01 الدرس 1-1: الأس والأساس وضرب القوى وقسمتها
1-1-1 معنى الأس والأساس وضرب قوتين متحدتي الأساس
القوة هي اختصار لضرب عدد في نفسه عدة مرات: في aⁿ يسمى a الأساس ويسمى n الأس.
- الأساس هو العدد الذي يتكرر في الضرب.
- الأس يخبرنا كم مرة يتكرر الأساس.
- عند ضرب قوتين لهما الأساس نفسه نبقي الأساس ونجمع الأسين.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
لاحظ: 5⁴ تعني 5 × 5 × 5 × 5 ولا تعني 5 × 4.
علّل: \[\begin{gathered}a^{3} \times a^{2} = a^{5}\end{gathered}\] لأن عدد عوامل a في الناتج هو 3 + 2 = 5.
مثال 1: بسّط x⁴ × x⁷.
الحل:
الأساس واحد وهو x.
نجمع الأسين: 4 + 7 = 11
\[\begin{gathered}x^{4} \times x^{7} = x^{11}\end{gathered}\]
مثال 2: أوجد قيمة 2³ × 2⁴.
الحل:
الأساس واحد وهو 2.
\[\begin{gathered}2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}\end{gathered}\]
2⁷ = 128
مثال 3: بسّط 3a² × 4a⁵.
الحل:
نضرب المعاملين: 3 × 4 = 12
نجمع أسي a: 2 + 5 = 7
الناتج: 12a⁷
مثال 4: بسّط (−2x³)(5x⁴).
الحل:
نضرب المعاملين: \[\begin{gathered}(-2) \times 5 = -10\end{gathered}\]
نجمع الأسين: 3 + 4 = 7
الناتج: −10x⁷
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- جمع الأساسين بدل الأسين (2³ × 2⁴ لا تساوي 4⁷).
- تطبيق القانون على أساسين مختلفين مثل 2³ × 3².
- جمع المعاملين العدديين بدل ضربهما.
1-1-2 قسمة قوتين متحدتي الأساس
عند قسمة قوتين لهما الأساس نفسه (a ≠ 0) نبقي الأساس ونطرح الأسين.
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- نطرح أس المقسوم عليه من أس المقسوم.
- إذا كانت المعاملات أعدادًا فنقسمها كالمعتاد.
لاحظ: القسمة على الصفر غير معرفة، لذلك نشترط a ≠ 0.
مثال 1: أوجد قيمة 2⁹ ÷ 2⁵.
الحل:
نطرح الأسين: 9 − 5 = 4
\[\begin{gathered}2^{9} \div 2^{5} = 2^{4}\end{gathered}\]
2⁴ = 16
مثال 2: بسّط 15x⁸ ÷ 5x³.
الحل:
نقسم المعاملين: 15 ÷ 5 = 3
نطرح الأسين: 8 − 3 = 5
الناتج: 3x⁵
مثال 3: بسّط a⁷b⁴ ÷ a²b.
الحل:
أسس a: 7 − 2 = 5
أسس b: 4 − 1 = 3
الناتج: a⁵b³
مثال 4: أوجد قيمة 10⁶ ÷ 10².
الحل:
6 − 2 = 4
\[\begin{gathered}10^{6} \div 10^{2} = 10^{4} = 10000\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- طرح الأسين بترتيب معكوس.
- قسمة الأسين بدل طرحهما.
- نسيان أن b تساوي b¹ عند الطرح.
1-1-3 الأس الصفري
أي عدد غير الصفر مرفوعًا للأس صفر يساوي 1.
\[\begin{gathered}a^{0} = 1 (a \neq 0)\end{gathered}\]
- ينتج من قسمة قوة على نفسها: \[\begin{gathered}a^{n} \div a^{n} = a^{n-n} = a^{0}\end{gathered}\].
- وكل عدد غير صفري مقسوم على نفسه يساوي 1.
علّل: a⁰ = 1 لأن aⁿ ÷ aⁿ = 1 وبالطرح a⁰.
مثال 1: أوجد قيمة 7⁰ + (−5)⁰.
الحل:
7⁰ = 1
(−5)⁰ = 1
المجموع = 1 + 1 = 2
مثال 2: أوجد قيمة 2x⁰ حيث x ≠ 0.
الحل:
الأس صفر يخص x فقط.
x⁰ = 1
\[\begin{gathered}2x^{0} = 2 \times 1 = 2\end{gathered}\]
مثال 3: أوجد قيمة (2x)⁰ حيث x ≠ 0.
الحل:
الأس يخص القوس كله.
(2x)⁰ = 1
مثال 4: بسّط (a²b)⁰ + 3⁰.
الحل:
(a²b)⁰ = 1
3⁰ = 1
المجموع = 2
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- الاعتقاد أن a⁰ = 0.
- كتابة (−2)⁰ = −1.
- تطبيق الأس الصفري على المعامل في 2x⁰.
1-1-4 الأس السالب
الأس السالب يدل على المقلوب: \[\begin{gathered}a^{-n} = 1 \div a^{n}\end{gathered}\] حيث a ≠ 0.
\[\begin{gathered}a^{-n} = 1 \div a^{n}\end{gathered}\]
\[\begin{gathered}(a \div b)^{-n} = (b \div a)^{n}\end{gathered}\]
- الأس السالب لا يجعل العدد سالبًا.
- ننقل القوة من البسط إلى المقام (أو العكس) فتتغير إشارة أسها.
لاحظ: القوة x⁻² معرفة بشرط x ≠ 0.
مثال 1: أوجد قيمة 2⁻³ + 5⁰.
الحل:
\[\begin{gathered}2^{-3} = 1 \div 2^{3} = \dfrac{1}{8}\end{gathered}\]
5⁰ = 1
المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{1}{8} + 1 = \dfrac{9}{8}\end{gathered}\]
مثال 2: أوجد قيمة \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\).
الحل:
نقلب الكسر ونغيّر إشارة الأس.
\[\begin{gathered}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}\end{gathered}\]
= \(\dfrac{9}{4}\)
مثال 3: اكتب x⁻⁴y² بأسس موجبة.
الحل:
\[\begin{gathered}x^{-4} = 1 \div x^{4}\end{gathered}\]
الناتج: y² ÷ x⁴
مثال 4: أوجد قيمة 5⁻¹ + 2⁻¹.
الحل:
\(5^{-1} = \dfrac{1}{5}\)
\(2^{-1} = \dfrac{1}{2}\)
المجموع = \[\begin{gathered}\dfrac{2}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{7}{10}\end{gathered}\]
تذكر: الأخطاء الشائعة:
- كتابة 2⁻³ = −8 أو −6.
- نقل الرمز دون تغيير إشارة الأس.
- في (3x)⁻² يشمل الأس 3 أيضًا: الناتج 1 ÷ 9x².