسة الفراغية والميكانيكا المتقدمة

🎯 أهداف التعلم والمخرجات التعليمية المقررة بالتفصيل:

• إتقان الإحداثيات المتعامدة ثلاثية الأبعاد ومعادلة الكرة في الفراغ وشروطها.

• استيعاب جبر المتجهات الفراغية والضرب القياسي والاتجاهي والثلاثي القياسي.

• فهم الصور المختلفة لمعادلات الخط المستقيم والمستوى في الفراغ والمسافات والتقاطع.

◄ أولاً: الهندسة الإحداثية في الفراغ ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة

تُمثل الهندسة الفراغية الامتداد الرياضي الطبيعي من المستوى ثنائي الأبعاد إلى الفضاء الحقيقي: 1) المحاور والمستويات الإحداثية: تقسم المستويات الإحداثية الثلاثة المتعامدة الفراغ إلى ثمانية أثمان؛ وأي نقطة أ(س، ص، ع) تتعين بإسقاطاتها على المحاور؛ فبعد النقطة عن المستوى س ص هو |ع|، وبعدها عن المستوى س ع هو |ص|، وبعدها عن المستوى ص ع هو |س|. وبعد النقطة عن محور السينات هو √(ص² + ع²)، وبعدها عن محور الصادات هو √(س² + ع²)، وبعدها عن محور العينات هو √(س² + ص²).

2) المسافة وإحداثيات نقطة التقسيم: المسافة بين نقطتين أ(س₁، ص₁، ع₁) وب(س₂، ص₂، ع₂) تتعين بنظرية فيثاغورس المجسمة: ل = √[(س₂ - س₁)² + (ص₂ - ص₁)² + (ع₂ - ع₁)²]. وإحداثيات نقطة المنتصف جـ هي: [ (س₁ + س₂) / 2، (ص₁ + ص₂) / 2، (ع₁ + ع₂) / 2 ].

3) معادلة الكرة الفراغية: الكرة هي مجسم منتظم يبعد سطحه مسافة ثابتة نق عن المركز م(د، هـ، و)؛ ومعادلتها القياسية: (س - د)² + (ص - هـ)² + (ع - و)² = نق². وعند فك الأقواس تنتج الصورة العامة: س² + ص² + ع² + 2ل س + 2ك ص + 2ن ع + د = 0؛ وشروطها الرياضية الصارمة: 1- معاملات س² وص² وع² متساوية وموجبة وتساوي 1. 2- خالية تماماً من الحدود المشتملة على س ص أو س ع أو ص ع. 3- المقدار (ل² + ك² + ن² - د) > 0 ليكون نصف القطر نق = √(ل² + ك² + ن² - د) عدداً حقيقياً موجباً. ويكون المركز هو م(-ل، -ك، -ن).

شكل توضيحي (شكل 1 - نظام الإحداثيات المتعامد ثلاثي الأبعاد ومعادلة الكرة.png): المخطط المجسم للمحاور الفراغية س وص وع والمستويات الإحداثية ومركز ونصف قطر الكرة

◄ ثانياً: جبر المتجهات في الفراغ: الضرب القياسي والضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي

1) المتجهات وجيوب تمام الاتجاه: إذا كان المتجه أ→ يصنع زوايا اتجاه θx و θy و θz مع الاتجاهات الموجبة للمحاور؛ فإن: cos θx = أس / ||أ→||، cos θy = أص / ||أ→||، cos θz = أع / ||أ→||. ومتجه الوحدة في اتجاه أ→ هو û = أ→ / ||أ→|| = (cos θx, cos θy, cos θz). وتتحقق المتطابقة الهندسية الحاكمة: cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1 دائماً.

2) الضرب القياسي (Dot Product): ينتج كمية قياسية عددية؛ ويعرف بـ: أ→ · ب→ = ||أ→|| ||ب→|| cos θ = أس بس + أص بص + أع بع. وشرط تعامد متجهين غير صفريين هو أ→ · ب→ = 0. والمسقط الجبري (المركبة الجبرية) لمتجه أ→ في اتجاه المتجه ب→ هو: (أ→ · ب→) / ||ب→||. والمركبة الاتجاهية هي المسقط الجبري مضروباً في متجه الوحدة في اتجاه ب→.

3) الضرب الاتجاهي (Cross Product): ينتج متجهاً جديداً عمودياً على المستوى الحاوي للمتجهين؛ ويحسب بمحدد الرتبة الثالثة: أ→ × ب→ = [ (أص بع - أع بص) س̂ - (أس بع - أع بس) ص̂ + (أس بص - أص بس) ع̂ ]. وشرط توازي متجهين هو أ→ × ب→ = و→، أو تناسب الإحداثيات: أس / بس = أص / بص = أع / بع. ومعيار الضرب الاتجاهي ||أ→ × ب→|| يمثل هندسياً 'مساحة متوازي الأضلاع' المنشأ على المتجهين؛ ونصف المعيار يمثل 'مساحة المثلث'.

4) الضرب الثلاثي القياسي (Scalar Triple Product): يكتب بصورة: أ→ · (ب→ × جـ→)، ويحسب بوضع مركبات المتجهات الثلاثة كصفوف في محدد رتبة ثالثة 3×3؛ وقيمته المطلقة تمثل هندسياً 'حجم متوازي السطوح' المتولد من المتجهات الثلاثة؛ وإذا كانت القيمة صفراً، دل ذلك على أن المتجهات الثلاثة تقع في مستوى واحد وتفقد حجمها الفراغي.

شكل توضيحي (شكل 2 - الضرب القياسي والاتجاهي والمحددات وحجم متوازي السطوح.png): رسم توضيحي لمتجهات الضرب القياسي والاتجاهي وقاعدة اليد اليمنى ومساحة متوازي الأضلاع

◄ ثالثاً: معادلة الخط المستقيم في الفراغ ثلاثي الأبعاد والعلاقات بين المستقيمات

يتحدد أي خط مستقيم في الفراغ بمعرفة نقطة واقعة عليه ومتجه اتجاه يوازيه: 1) صور معادلة الخط المستقيم: إذا كان المستقيم يمر بالنقطة ق(س₁، ص₁، ع₁) وله متجه اتجاه هـ→ = (أ، ب، جـ): أ- الصورة المتجهة: ر→ = ق→ + ك هـ→ (حيث ك هو البارامتر أو المعامل القياسي). ب- المعادلات البارامترية: س = س₁ + ك أ، ص = ص₁ + ك ب، ع = ع₁ + ك جـ. ج- المعادلات الكارتيزية (الإحداثية): (س - س₁) / أ = (ص - ص₁) / ب = (ع - ع₁) / جـ؛ فإذا كان أحد جيوب الاتجاه صفراً (مثلاً جـ = 0)، تكتب المعادلة: (س - س₁) / أ = (ص - ص₁) / ب، ع = ع₁.

2) الزاوية بين مستقيمين: تتعين جيب تمام الزاوية الحادة θ بين مستقيمين لهما متجها اتجاه هـ₁→ و هـ₂→ من القانون: cos θ = |هـ₁→ · هـ₂→| / [ ||هـ₁→|| · ||هـ₂→|| ]. ويكون المستقيمان متعامدين إذا كان هـ₁→ · هـ₂→ = 0؛ ويكونان متوازيين إذا كان هـ₁→ = م هـ₂→ أو هـ₁→ × هـ₂→ = و→.

3) الأوضاع النسبية لمستقيمين في الفراغ: قد يكون المستقيمان: متوازيين (متجهي اتجاههما متناسبان ولا يتقاطعان)، أو منطبقين، أو متقاطعين في نقطة واحدة (يجمعهما مستوى واحد)، أو 'متخالفين' (Skew Lines: لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يجمعهما مستوى واحد إطلاقاً).

4) طول العمود الساقط من نقطة على مستقيم: لتعيين بعد نقطة أ عن مستقيم ل: نحدد نقطة ب على المستقيم ومتجه اتجاهه هـ→؛ فيكون طول العمود: ل = ||ب→أ × هـ→|| / ||هـ→||.

شكل توضيحي (شكل 3 - معادلات الخط المستقيم والمستوى والأوضاع النسبية في الفراغ.png): الأشكال الهندسية للمستقيمات المتقاطعة والمتخلفة والمتوازية والعمود الساقط على المستوى

◄ رابعاً: معادلة المستوى في الفراغ والمسافات وتقاطع المستويات

1) معادلة المستوى: يتعين المستوى في الفراغ بنقطة واقعة فيه أ(س₁، ص₁، ع₁) ومتجه عمودي على المستوى ن→ = (أ، ب، جـ): أ- الصورة المتجهة: ن→ · ر→ = ن→ · أ→ (أو ن→ · ر→ = د). ب- الصورة القياسية: أ(س - س₁) + ب(ص - ص₁) + جـ(ع - ع₁) = 0. ج- الصورة العامة: أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 (حيث معاملات س وص وع هي مركبات المتجه العمودي على المستوى ن→). د- معادلة المستوى بدلالة أجزائه المقطوعة من المحاور: س/أ + ص/ب + ع/جـ = 1 (حيث أ، ب، جـ هي أطوال الأجزاء المقطوعة من محاور السينات والصادات والعينات على الترتيب).

2) الزاوية بين مستويين والزاوية بين خط ومستوى: الزاوية الحادة بين مستويين متعامدي اتجاههما ن₁→ و ن₂→ هي: cos θ = |ن₁→ · ن₂→| / [ ||ن₁→|| · ||ن₂→|| ]. ويتعامد المستويان إذا كان ن₁→ · ن₂→ = 0؛ ويتوازيان إذا كان ن₁→ = ك ن₂→. أما الزاوية بين مستقيم متجه اتجاهه هـ→ ومستوى عموديه ن→ فتتعين من: sin α = |هـ→ · ن→| / [ ||هـ→|| · ||ن→|| ].

3) طول العمود الساقط من نقطة على مستوى: يتعين البعد العمودي ل من النقطة م(س₀، ص₀، ع₀) إلى المستوى أ س + ب ص + جـ ع + د = 0 من القانون المطلق: ل = |أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د| / √(أ² + ب² + جـ²).

4) تقاطع المستويات: خط تقاطع مستويين غير متوازيين هو خط مستقيم؛ ويكون متجه اتجاه هذا الخط هـ→ عمودياً على كلا العموديين على المستويين، فيتعين بالضرب الاتجاهي لهما: هـ→ = ن₁→ × ن₂→.

🧮 التطبيقات والمسائل النموذجية المحلولة بالخطوات (Step-by-Step Worked Examples):

مثال نموذجي 1: مسألة ضرب اتجاهي ومساحة مثلث وحجم متوازي سطوح

نص المسألة / السؤال: إذا كانت المتجهات: أ→ = (2، -1، 3)، ب→ = (1، 2، -2)، جـ→ = (3، 1، 1)؛ احسب: 1) أ→ × ب→ ومساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما ومساحة المثلث. 2) حجم متوازي السطوح المتولد من المتجهات أ→، ب→، جـ→.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) حساب الضرب الاتجاهي أ→ × ب→ باستخدام محدد الرتبة الثالثة: أ→ × ب→ = | س̂ ص̂ ع̂ | | 2 -1 3 | | 1 2 -2 | = س̂ [ (-1)(-2) - (3)(2) ] - ص̂ [ (2)(-2) - (3)(1) ] + ع̂ [ (2)(2) - (-1)(1) ] = س̂ [ 2 - 6 ] - ص̂ [ -4 - 3 ] + ع̂ [ 4 + 1 ] = -4 س̂ + 7 ص̂ + 5 ع̂ = (-4، 7، 5). معيار الضرب الاتجاهي ||أ→ × ب→|| = √[(-4)² + 7² + 5²] = √[16 + 49 + 25] = √90 = 3√10 وحدة طول. إذن مساحة متوازي الأضلاع المنشأ عليهما = 3√10 وحدة مساحة مربعة (حوالي 9.487 وحدة مربعة). مساحة المثلث الناتج عنهما = (1/2) مساحة متوازي الأضلاع = (3/2) √10 وحدة مساحة مربعة. 2) حساب حجم متوازي السطوح (الضرب الثلاثي القياسي أ→ · (ب→ × جـ→)): الحجم = القيمة المطلقة للمحدد المكون من المتجهات الثلاثة: | 2 -1 3 | | 1 2 -2 | | 3 1 1 | = 2 [ (2)(1) - (-2)(1) ] - (-1) [ (1)(1) - (-2)(3) ] + 3 [ (1)(1) - (2)(3) ] = 2 [ 2 + 2 ] + 1 [ 1 + 6 ] + 3 [ 1 - 6 ] = 2(4) + 1(7) + 3(-5) = 8 + 7 - 15 = 0. بما أن ناتج الضرب الثلاثي القياسي = 0، فإن حجم متوازي السطوح = صفر وحدة حجم، وهذا يثبت هندسياً أن المتجهات الثلاثة أ→ و ب→ و جـ→ تقع جميعها في مستوى واحد.

مثال نموذجي 2: إيجاد معادلة الخط المستقيم ومعادلة المستوى والبعد العمودي

نص المسألة / السؤال: أوجد: 1) معادلة المستوى المار بالنقطة أ(1، 2، 3) والعمودي على المتجه ن→ = (2، -3، 1). 2) طول العمود الساقط من النقطة ب(3، 0، -1) على هذا المستوى.

خطوات الحل والشرح النموذجي: 1) إيجاد معادلة المستوى: المتجه العمودي ن→ = (2، -3، 1)، والنقطة أ(1، 2، 3). الصورة القياسية: أ(س - س₁) + ب(ص - ص₁) + جـ(ع - ع₁) = 0 2(س - 1) - 3(ص - 2) + 1(ع - 3) = 0 2س - 2 - 3ص + 6 + ع - 3 = 0 2س - 3ص + ع + 1 = 0 (الصورة العامة لمعادلة المستوى). 2) حساب طول العمود الساقط من النقطة ب(3، 0، -1) على المستوى 2س - 3ص + ع + 1 = 0: ل = |أ س₀ + ب ص₀ + جـ ع₀ + د| / √(أ² + ب² + جـ²) ل = | 2(3) - 3(0) + 1(-1) + 1 | / √[ 2² + (-3)² + 1² ] ل = | 6 - 0 - 1 + 1 | / √[ 4 + 9 + 1 ] = |6| / √14 = 6 / √14 وحدة طول. بإنطاق المقام: ل = (6√14) / 14 = (3/7) √14 وحدة طول (حوالي 1.6 وحدة طول).

💡 أسرار وتكات التفوق وملاحظات خبير المادة (Expert Notes & Exam Secrets):

★ متطابقة جيوب تمام الاتجاه: احفظ دائماً أن مجموع مربعات جيوب تمام الاتجاه لأي متجه يساوي 1 صحيحاً: cos² θx + cos² θy + cos² θz = 1، بينما مجموع مربعات الجيوب يساوي 2: sin² θx + sin² θy + sin² θz = 2.

★ الفرق بين المستقيمين المتوازيين والمتخالفين: المستقيمان المتوازيان لهما نفس نسبة متجهات الاتجاه ويجمعهما مستوى واحد؛ بينما المستقيمان المتخالفان لا يتوازيان ولا يتقاطعان ولا يمكن أن يجمعهما مستوى واحد أبداً.

★ الزاوية بين خط ومستوى: لحساب الزاوية بين خط مستقيم ومستوى، احذر من استخدام cos؛ فالقانون يعطي جيب الزاوية sin α = |هـ→ · ن→| / (||هـ→|| ||ن→||) لأن ن→ عمودي على المستوى وليس موازياً له.

🌍 التطبيقات الحياتية والصناعية والتكنولوجية (Real-World Applications):

✔ الرسوميات الحاسوبية وألعاب الفيديو ثلاثية الأبعاد (3D Computer Graphics): استخدام جبر المتجهات والضرب الاتجاهي لحساب المتجهات العمودية على أسطح المجسمات (Surface Normals) لتحديد انعكاسات الضوء والظلال وتصيير المشاهد الواقعية في محركات الألعاب.

✔ نظم الملاحة الفضائية والأقمار الصناعية (GPS): استخدام معادلات الكرة وتقاطع المستويات الكروية لحساب الإحداثيات المدارية وتحديد المواقع الجغرافية بدقة مليمترية بناءً على إشارات أربعة أقمار صناعية على الأقل.